第二章 一元二次函数、方程和不等式（基础卷）-2024-2025学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式(基础卷) 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．18 3．不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 4．“对任意实数x，不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（    ） A． B．，或 C．，或 D． 8．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，则（    ） A．当时，的面积取得最大值 B．当时，的面积取得最大值 C．当时，的面积取得最大值 D．当时，的面积取得最大值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选）若关于的不等式有解，则实数可以是（    ） A． B． C． D．1 11．若关于的不等式恰有4个整数解，则（    ） A．的值可以是 B．的值不可能是 C．的最大值是8 D．的最小值是7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．设，使和同时成立的一个充分条件是 ． 13．已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根．若满足，且，则的取值范围是 ． 14．定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 16．（15分）解答下列各题． (1)若，求的最小值． (2)若正数，满足，求的最小值． 17．（15分）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 18．（17分）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）. (1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围； (2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值. 19．（17分）（1）若不等式的解集为或，求，的值； （2）求关于的一元二次不等式的解集． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式(基础卷) 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】当时满足，可得，A选项错误； 当，可得，B选项错误； 若，由不等式乘法性质可得，C选项正确； 当，可得，D选项错误. 故选：C. 2．若，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．18 【答案】C 【详解】因为，，， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C. 3．不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】B 【详解】不等式化为：，即， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B 4．“对任意实数x，不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由不等式恒成立，得，解得， 而集合真包含于集合， 所以不等式恒成立的一个充分不必要条件是，C是，ABD不是. 故选：C 5．设，，，则的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 而，，而， ，即，综上. 故选：B． 6．已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 7．已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（    ） A． B．，或 C．，或 D． 【答案】A 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是解得 则不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 8．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，则（    ） A．当时，的面积取得最大值 B．当时，的面积取得最大值 C．当时，的面积取得最大值 D．当时，的面积取得最大值 【答案】D 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 由，则，且. 设，则， 由已知， 所以， 为直角三角形， ∴， ∴，∴， ∴ . 当且仅当，即时等号成立. 此时满足， 即时的最大面积为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于选项A，当时，，故A错误; 对于选项B，，因为，所以， 所以，即，故B正确; 对于选项C，， 因为，所以， 所以，即，故C错误； 对于选项D，因为， 又因为，所以，所以，即，故D正确. 故选:BD. 10．（多选）若关于的不等式有解，则实数可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【详解】因为关于的不等式有解， 所以，解得或，结合选项可知A，D正确. 故选：AD 11．若关于的不等式恰有4个整数解，则（    ） A．的值可以是 B．的值不可能是 C．的最大值是8 D．的最小值是7 【答案】AC 【详解】令，解得或. 当时，不等式的解集为，则； 当时，不等式无解，所以不符合题意； 当时，不等式的解集为，则. 综上，的取值范围是. 对照选项知的值可以是，的最大值是8正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．设，使和同时成立的一个充分条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】根据不等式的性质可知，当时，和同时成立的， 所以“”是“和同时成立”的充分条件， 即只要满足，就均是“和同时成立”的充分条件， 所以充分条件可以是． 故答案为：（答案不唯一） 13．已知关于的方程（其中均为实数）有两个不等实根．若满足，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得， ，， 故， 又，所以，即， 将代入中得， 解得 故答案为： 14．定义表示中最小的数，已知实数满足，，则的最大值是 . 【答案】 【详解】因为，， 所以两个数中有一个负数，不妔设，所以， 由已知可得，所以， 所以，所以， 所以，所以， 由，故的最大值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2). (3)或. 【详解】（1）由题设，解集为； （2）由，解集为. （3）由， 所以，解得：或. 16．（15分）解答下列各题． (1)若，求的最小值． (2)若正数，满足，求的最小值． 【答案】(1)7 (2) 【详解】（1）由可得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为7； （2）由可得， 因此， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 17．（15分）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【答案】(1)若，则；证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. （2）在锐角三角形中，由（1）得， 同理， . 以上式子相加得. 18．（17分）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）. (1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围； (2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)， (2)，最小值为472000元 【详解】（1）由题意可得，矩形的面积为, 因此， ∵，∴. （2） ，， 由基本不等式y472000， 当且仅当，即x时，等号成立， 故当x时，总造价y最小，最小值为472000元. 19．（17分）（1）若不等式的解集为或，求，的值； （2）求关于的一元二次不等式的解集． 【答案】（1） ；（2）答案见解析 ． 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以和为方程的两根且， 所以，解得； （2）由，得，即， 因为是关于的一元二次不等式，所以， 当时，解得或，故不等式的解集为； 当时，不等式即为， ①时，即，不等式无解，故不等式的解集为； ②时，，解得，故不等式的解集为； ③时，，解得，故不等式的解集为； 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$