第二章 一元二次函数、方程和不等式（提升卷）-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式（提升卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，且，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 5．若，且则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 6．已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 7．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知点在曲线上，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知实数，，满足且，则（    ） A． B． C． D． 10．定义，则下列说法正确的是（    ） A． B．对任意的且 C．若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 D．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围 11．已知，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的取值范围是 B．当，时， C．当，时，ab的取值范围是 D．当，时，的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，则当取最大值时的值为 ． 13．已知对于实数，，满足，，则的最大值为 . 14．已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为 ；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载:“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门十五里有木，问出南门几何步而见木?”若一小城，如图中长方形所示，出东门1 200步有树，出南门750步能见到此树(注:1里=300步)，则该小城的周长最小值为多少里？ 16．（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 17．（1）已知关于x的不等式的解集为，求实数a的值； （2）若，求关于x的不等式的解集． 18．已知关于的不等式． (1)当，时，求原不等式的解集； (2)在（1）的条件下，若原不等式恰有个整数解，求的取值集合． 19．若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（提升卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，，且，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当且，即时取等号． 故选：D． 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，，可知，则，所以，充分性成立； 由，，可得，但是不一定成立，故必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】关于的不等式的解集是或， ∴1和3是方程的两个实数根，且． 则解得 所以不等式等价于，即， 解得． 所以不等式的解集是 故选:B． 4．不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即，可得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为． 故选：D． 5．若，且则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】C 【详解】由于 对于A，设则，故A错误； 对于B，设则，故B错误； 对于C，，由于，则.， 则.则.故C正确. 对于D，设，则，故D错误； 故选：C. 6．已知，且，则的最小值是（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【详解】解：由，得，又， 所以 . 当且仅当时等号成立. 故选：B. 7．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去； 当时，不等式的解集为，此时若有个整数解， 此时，解集中的三个整数分别为、、，则需； 当时，不等式的解集为，此时若有个整数解， 此时，解集中的三个整数分别为、、，则需 综上：所以或， 故选：A． 8．已知点在曲线上，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题 因为在曲线上，其中， 当时，， 当时，由，当且仅当时取等号， 令，则，当且仅当时取等号， 所以，则， 当时，同理可得，则， 所以， 综上，的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知实数，，满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为且，所以， A选项，，故，A正确； B选项，不妨设，此时满足且，但，B错误； C选项，因为且，所以， ， 所以，C正确； D选项， ， 因为，所以， 故，D正确. 故选：ACD 10．定义，则下列说法正确的是（    ） A． B．对任意的且 C．若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 D．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围 【答案】ABD 【详解】对于A，，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，恒成立， 即a）恒成立，则，解得，故C错误； 对于D，由题可知存在，使得成立， 即成立，又，得的取值范围是，故D正确. 故选:ABD. 11．已知，，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的取值范围是 B．当，时， C．当，时，ab的取值范围是 D．当，时，的取值范围是 【答案】BD 【详解】A选项中，当时，可化为， 所以，， 所以的取值范围是，故A错误； B选项中，当，时，可化为， 所以， 所以，故B正确； C选项中，当，时，可化为 由，得，当且仅当时，等号成立， 由，得，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围是，故C错误； D选项中，由C选项，得，， 所以的取值范围是，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，则当取最大值时的值为 ． 【答案】/ 【详解】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当取最大值时的值为. 故答案为：. 13．已知对于实数，，满足，，则的最大值为 . 【答案】7 【详解】由，可得，， 因为，， 所以，故，则的最大值为7， 故答案为：7 14．已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为 ；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为 ． 【答案】 2（答案不唯一，另一个值为） 【详解】由，得或， 由集合A只有两个元素，得方程有两个相等的实根，且该实根不为3， 因此，解得，此时方程的根为1或，符合题意， 所以，取； 由集合C有8个子集，得集合中有3个元素，而，， 则或或或， 当时，方程无实根，，解得， 当时，方程有两个相等的实根1，则， 当时，方程有两个相等的实根4， 而方程有实根时，两根之积为1，因此无解， 当时，方程的两根分别为，同上无解， 实数a的取值范围为. 故答案为：2； 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载:“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门十五里有木，问出南门几何步而见木?”若一小城，如图中长方形所示，出东门1 200步有树，出南门750步能见到此树(注:1里=300步)，则该小城的周长最小值为多少里？ 【答案】 【详解】设步，步， 由，可得，即，可得， 所以该小城的周长为（步）， 因为1里300步，所以（步）（里）， 所以该小城的周长最小值为里. 16．（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【详解】（1）因为， 作差得 ， 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，，， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 故. 17．（1）已知关于x的不等式的解集为，求实数a的值； （2）若，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【详解】（1）依题意，是方程的两个实根，且， 而化为，解得或，则，解得， 所以实数a的值为. （2）不等式化为， 当时，，解得； 当时，原不等式化为，解得或， 当时，原不等式化为， 当时，，解得；当时，，不等式无解；当时，，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18．已知关于的不等式． (1)当，时，求原不等式的解集； (2)在（1）的条件下，若原不等式恰有个整数解，求的取值集合． 【答案】(1) (2)或或 【详解】（1）当时，不等式为，即， 又，则 所以， 即不等式的解集为； （2）在（1）的条件下，原不等式的解集为， 要使得原不等式恰有个整数解，则需满足，解得， 若个整数解的最小值为，则最大值为，则， 解得，此时，原不等式恰有个整数解． 若个整数解的最小值为，则最大值为，则， 解得，此时，原不等式恰有个整数解． 若个整数解的最小值为，则最大值为，则， 解得，此时，原不等式恰有个整数解． 综上，的取值集合是或或. 19．若方程有两个不相等的实数根，且． (1)求证：； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【详解】（1）证明：根据韦达定理得，，， 所以， 所以. （2） ， 因为， 所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为8. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$