第一章 1.菱形的性质与判定 第3课时 菱形的性质与判定的综合应用（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

1．菱形的性质与判定 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 数学 九年级上册 北师版 四清导航 C A 96 C C 100° B 16 1．(3分)如图，在菱形ABCD中，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积是( ) A．6 B．12 C．24 D．48 2．(3分)如图，菱形ABCD的面积为28，对角线AC＝7，则对角线BD的长为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 3．(4分) 如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，则它的面积是____________． 4．(9分)(教材P8例3变式)如图，菱形花坛ABCD的周长为80 m，∠ABC＝120°，沿着花坛的对角线修建两条小路AC和BD. (1)求两条小路AC和BD的长； (2)求菱形花坛ABCD的面积． 解：(1)设AC与BD相交于点O，∵菱形花坛ABCD的周长为80 m，∴AB＝BC＝20 m，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∴∠BAC＝ eq \f(1,2) (180°－∠ABC)＝ eq \f(1,2) ×(180°－120°)＝30°，∴BO＝ eq \f(1,2) AB＝10 m，∴BD＝2BO＝20 m，AO＝ eq \r(AB2－BO2) ＝ eq \r(202－102) ＝10 eq \r(3) (m)，∴AC＝2AO＝20 eq \r(3) m，∴两条小路AC和BD的长分别为20 eq \r(3) m，20 m (2)S菱形花坛ABCD＝ eq \f(1,2) AC·BD＝ eq \f(1,2) ×20 eq \r(3) ×20＝200 eq \r(3) (m2) 5．(4分)下列说法中不正确的是( ) A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等 6．(4分)如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5，对角线BD＝6，则对角线AC的长为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 7．(4分)如图，已知AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝40°，那么∠B＝____________． 8．(9分)如图，已知∠EAF，以顶点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交边AE，AF于点B，C，再分别以点B，C为圆心，线段AB的长为半径画弧交于点D，连接BD，CD，AD，BC. (1)求证：四边形ABDC是菱形； (2)若BC＝4，S菱形ABDC＝16，求AB的长． 解：(1)证明：∵以∠EAF的顶点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，C，∴AB＝AC.又∵分别以点B，C为圆心，线段AB的长为半径画弧交于点D，∴BD＝DC＝AB，∴AB＝AC＝BD＝DC，∴四边形ABDC是菱形 (2)设AD，BC交于点O，∵四边形ABDC是菱形，∴AO＝DO，BO＝ eq \f(1,2) BC＝2，S菱形ABDC＝ eq \f(1,2) AD·BC＝ eq \f(1,2) ·4AD＝16，∴AD＝8，∴AO＝ eq \f(1,2) AD＝4，∴AB＝ eq \r(AO2＋BO2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) 一、选择题(每小题6分，共6分) 9．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若AC＝12 cm，BD＝16 cm，则AB的长为( ) A．9.6 cm B．10 cm C．20 cm D．12 cm 二、填空题(每小题6分，共12分) 10．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F.若∠ACB＝60°，CD＝4 eq \r(3) ，则四边形CEDF的周长是_____________． 11．在菱形ABCD中，AB＝5，AE是BC边上的高，AE＝4，则对角线BD的长为___________________________． 2 eq \r(5) 或4 eq \r(5) 三、解答题(共42分) 12．(12分)如图，在▱ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，且AE＝CF. (1)求证：▱ABCD是菱形； (2)若AB＝13，BD＝10，求菱形ABCD的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.又∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°.又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CBF(ASA)，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形 (2)连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝ eq \f(1,2) BD＝5，∴AO＝ eq \r(AB2－BO2) ＝ eq \r(132－52) ＝12，∴AC＝2AO＝24，∴S菱形ABCD＝ eq \f(1,2) AC·BD＝ eq \f(1,2) ×24×10＝120 13．(14分)(教材P9“随堂练习”T2变式)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于点F. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求四边形BCFE的面积. 解：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE.∵CF∥BE，∴四边形BCFE是平行四边形．∵BE＝2DE，∴BE＝BC.∴▱BCFE是菱形 (2)连接BF，交CE于点O.∵四边形BCFE是菱形，∠BCF＝120°，∴∠CBE＝180°－∠BCF＝60°，BE＝BC，∴△BCE是等边三角形．∴BC＝CE＝2OC＝4，∴OC＝2，∴BF＝2BO＝2 eq \r(BC2－OC2) ＝2 eq \r(42－22) ＝4 eq \r(3) ，∴S菱形BCFE＝ eq \f(1,2) CE·BF＝ eq \f(1,2) ×4×4 eq \r(3) ＝8 eq \r(3) 【素养提升】 14．(16分)(郑州八中月考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. (1)如图①，若点E，F分别为边AB，AD的中点，连接OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形； (2)如图②，若E，F分别在射线DB和射线BD上，且BE＝DF. ①求证：四边形AECF是菱形； ②若∠AEC＝60°，AE＝6，AB＝BE，求AB的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝AD，BO＝DO.又∵点E，F分别为边AB，AD的中点，∴OE綊 eq \f(1,2) AD，OF綊 eq \f(1,2) AB，∴四边形AEOF是平行四边形，OE＝OF，∴▱AEOF是菱形 (2)①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO.又∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴▱AECF是菱形 ②∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC.又∵∠AEC＝60°，∴△AEC是等边三角形，∴AC＝AE＝6，∴AO＝ eq \f(1,2) AC＝3，∴EO＝ eq \r(AE2－AO2) ＝3 eq \r(3) .又∵AB＝BE，∴BO＝EO－BE＝3 eq \r(3) －AB.又∵AB2＝BO2＋AO2，∴AB2＝(3 eq \r(3) －AB)2＋9，∴AB＝2 eq \r(3) $$