第一章 2.矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

2．矩形的性质与判定 第1课时　矩形的性质 数学 九年级上册 北师版 四清导航 C (2，3) D 2 B 70° C 3 15° 1．(3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，则其对角线BD的长是( ) A． eq \r(3) B．3 C． eq \r(5) D．2 eq \r(5) 2．(3分)(锦州期中)矩形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若AD＝5，点B的坐标为(－3，3)，则点C的坐标为_____________． 3．(7分)如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.求证：△ADE≌△BCE. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°.又∵E是AB的中点，∴AE＝BE，∴△ADE≌△BCE(SAS) 4．(3分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝70°，则∠OBC＝( ) A．20° B．25° C．30° D．35° 5．(3分)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P，Q分别为AO，AD的中点，若AC＝8，则PQ的长度为__________． 6．(8分)(教材P13例1变式)如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，求AB和BC的长． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD＝8，OA＝ eq \f(1,2) AC，OB＝ eq \f(1,2) BD，∴OA＝OB＝4.又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4，∴BC＝ eq \r(AC2－AB2) ＝ eq \r(82－42) ＝4 eq \r(3) 7．(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD的长为( ) A．2 B．3 C．4 D．6 8．(3分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，CD是边AB上的中线，则∠ADC＝________________． 9．(7分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，求证：BE＝DE. 证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，∴BE＝ eq \f(1,2) AC，DE＝ eq \f(1,2) AC，∴BE＝DE 一、选择题(每小题6分，共6分) 10．如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，2)，则CE的长是( ) A． eq \r(3) B．2 C． eq \r(5) D． eq \r(6) 二、填空题(每小题6分，共12分) 11．(南充中考)如图，点E是矩形ABCD边AD上的一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为___________． 12．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ADB＝30°，则∠E＝______________． 三、解答题(共42分) 13．(12分) 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长CB至点E，使BE＝BC，连接AE. (1)求证：四边形ADBE是平行四边形； (2)若AB＝4，OB＝ eq \f(5,2) ，求四边形ADBE的周长． 解：(1)证明：∵ABCD为矩形，∴AD＝BC＝BE，AD∥BC，∴四边形ADBE是平行四边形 (2)∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD＝2OB＝5，∠ABE＝90°.又∵四边形ADBE是平行四边形，∴AE＝BD＝5，∴BE＝ eq \r(AE2－AB2) ＝ eq \r(52－42) ＝3，∴▱ADBE的周长为2(BE＋AE)＝2×(5＋3)＝16 14．(14分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O. (1)求证：△AOM≌△CON； (2)若AB＝3，AD＝6，求AE的长． 解：(1)∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°.又∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠M＝∠N，∴△AOM≌△CON(AAS) (2)连接CE，∵MN是AC的垂直平分线，∴CE＝AE.设AE＝CE＝x，则DE＝6－x.∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3，∴CD2＋DE2＝CE2，即32＋(6－x)2＝x2，解得x＝ eq \f(15,4) ，∴AE＝ eq \f(15,4) 【素养提升】 15．(16分)(注重阅读理解)阅读材料：三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图①，任意锐角∠ABC可被看作矩形ADBC的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F，若EF＝2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线． 证明：如图②，取EF的中点G，连接AG…… 任务：(1)完成材料中的证明过程； (2)如图③，在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F.若BF＝ eq \f(1,2) AC，求∠F的度数． 解：(1)证明：如图②，取EF的中点G，连接AG，∵四边形ADBC是矩形，∴AD∥BC，∠DAC＝90°，∴∠F＝∠CBF，∠EAF＝90°.又∵点G是EF的中点，∴AG＝ eq \f(1,2) EF＝FG，∴∠F＝∠GAF.又∵EF＝2AB，∴AG＝AB，∴∠ABG＝∠AGB＝∠F＋∠GAF＝2∠F＝2∠CBF，∴∠ABC＝∠ABG＋∠CBF＝3∠CBF，∴射线BF是∠ABC的一条三等分线 (2)取AC的中点H，连接BH，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CBA＝∠CBE＝90°.又∵BF是∠CBE的平分线，∴∠FAB＋∠F＝∠FBE＝ eq \f(1,2) ∠CBE＝45°.又∵点H是AC的中点，∴AH＝BH＝ eq \f(1,2) AC＝BF，∴∠HAB＝∠HBA，∴∠F＝∠BHF＝∠HAB＋∠HBA＝2∠HAB，∴∠FAB＝ eq \f(1,2) ∠F，∴∠FAB＋∠F＝ eq \f(1,2) ∠F＋∠F＝45°，∴∠F＝30° $$