第一章 2.矩形的性质与判定 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

2．矩形的性质与判定 第3课时　矩形的性质与判定的综合应用 数学 九年级上册 北师版 四清导航 A A A 对角线相等的平行四边形是矩形 矩形的四个角都是直角 D t |5－2t| 1．(3分)矩形不具有的性质是( ) A．四条边相等 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．对角线相等 2．(3分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝6，则AB的长为( ) A．3 B．3 eq \r(3) C．6 D．6 eq \r(3) 3．(4分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC的中点，若AO＝ eq \r(5) ，AD＝4，则OE的长为( ) A．1 B． eq \r(3) C．2 D． eq \f(\r(5),2) 4．(6分)如图，为了检查矩形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅在检测四边形ABCD是平行四边形的基础上用一根绳子比较其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，其中的数学原理是：①_________________________________；②________________________________． 5．(4分)(鞍山中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AC，垂足为H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为 ________________. 3 eq \r(3) 6．(8分)(教材P27复习题T12变式)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，请问四边形EFGH是矩形吗？请说明理由． 解：四边形EFGH是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO.又∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EO＝FO＝GO＝HO，∴EG＝FH，四边形EFGH是平行四边形，∴▱EFGH是矩形 7．(12分)如图，在▱ABCD中，BD⊥AB，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE. (1)求证：四边形BDCE是矩形； (2)连接AC，若AD＝2，CD＝1，求AC的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC.又∵AB＝BE，∴BE＝DC，BE∥DC，∴四边形BDCE为平行四边形，又∵BD⊥AB，∴∠DBE＝90°，∴▱BDCE是矩形 (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，BE＝AB＝CD＝1，∴AE＝AB＋BE＝2.又由(1)可知四边形BDCE是矩形，∴∠E＝90°，∴CE＝ eq \r(BC2－BE2) ＝ eq \r(22－12) ＝ eq \r(3) ，∴AC＝ eq \r(AE2＋CE2) ＝ eq \r(22＋（\r(3)）2) ＝ eq \r(7) 一、选择题(每小题6分，共6分) 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A，C为圆心，以大于 eq \f(1,2) AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为( ) A． eq \f(7,4) B． eq \f(9,4) C． eq \f(15,4) D． eq \f(25,4) 二、填空题(每小题6分，共12分) 9．(兰州中考)如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE＝3 cm，AF＝2EF，则AB＝___________cm. 3 eq \r(5) 10．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B(8，7)，D(5，0)，点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为____________________________. (8，4)或( eq \f(5,2) ，7) 三、解答题(共42分) 11．(12分)(教材P17例4变式)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点C作CE∥AD，交△ABC的外角∠MAC的平分线AN于点E，求证：四边形ADCE是矩形． 证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠CAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC，∴∠ADC＝90°.又∵AN平分∠MAC，∴∠CAE＝ eq \f(1,2) ∠MAC，∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAE＝ eq \f(1,2) (∠BAC＋∠MAC)＝90°.又∵CE∥AD，∴∠AEC＝180°－∠DAE＝90°＝∠DAE＝∠ADC，∴四边形ADCE是矩形 12．(14分)(教材P19习题1.6T5变式)如图，在Rt△ABC中，点O为斜边AC的中点，连接延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD，CD. (1)求证：四边形ABCD为矩形； (2)P是边AD上的任意一点，过点P分别作PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AD＝12，AB＝5，求PE＋PF的值． 解：(1)证明：∵点O为Rt△ABC的斜边AC的中点，∴∠ABC＝90°，OA＝OC.又∵OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形 (2)连接OP，∵AD＝12，AB＝5，∴BD＝13，S△AOD＝ eq \f(1,4) S矩形ABCD＝ eq \f(1,4) ×12×5＝15，∴BO＝OD＝AO＝CO＝ eq \f(13,2) ，∴S△AOD＝S△AOP＋S△POD＝ eq \f(1,2) AO·PF＋ eq \f(1,2) DO·PE＝ eq \f(1,2) · eq \f(13,2) PF＋ eq \f(1,2) · eq \f(13,2) PE＝15，∴PE＋PF＝ eq \f(60,13) 【素养提升】 13．(16分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1 cm/s，运动时间为t s(0≤t≤5). (1)填空：AE＝__________cm，EF＝_____________cm； (2)若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形； (3)在(2)的条件下，当t为何值时四边形EGFH为矩形？ 解：(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠GAF＝∠HCE.又∵G，H分别是AB，DC的中点，∴AG＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) CD＝CH.又∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴△AFG≌△CEH(SAS)，∴GF＝HE.同理可得△AGE≌△CHF，∴GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形 (3)连接GH，易得四边形BCHG是矩形，∴GH＝BC＝4 cm，∴当EF＝GH，即|5－2t|＝4时，▱EGFH是矩形，解得t＝0.5或t＝4.5，∴当t＝0.5或4.5时四边形EGFH为矩形 $$