检测内容：第一章 勾股定理-【四清导航】2023-2024学年八年级数学上册（北师大版 河南专用）

检测内容：第一章　勾股定理 得分________　卷后分________　评价________ 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2＋AC2＋BC2的值为( B ) A．24 B．18 C．12 D．9 2．下列数据中不能作为直角三角形三边长的是( C ) A．，2， B．5，12，13 C．3，5，7 D．6，8，10 3．如图，阴影部分(长方形)的面积是( C ) A．9 cm2 B．24 cm2 C．45 cm2 D．51 cm2 　　 4．如图，甲渔船以8海里/小时的速度离开港口O向东北方向航行，与此同时乙渔船以6海里/小时的速度离开港口O向西北方向航行，则1.5小时后两渔船相距( D ) A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上的一点，且BD＝2，CD＝3，则AB2－AD2的值为( C ) A．4 B．9 C．16 D．25 6．如图，这是用面积为24的四个全等的直角三角形△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝10，那么正方形EFGH的边长为( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 　　　　 7．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图(如图所示)，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( D ) A．20 km B．14 km C．11 km D．10 km 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AD于点P，则DP的长为( C ) A． B． C． D．1 9．如图，在Rt△ABC中，先以斜边AC为直角边向外作Rt△ACD(∠CAD＝90°)，再分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若S1＝3，S2＝1，S3＝7，则S4的值为( B ) A．2 B．3 C．4 D．6 　　 10．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2 024的值为( B ) A． B． C． D． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．若一个三角形的三边长a，b，c满足(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形的形状是__直角__三角形． 12．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了__8__步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草． 13．如图，阴影部分是三个正方形，其他两个图形都是直角三角形，则阴影部分的面积之和为__50__． 　 　 14．如图，现有一楼房发生火灾，消防员决定用高3 m的消防车上的最多只能伸长到15 m的云梯救人，现在消防员在完成从12 m高处(此时云梯位于AB位置)救人后，还要从15 m高处(此时云梯位于CD位置)救人，则这时消防车要从原处再向着火楼房靠近的距离AC为__3__m. 15．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝15，将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上的一个动点，当△CDE的周长最小时，CE的长为__7.5__． 三、解答题(共75分) 16．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c. (1)若a∶b＝3∶4，c＝15，求a，b的值； (2)若c－a＝4，b＝16，求a的值． 解：由勾股定理，得a2＋b2＝c2， (1)因为a∶b＝3∶4，所以可设a＝3x，b＝4x.又因为a2＋b2＝c2，即(3x)2＋(4x)2＝152，解得x＝3(负值已舍去)，所以a＝3x＝9，b＝4x＝12 (2)因为c－a＝4，所以c＝a＋4.又因为a2＋b2＝c2，所以a2＋162＝(a＋4)2，解得a＝30 17．(8分)如图，马路一边有一根5.4 m长的电线杆从离地面1.5 m处断裂，倒下的电线杆顶部C1是否会落在离它的底部3.8 m远的快车道上？请说明理由． 解：不会，理由如下：因为AB＝1.5 m，AC＝5.4 m，所以BC1＝BC＝AC－AB＝3.9 m，所以AC12＝BC12－AB2＝3.92－1.52＝12.96，所以AC1＝3.6 m＜3.8 m，所以倒下的电线杆顶部C1不会落在离它的底部3.8 m远的快车道上 18．(9分)如图①是某品牌的婴儿车，图②为其简化结构的示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准． 解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45；在△BCD中，BC2＋CD2＝32＋62＝45，所以BC2＋CD2＝BD2，所以∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，所以该车符合安全标准 19．(9分)满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①__6__，8，10；②5，__12__，13；③8，15，__17__． (2)小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2＋n2，m2－n2，如4＝2×2×1，5＝22＋12，3＝22－12.请你帮小敏说明这三个数2mn，m2＋n2，m2－n2是勾股数组； (3)如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m＋n的值． 解：(2)因为(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋n4－2m2n2＋4m2n2＝m4＋n4＋2m2n2＝(m2＋n2)2，所以m2－n2，m2＋n2，2mn是勾股数 (3)因为21，72，75约去公因数后分别为7，24，25，而24＝2×3×4，25＝42＋32，7＝42－32，所以m＝4，n＝3，所以m＋n＝7 20．(9分)在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离AB的长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地的距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，求绳索OA的长． 解：设绳索OA的长为x尺，则OA′＝OA＝x尺，OC＝x＋1－5＝(x－4)(尺).在Rt△OA′C中，因为A′C2＋OC2＝OA′2，所以102＋(x－4)2＝x2，解得x＝14.5，所以绳索OA的长为14.5尺 21．(10分)如图，一个牧童此时在小河南边4 km的A处牧马，而他家B正位于他的南7 km东8 km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家． (1)牧童把马牵到何处饮水才能使他完成这件事情所走的路程最短？请在图中画出马饮水的位置； (2)求出(1)中的最短路程． 解：(1)如图，作点A关于河南边的对称点A′，连接A′B交河南边于点D，则点D处即为马饮水的位置 (2)由题意知AA′＝8 km，AC＝7 km，所以A′C＝AA′＋AC＝15 km，所以A′B2＝AC′2＋BC2＝152＋82＝289，所以A′B＝17 km，所以AD＋BD＝A′D＋BD＝A′B＝17 km，所以(1)中的最短路程为17 km 22．(10分)阅读下列材料，并完成相应任务： 运用“双求法”验证勾股定理 勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，它神秘而美妙，验证方法多样，是数学定理中验证方法最多的定理之一．勾股定理的验证过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有a，b，c的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含a，b，c的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的验证．数学上把这种方法称之为“双求法”． 下面是利用“双求法”验证勾股定理的一种思路： 如图①，将两个全等的直角三角形△ABC与△DAE按如图摆放，其∠ACB＝∠DEA＝90°，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b，AB＝AD＝c，连接BD，CD，过点D作BC的延长线的垂线，垂足为F，容易得出S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，用含a，b，c的式子表示出上面四个三角形的面积，就能完成勾股定理的验证． 任务一：请你根据上述材料中的思路验证勾股定理； 任务二：请你用“双求法”解决下列问题：如图②所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若AC＝12，BC＝5，求CD的长． 解：任务一：在△ABC和△DAE中，因为AB＝AD，AC＝DE，BC＝AE，所以△ABC≌△DAE(SSS)，所以∠ABC＝∠DAE.又因为∠ACB＝90°，所以∠BAC＋∠ABC＝90°，所以∠BAD＝∠BAC＋∠DAE＝90°.连接BD，CD，过点D作BC的延长线的垂线，垂足为F，则DF＝CE＝AC－AE＝b－a，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·AD＋BC·DF＝c2＋a(b－a)＝c2＋ab－a2.又因为S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝BC·AC＋AC·DE＝ab＋b2，所以ab＋b2＝c2＋ab－a2，所以a2＋b2＝c2 任务二：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AB2＋BC2＝122＋52＝169，所以AB＝13.又因为SRt△ABC＝AC·BC＝AB·CD，所以CD＝＝＝ 23．(12分)(郑州桐柏一中开学测试)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，AC＝6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 解：(1)在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝102－62＝64，所以BC＝8 cm (2)由题意可知BP＝2t cm，CP＝|2t－8|cm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8 cm，即2t＝8，解得t＝4；②当∠BAP为直角时，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝62＋(2t－8)2，在Rt△BAP中，AP2＝BP2－AB2＝(2t)2－102，所以(2t)2－102＝62＋(2t－8)2，解得t＝.综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或 (3)①当AB＝BP时，BP＝AB＝10 cm，所以2t＝10，解得t＝5；②当AB＝AP时，因为∠ACB＝90°，所以CP＝BC＝8 cm，所以BP＝BC＋CP＝16 cm，所以2t＝16，解得t＝8；③当AP＝BP时，AP＝BP＝2t cm，在Rt△ACP中，因为AP2＝AC2＋CP2，所以(2t)2＝62＋(2t－8)2，解得t＝.综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为5或8或 学科网（北京）股份有限公司 $$