第一章 专题训练(二) 利用勾股定理解决折叠问题——热点题型（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年八年级数学上册（北师大版 河南专用）

第一章　勾股定理 专题训练(二)　利用勾股定理解决折叠问题——热点题型 数学 八年级上册 北师版 四清导航 【例】(郑州外国语学校期中)如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，现将其沿直线EF折叠，使得点C与点A重合，则AF的长为____． 【思路点拨】先设AF＝x，则由折叠的性质可知D′F＝DF＝_________．在Rt△AD′F中，由勾股定理，得AD′2＋D′F2＝AF2，于是可得方程_____________，解得x＝____，所以AF的长为____，故答案为____． 【方法指导】求折叠问题中线段的长的关键是根据对称性寻求等量关系，并设出适当的未知数，再结合直角三角形、长方形等中的直角条件运用勾股定理列出方程，运用方程思想来分析和解决问题． 5 8－x 42＋(8－x)2＝x2 5 5 5 A 2．(新乡一中月考)如图，折叠长方形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则CE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 C 3．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，在AC上取一点E，以直线BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，则CE的长为____． 3 4．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则CE＝____． 3 类型二　折痕过动点(需分类讨论) 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，M，N分别是边AB，BC上的两个动点，将△ABC沿直线MN折叠，使得点B的对应点D落在AC边的三等分点处，则CN的长为___________． 6．(郑州中学期末)如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为射线CB上的一动点(不与点C重合)，将△CDE沿直线DE折叠，点C落在点C′处，连接AC′，当△AC′D为直角三角形时，求CE的长． 解：因为四边形ABCD是长方形，所以∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝4.由折叠的性质可得C′D＝CD＝4，C′E＝CE，∠DC′E＝∠C＝90°，当△AC′D为直角三角形时，则只能∠AC′D＝90°，所以AC′2＝AD2－C′D2＝52－42＝9，所以AC′＝3.设CE＝C′E＝x，分如下两种情况讨论：①当点E在线段BC上时，则BE＝BC－CE＝5－x.因为∠AC′D＋∠DC′E＝180°，所以A，C′，E三点共线，如图①所示，所以AE＝AC′＋C′E＝3＋x.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，即42＋(5－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2，所以此时CE＝2； ②当点E在线段CB的延长线上时，则BE＝CE－BC＝x－5.因为∠AC′D＝∠DC′E＝90°，所以A，C′，E三点共线，如图②所示，所以AE＝C′E－AC′＝x－3.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，即42＋(x－5)2＝(x－3)2，解得x＝8，所以此时CE＝8.综上所述，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为2或8 【变式训练】 类型一　折痕确定(不需分类讨论) 1．(济宁中考)如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合．若折痕与AC的交点为E，则AE的长是( ) A． eq \f(13,6) B． eq \f(5,6) C． eq \f(7,6) D． eq \f(6,5) 3或 eq \f(15,4) $$