7.3 离散型随机变量的数字特征 课件 -2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3 离散型随机变量的数字特征 主讲教师： 学 校： 年 级：高二年级 学 科：中学数学（人教A版） 复习回顾 1、离散型随机变量的数学期望 数学期望是反映离散型随机变量的平均水平. 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn. 2、数学期望的性质 E(aX+b)=aE(X)+b 复习回顾 3、样本方差 叫做这组数据的方差. 4、均值的意义 设在一组数据x1，x2，…，xn中, 是它们的平均数，那么 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”. 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小. 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 问题2 从两名同学中挑选出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y 的分布列为 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得，E(X)=8，E(Y)=8. 因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 除平均中靶环数以外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. 环节一 创设情境，引入课题 下图分别是X和Y的概率分布图. 比较两个图形，哪一名同学的射击成绩更稳定? 乙同学的射击成绩更稳定 环节一 创设情境，引入课题 思考：怎样定量刻画随机变量的离散程度？ (1)样本的离散程度是用哪个量刻画的？ (2)能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢？ 样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的. 环节一 创设情境，引入课题 思考：怎样定量刻画随机变量的离散程度？ 环节一 创设情境，引入课题 X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 设离散型随机变量X的分布列如表所示. 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2， …，(xn－E(X))2. 因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度. 离散型随机变量方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+···+(xn－E(X))2pn 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)， 并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 环节二 观察分析，感知概念 D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+···+(xn－E(X))2pn 方差： 标准差： 随机变量的方差和标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 环节二 观察分析，感知概念 若X服从两点分布，则D(X)=p(1－p). 问题2 从两名同学中挑选出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y 的分布列为 分别计算这两名同学的方差和标准差，并用此评价他们的射击水平. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 因为D(Y)<D(X)，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 环节三 抽象概括，形成概念 在方差计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化 即D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+···+(xn－E(X))2pn =x12p1+x22p2+···+xn2pn－(E(X))2 =E(X2)－(E(X))2 环节三 抽象概括，形成概念 探究2：离散型随机变量X加上一个常数b，方差会有怎样的变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又会有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量X加上一个常数b，其均值也相应加上常数b，故不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即D(X+b)＝D(X). 而离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即D(aX)＝a2D(X). 环节四 辨析理解 深化概念 离散型随机变量方差的性质 一般地，有下面的结论成立：D(aX+b)＝a2D(X) D(X)=E(X2)－[E(X)]2 D(aX+b) ＝a2D(X) 环节四 辨析理解 深化概念 例5 掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差. 法一：解：抛掷散子所得点数X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 一般步骤？ 环节五 概念应用，巩固内化 法二：解：随机变量X的分布列为 例5 掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差. 环节五 概念应用，巩固内化 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表所示 收益X/元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1)投资哪种股票的期望收益大? (2)投资哪种股票的风险较高? 分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值.投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低. 环节五 概念应用，巩固内化 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表所示 收益X/元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1)投资哪种股票的期望收益大? (2)投资哪种股票的风险较高? 解：(1)股票A、B的投资收益的期望分别为 E(X)=－1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1 因为E(X)＞E(Y)，∴投资股票A的期望收益大. E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1 环节五 概念应用，巩固内化 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表所示 收益X/元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1)投资哪种股票的期望收益大? (2)投资哪种股票的风险较高? 解：(2)股票A、B的投资收益的方差分别为 D(X)=(－1)2×0.1+02×0.3+22×0.6－1.12=1.29 D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3－12=0.6 因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)＞D(Y)，∴投资股票A比投资股票B的风险高. 环节五 概念应用，巩固内化 方差的意义： 随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度. 在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释 例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性； 如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度； 如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小大小反映了投资风险的高低. 1、离散型随机变量取值的方差、标准差 方差：D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+···+(xn－E(X))2pn 标准差： 2、方差的性质： D(aX+b)＝a2D(X) 环节六 归纳总结,反思提升 3、求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤： ①理解X的意义，写出X可能取的全部值； ②求X取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出E(X)； ④根据方差、标准差的定义求出D(X)、σ(X) 4、若X服从两点分布，则D(X)=p(1－p). 环节六 归纳总结,反思提升 $$