热点03 直线与方程-2024-2025学年高二第一学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版）

热点03 直线与方程 考点一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为． （2）范围：直线l倾斜角的范围是 2．斜率公式 （1）若直线l的倾斜角90°，则斜率． （2）在直线l上，且，则直线l的斜率． 考点二、直线的方程 方程 适用范围 点斜式： 不包含直线 斜截式： 不包含垂直于x轴的直线 两点式： 不包含直线（当时） 和直线（当时） 截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 考点三、两条直线的位置关系 位置关系 与 与 相交 垂直 平行 且 或 重合 且 注意： （1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况； （2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 考点四、距离问题 条件 距离公式 点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线与的距离 考点五、对称问题 （1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为； （2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则． 热点一 直线的倾斜角 例1．如果直线绕坐标原点按顺时针旋转得到直线，且直线的倾斜角为，那么直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 例2．直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 变式1-1．设直线l的直线方程为，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1-3．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值可以为 ． 热点二 直线的斜率 例3．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 例4．已知点，若直线与线段相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 变式2-1．已知两点，直线过点且交线段于三等分点（靠近），若直线的斜率的绝对值不大于2，则实数的取值范围是 ． 变式2-2．点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 变式2-3．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 热点三 已知平行、垂直求参数 例5．已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例6．已知，若为直角三角形，则 ． 变式3-1．直线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D．或 变式3-2．（多选）已知点，，点在轴上，且，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，则 ． 热点四 由两条直线平行、垂直求方程 例7．已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 例8．过点且平行于直线的直线方程为 . 变式4-1．已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 变式4-2．已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 热点五 求直线的方程 例9．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 例10．已知直角的直角顶点，且在轴上． (1)求点的坐标； (2)求斜边中线的方程． 变式5-1．过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-2．已知直线，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： (1)直线与直线平行； (2)直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4； (3)直线 在两坐标轴上的截距相等． 热点六 直线的三角形问题 例11．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，则与两坐标轴所围成的三角形面积大小为 ． 例12．已知直线l:＋＝1. (1)如果直线l的斜率为2，求实数m的值； (2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成的三角形面积最大时直线l的方程． 变式6-1．已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 变式6-2．直线过点，且与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点．是否存在这样的直线同时满足下列条件？ （1）的面积为6； （2）的周长为12． 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 变式6-3．已知直线的斜率为2． (1)求； (2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 热点七 点到直线的距离问题 例13．若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 例14．已知点和直线，则点到直线的距离的取值范围是 . 变式7-1．已知的三个顶点分别是，是的中点，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 变式7-2．已知点到直线的距离比为，则 . 变式7-3．点到直线距离的最小值为 ，最大值为 . 热点八 两平行线的距离问题 例15．已知直线和之间的距离是（ ） A．4 B． C． D． 例16．已知直线分别与轴的交点连线构成四边形，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 变式8-1．（多选）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 变式8-2．已知两条平行直线和之间的距离小于1，则的取值范围是 ． 变式8-3．若直线与直线平行，且与间的距离为，则 . 热点九 直线的对称问题 例17．直线关于直线对称的直线方程是 . 例18．若点与关于直线对称，写出一个符合题意的θ值为 ． 变式9-1．（多选）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 变式9-2．已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 变式9-3．已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 一、单选题 1．（2023-24高二上·广东东莞·期中）直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高二上·云南昆明·期中）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线：，则 C．点到直线的距离是 D．过与直线平行的直线方程是 3．（2023-24高二上·浙江金华·期中）已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（    ） A． B． C． D． 4．（2023-24高二上·重庆·期末）已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2023-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023-24高二上·江苏镇江·期中）已知在直角坐标系xOy中，点Q(4，0)，O为坐标原点，直线l：上存在点P满足.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2021高二·江苏·专题练习）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M（与不重合），则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 8．（2023-24高二上·浙江绍兴·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 二、多选题 9．（2023-24高二上·安徽·期中）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2023-24高二上·安徽合肥·期中）已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得平行于 11．（2023-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 三、填空题 12．（2023-24高一下·重庆·期末）已知直线和直线垂直，则实数 . 13．（2023-24高一下·江苏盐城·期末）直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 14．（2023-24高二上·安徽·期中）已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为 ；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为 ． 四、解答题 15．（2023-24高二·全国·期中）已知直线和直线. (1)当m为何值时，直线和平行？ (2)当m为何值时，直线和重合？ 16．（2023-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 17．（2023-24高二上·湖南怀化·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 18．（2023-24高二上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线． (1)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程； (2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值． 19．（2021高二·江苏·专题练习）如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数 （1）设，求面积的最小值； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点03 直线与方程 考点一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为． （2）范围：直线l倾斜角的范围是 2．斜率公式 （1）若直线l的倾斜角90°，则斜率． （2）在直线l上，且，则直线l的斜率． 考点二、直线的方程 方程 适用范围 点斜式： 不包含直线 斜截式： 不包含垂直于x轴的直线 两点式： 不包含直线（当时） 和直线（当时） 截距式： 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 考点三、两条直线的位置关系 位置关系 与 与 相交 垂直 平行 且 或 重合 且 注意： （1）当两条直线平行时，容易遗漏斜率不存在时的情况； （2）当两条直线垂直时，容易遗漏一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 考点四、距离问题 条件 距离公式 点之间的距离 点到直线的距离 两条平行线与的距离 考点五、对称问题 （1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为； （2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则． 热点一 直线的倾斜角 例1．如果直线绕坐标原点按顺时针旋转得到直线，且直线的倾斜角为，那么直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的倾斜角为，逆时针旋转后得直线，倾斜角为， 故选：B． 例2．直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由直线的斜率，可得，即． （2）当时，直线的倾斜角； 当时，直线的斜率， 当时，； 当时，， 又直线的倾斜角为，则有或， 所以直线的倾斜角的取值范围是或． 故直线的倾斜角的最小值为． 变式1-1．设直线l的直线方程为，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上， 故选：C. 变式1-2．若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：，则，得， 得， 设直线的倾斜角为 ，则， 得， 得，得， 故选：D 变式1-3．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值可以为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得，则实数a的取值可以为2. 故答案为：2 热点二 直线的斜率 例3．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 例4．已知点，若直线与线段相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意知直线过定点，如图所示： 则，    由图像得直线的斜率的取值范围是或． 故选：D． 变式2-1．已知两点，直线过点且交线段于三等分点（靠近），若直线的斜率的绝对值不大于2，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】依题意，上靠近的三等分点的坐标为，    直线的斜率存在，所以直线的斜率为， 由题可得，解得，即． 故答案为： 变式2-2．点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 变式2-3．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意两直线均有斜率，所以， 若取，则有，但； 若，又， 所以，而， 综上所述，“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 热点三 已知平行、垂直求参数 例5．已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 例6．已知，若为直角三角形，则 ． 【答案】或 【详解】当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得． 故答案为：或 变式3-1．直线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D．或 【答案】D 【详解】因为两直线垂直， 所以， 解得或. 故选：D 变式3-2．（多选）已知点，，点在轴上，且，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设点的坐标为，由，得， 又直线与直线的斜率都存在，且，整理得， 解得或，所以点的坐标为或． 故选：AD 变式3-3．已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，则 ． 【答案】6 【详解】因为直线的倾斜角为，所以． 又直线，则，解得． 故答案为： 热点四 由两条直线平行、垂直求方程 例7．已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜截式方程为，则其斜率为， 因为直线过点，且与直线平行，所以， 则直线的点斜式方程为，即为． 故选：B. 例8．过点且平行于直线的直线方程为 . 【答案】 【详解】设与直线平行的直线方程为， 把点代入可得，解得， 故所求的直线的方程为， 故答案为：． 变式4-1．已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 变式4-2．已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，线段的中点为， 线段的垂直平分线的方程是，化为：， 故选：A． 变式4-3．已知直线经过点，求分别满足下列条件直线的方程： (1)垂直于直线； (2)平行于直线. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为垂直于直线，所以所求直线斜率为， 所求直线方程为，即. （2）因为平行于直线所以斜率.所求直线方程为，即. 热点五 求直线的方程 例9．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 例10．已知直角的直角顶点，且在轴上． (1)求点的坐标； (2)求斜边中线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设顶点的坐标为， 由题可得，解得，故点的坐标为． （2）由（1）可知斜边的中点为， 则斜边的中线的斜率为，代入点斜式方程得． 即 变式5-1．过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设直线的方程为， 将点代入，可得， 即， 由于， 所以方程有两个根， 故满足题意的直线的条数为2． 故选：B. 变式5-2．已知直线，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线的倾斜角为，则，， 则直线的倾斜角为， 故其斜率， 而直线过点，则直线的点斜式方程为， 即直线的方程是. 故选：A 变式5-3．已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： (1)直线与直线平行； (2)直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4； (3)直线 在两坐标轴上的截距相等． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）设直线l的方程为为常数，代入点得， 所以直线l的方程为，即； （2）设直线l的方程为，则①，②， 由①②解得，,故直线l的方程为，即； （3）①若直线的截距不为0，设直线的方程为， 将点代入直线方程可得，，解得，故直线方程为； ②若直线的截距为0，设直线的方程为，将点代入直线方程可得，， 故直线方程为． 综上所述，直线的方程为或． 热点六 直线的三角形问题 例11．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，则与两坐标轴所围成的三角形面积大小为 ． 【答案】 【详解】在直线中，令得，∴， 直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线， 设直线的倾斜角为，则，则的倾斜角为， ∴的斜率， ∴的方程为，即， 令，得，∴与轴交点坐标为， ∴与两坐标轴所围成的三角形面积为： ． 故答案为：． 例12．已知直线l:＋＝1. (1)如果直线l的斜率为2，求实数m的值； (2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交，求与坐标轴围成的三角形面积最大时直线l的方程． 【答案】(1)m＝4； (2)x＋y－1＝0. 【详解】（1）解：直线l的方程可化为y＝x＋m，所以＝2，解得m＝4. （2）解：直线l与两坐标轴的交点为(2－m，0)， (0，m)． 据题意知解得0<m<2， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为S＝m(2－m)＝－(m－1)2＋. 因为0＜m＜2，所以当m＝1时，S取到最大值， 故所求直线l的方程为＋＝1，即x＋y－1＝0. 变式6-1．已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 变式6-2．直线过点，且与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点．是否存在这样的直线同时满足下列条件？ （1）的面积为6； （2）的周长为12． 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【详解】设直线的方程为， 因为直线过点，所以．① 又，② 联立①②，解得或， 当，时， ，，，，符合条件（2）； 当，时， ，，，，不符合条件（2）． 所以存在这样的直线同时满足（1），（2），且直线方程为， 即． 变式6-3．已知直线的斜率为2． (1)求； (2)若直线，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）易知直线过点， 则直线的斜率为， 解得． （2）由题可知直线的斜率为2， 故设直线的方程为． 易知直线与轴的交点坐标分别为，， 则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 解得． 所以直线的方程为或． 热点七 点到直线的距离问题 例13．若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 【答案】C 【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或． 故选：C. 例14．已知点和直线，则点到直线的距离的取值范围是 . 【答案】 【详解】可化为： 设直线的定点为，点P到直线的距离为，则有： 可得：为直线的定点 则有：，此时为点P到直线的最大距离 若在直线上，则有：，即 可得：不可能在直线上，则有： 综上可得： 故答案为： 变式7-1．已知的三个顶点分别是，是的中点，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】由题意可知的中点， 则边上的中线所在直线的方程为，即，， 又点到直线的距离， 故. 故选：A 变式7-2．已知点到直线的距离比为，则 . 【答案】或18 【详解】点和到直线的距离分别为， 则，解得或18. 故答案为：或18 变式7-3．点到直线距离的最小值为 ，最大值为 . 【答案】 / / 【详解】点到直线的距离 ，其中， 故当时，取得最小值；当时，取得最大值． 故答案为：； 热点八 两平行线的距离问题 例15．已知直线和之间的距离是（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】直线可以转化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 故选：D 例16．已知直线分别与轴的交点连线构成四边形，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【详解】令，可得与坐标轴的交点为， 与坐标轴的交点为．平行的两边长分别为． 直线两直线之间的距离为，故四边形的面积为． 故选：D 变式8-1．（多选）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】解：动点分别在直线与上移动， 又线段的中点为，， 在直线上运动， 到直线的距离． 到坐标原点的距离大于等于． 故选：CD． 变式8-2．已知两条平行直线和之间的距离小于1，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为直线和：平行，所以． 又因为两平行直线间的距离小于1，即，解得，故的取值范围为． 故答案为： 变式8-3．若直线与直线平行，且与间的距离为，则 . 【答案】15或 【详解】由题可知，所以，解得且， 所以，可表示为， 则间的距离为，解得或8， 所以或. 故答案为：15或. 热点九 直线的对称问题 例17．直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 由方程，令，可得，即直线过点， 设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即， 所以，所以对称直线的方程为，即. 故答案为：. 例18．若点与关于直线对称，写出一个符合题意的θ值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由题设，中点在直线上，且， 所以，且， 即，且， 所以，且， 故，且， 所以，且， 综上，，可得，显然满足. 故答案为：（答案不唯一） 变式9-1．（多选）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 变式9-2．已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 【答案】 【详解】设关于直线对称对称点坐标为， 则，解得，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 变式9-3．已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 【答案】 【详解】易知，所以与直线平行， 与直线间的距离为， 又因为与关于直线对称， 所以与平行，且两直线间的距离为， 设直线，所以，解得或， 当时，直线与直线间的距离为， 即直线与关于直线不对称； 当时，直线与直线间的距离为，符合， 所以. 一、单选题 1．（2023-24高二上·广东东莞·期中）直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意已知直线的斜率为，,因此倾斜角为． 故选：C． 2．（2023-24高二上·云南昆明·期中）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线：，则 C．点到直线的距离是 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【详解】对于，直线的斜率为，倾斜角为，A错误； 对于，直线的倾斜角为的倾斜角为，两直线不垂直，B错误； 对于，点到直线的距离为，C错误； 对于，设与直线平行的直线方程为，因为它过， 所以 过与直线平行的直线方程是，D正确， 故选：D． 3．（2023-24高二上·浙江金华·期中）已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，D错误. 故选：B. 4．（2023-24高二上·重庆·期末）已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】当直线过原点时，不成立， 当直线不过原点时，直线的斜率为，即，所以， 故选：D 5．（2023-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 6．（2023-24高二上·江苏镇江·期中）已知在直角坐标系xOy中，点Q(4，0)，O为坐标原点，直线l：上存在点P满足.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因点P在直线l：上，则设，于是有， 而，因此，， 即，依题意，上述关于的一元二次不等式有实数解， 从而有，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：A 7．（2021高二·江苏·专题练习）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M（与不重合），则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线经过定点， ， 动直线和动直线满足， 两条直线始终垂直， 又因为是两条直线的交点，所以. 所以. 设，则， 由，可得， ， 令， 所以， 故的最大值为． 故选: C 8．（2023-24高二上·浙江绍兴·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】如图，设，， ， ， 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 表示点与之间的距离； 所以 ， 其中是以1为边长的正方形内任意一点， ，； 故， 当且仅当时，，等号成立，所以原式的最小值为. 故选：B 二、多选题 9．（2023-24高二上·安徽·期中）已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】解：由图可知，，， 故选：AC． 10．（2023-24高二上·安徽合肥·期中）已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得平行于 【答案】ABC 【详解】对于A，当时，，， ，解得，故交点为，即A正确； 对于B，，恒过定点，， ，解得，，也过定点，故B正确； 对于C，当时，与不垂直， 当时，由可得，解得，故C正确； 对于D，由可得，解得或， 当时，，，两直线重合，不符合题意， 当时，，，两直线重合，不符合题意，故D错误； 故选：ABC. 11．（2023-24高二上·江苏盐城·期中）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】AC 【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为；    如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为，    如图：根据直线的对称性可得：； 故选：AC． 三、填空题 12．（2023-24高一下·重庆·期末）已知直线和直线垂直，则实数 . 【答案】 【详解】由于，所以， 解得，所以的值为. 故答案为： 13．（2023-24高一下·江苏盐城·期末）直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 【答案】或 【详解】当截距为0时，设， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 14．（2023-24高二上·安徽·期中）已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为 ；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为 ． 【答案】 42 【详解】直线， 联立，解得，，故； 易知直线的斜率存在且不为0， 设直线， 令，得； 令，得， 则，， 故， 当且仅当，即时等号成立． 故答案为：， 四、解答题 15．（2023-24高二·全国·期中）已知直线和直线. (1)当m为何值时，直线和平行？ (2)当m为何值时，直线和重合？ 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由题意，， 得，解得或 当或时，直线和平行. （2）由题意，， 得，解得， 当时，直线和重合. 16．（2023-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不过定点，证明见解析 【详解】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或； 令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则， 即实数的取值范围为； （2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为； （3）不过定点，证明如下： 证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为， 此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为， 若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得， 整理得，解得或， 只有当或时，直线过， 直线不过定点. 17．（2023-24高二上·湖南怀化·阶段练习）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)的最小值为，此时直线的方程为 【详解】（1）直线，， 直线过定点， 若直线不经过第三象限，所以， 即的取值范围是. （2）直线，，直线过定点，斜率存在， 依题意，直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点为坐标原点，则， 由，令，得；令得， 所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 此时直线的方程是. 18．（2023-24高二上·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线． (1)若直线在两坐标轴的截距相等，求直线的方程； (2)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点．求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当直线过原点时，设，因为点在上，所以，即， 此时直线的方程为； 当直线不过原点时，设直线的方程为，点在上，，即， 此时直线的方程为， 综上所述：直线的方程为或； （2）设，，，，则的方程为， 点在上，故， ，当且仅当，即时等号成立， 故当时，取得最小值且最小值为． 19．（2021高二·江苏·专题练习）如图，设直线：，：点A的坐标为过点A的直线l的斜率为k，且与，分别交于点M，N的纵坐标均为正数 （1）设，求面积的最小值； （2）是否存在实数a，使得的值与k无关若存在，求出所有这样的实数a；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在； 【详解】(1)因为直线l过点，且斜率为k， 所以直线l的方程为 因为直线l与，分别交于点M，N，所以， 因此由得，即， 由得，即 又因为M，N的纵坐标均为正数， 所以，即 而，因此 又因为当时，直线OA的方程为， ，，且， 所以点M到直线OA的距离为， 点N到直线OA的距离为， 因此面积 令，则且， 因此 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以S的最小值为，即面积的最小值为 (2)存在实数，使得的值与k无关． 由(1)知：，，且 因此，， 所以 又因为，所以当时，为定值， 因此存在实数，使得的值与k无关． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$