第一章 空间向量与立体几何 单元检测（基础卷）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

检测01 空间向量与立体几何（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东·阶段练习）设，向量，，，且，，则（    ）． A． B． C．5 D．6 6．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知异面直线，所成的角为，，在直线上，，在直线上，，，，，，则，间的距离为（    ） A．或 B．4 C． D．或4 8．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为正方形的中心，为线段的中点，在上，且满足，则直线到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（    ）． A． B． C． D． 10．（23-24高二下·江苏常州·期中）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 11．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知向量，，，若共面，则等于 . 13．（24-25高二上·全国·课前预习）空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 . （2）线面垂直 新知生成 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则 . （3）面面垂直 若平面的法向量，平面的法向量，则 . 14．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）二面角中，，且，若，，则此二面角的大小为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·四川·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 (1)证明：平面; (2)若，求直线与平面所成角的正弦值 16. (15分) （23-24高三上·河北唐山·阶段练习）在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．    (1)若Q为的中点，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角正弦值为，求． 17. (15分) （2024·湖南益阳·一模）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，平面，为上一点，且，连接、、. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18. (17分) （2025·广东·模拟预测）如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．    (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求四面体与四面体的体积之比． 19. (17分) （24-25高二·上海·随堂练习）如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.      (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测01 空间向量与立体几何（基础卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东·阶段练习）设，向量，，，且，，则（    ）． A． B． C．5 D．6 6．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知异面直线，所成的角为，，在直线上，，在直线上，，，，，，则，间的距离为（    ） A．或 B．4 C． D．或4 8．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为正方形的中心，为线段的中点，在上，且满足，则直线到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（    ）． A． B． C． D． 10．（23-24高二下·江苏常州·期中）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 11．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．点F到点E的距离为 B．点F到直线的距离为 C．点F到平面的距离为 D．平面到平面的距离为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高二上·广东·阶段练习）已知向量，，，若共面，则等于 . 13．（24-25高二上·全国·课前预习）空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 . （2）线面垂直 新知生成 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则 . （3）面面垂直 若平面的法向量，平面的法向量，则 . 14．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）二面角中，，且，若，，则此二面角的大小为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·四川·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 (1)证明：平面; (2)若，求直线与平面所成角的正弦值 16. (15分) （23-24高三上·河北唐山·阶段练习）在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．    (1)若Q为的中点，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角正弦值为，求． 17. (15分) （2024·湖南益阳·一模）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，平面，为上一点，且，连接、、. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18. (17分) （2025·广东·模拟预测）如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．    (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求四面体与四面体的体积之比． 19. (17分) （24-25高二·上海·随堂练习）如图1，在等腰直角三角形中，分别是上的点，为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.      (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D A D A D D AD BCD 题号 11 答案 ABC 1．D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 2．D 【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以. 又因为，所以. 故选：D． 3．D 【分析】利用空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】由条件易知 . 故选：D 4．A 【分析】利用点关于轴对称的点的坐标是即可得出. 【详解】关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数， 所以点关于轴对称的点为. 故选：A． 5．D 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 因为，，，所以，所以， 所以， 所以. 故选：D. 6．A 【分析】根据线面平行得出，从而即可求解 【详解】若，则，从而， 即，解之得：. 故选：A 7．D 【分析】根据空间向量基本定理，以向量，，为基底表示向量，利用向量的模厂，计算空间两点间距离.注意异面直线所成角. 【详解】 以向量，，为基底，由题知，，，，，，或， 则， 当时，，， 当时，，． 故选：D 8．D 【分析】先求证得直线与直线的距离等价于点到直线的距离，接着建立空间直角坐标系求出即可由空间中点到直线的向量法距离公式求解所求距离. 【详解】取的中点，连接，由，知为的中点， 又为的中点，故， 由正方体性质可得且，故四边形为平行四边形， 所以，所以， 故直线与直线的距离等价于点到直线的距离， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以， 故， 所以，， 故点到直线的距离为. 故选：D. 9．AD 【分析】由已知可得平面的法向量与向量共线且为非零向量，结合共线向量关系可得结论. 【详解】设平面的法向量为， 因为平面与平面平行，是平面的一个法向量， 所以，且， 所以平面的法向量可能为，， 故选：AD. 10．BCD 【分析】由，则直线平面或，可判断不正确；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断正确. 【详解】由，则直线平面或，故错误； 由，则平面平面，故正确； 若，设平面和平面所成角为，且， 则， 所以平面所成锐二面角的大小为，故正确； 设直线与平面所成角为， 则，且， 所以直线与平面所成角的大小为，故正确. 故选：. 11．ABC 【分析】空间向量法求两点间距离判断A，求点到直线距离判断B，应用点到平面距离判断C，求面面距离判断D选项. 【详解】以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知，， ， ． 设平面的法向量为， 所以则可得平面的一个法向量为． 点F到点E的距离，故A正确； 点F到直线的距离为，故B正确； 点F到平面的距离，故C正确； 由正方体的性质可知，平面平面， 平面到平面的距离即为点F到平面的距离．故D错误． 故选：ABC． 12．9 【分析】利用空间向量共面定理列方程，能求出结果． 【详解】因为，，且共面， ， ， ，解得． 即， 故答案为：9． 13． 【分析】略 【详解】略 14． 【分析】利用二面角定义先确定其平面角为，利用空间向量的数量积公式及模长计算夹角即可. 【详解】   如图所示，根据题意知：，， ，， 易知二面角的平面角即， 所以， 即， 由空间向量夹角的范围知，所以， 即此二面角的大小为. 故答案为： 15．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题意易知，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意，两两垂直，所以建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量,再通过空间角的向量求解即可. 【详解】（1）分别为的中点 为正方形 平面平面 平面. （2）由题知平面 建立如图所示的空间直角坚标系， ，则, ,,, 设平面的一个法向量为 则,令则, 设直线与平面所或的角为, ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，连接，由面面平行的判定得出平面平面，再由面面平行的性质即可证明； （2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据线面夹角的向量公式列出方程求解即可． 【详解】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，连接， 因为为直三棱柱，所以平面平面，，， 又分别为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面．    （2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 则，，， 所以， 由直三棱柱可得，为的中点， 所以，则， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，则， 因为直线与平面所成的角正弦值为， 所以， 整理得，，解得或（不合题意舍）  ， 所以．    17．(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可； （2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为平面，又平面， 所以.又，且， 所以平面.因为，所以平面. （2）作，垂足为.则.又， 所以四边形是平行四边形，又， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，， 所以. 由（1）知平面，所以.又， 所以.在中，. 在中，. 由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.     则，，，，，所以，，，，，设平面的法向量为， 由，得可取.   设平面的法向量为， 由，得，可取.     因此，，. 依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点O，连接，，得到，再由是正三角形，得到，利用面面垂直的判定证明； （2）以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题设得，，从而. 又是直角三角形，所以. 取AC的中点O，连接DO、BO，则DO⊥AC且， 又是正三角形，故. 则中，，又， 所以，故. 而且都在面，故面， 而面，所以平面ACD⊥平面ABC.    （2）设， ，结合（1）结论， 以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，易知平面的法向量为， 设，由，可得，得， 设面的法向量为，则， 取，得，所以， 因为二面角的正切值为，则， 又，解得，所以， 所以到底面的距离与到底面的距离之比为， 所以四面体与四面体的体积之比.    19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理可得，结合线面垂直的判定定理分析证明； （2）建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】（1）连接，则， 在中，由余弦定理可得， 同理得， 因为，则，可得， 因为，则 可知， 又因为平面，所以平面. （2）取中点，则，    以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，可得， 所以点B到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$