6.4.1　二项分布第1课时　导学案-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§4　二项分布与超几何分布 4.1　二项分布 第1课时　二项分布 【学习目标】 　　1.通过具体实例,了解伯努利试验. 　　2.掌握二项分布及其概率公式,并能解决简单的实际问题. ◆ 知识点一　n重伯努利试验 1.伯努利试验的概念 只有　　　　　　　　　的试验叫作伯努利试验.   2.n重伯努利试验的定义及特征 (1)定义:一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,称这样的n次　　　　　　试验为n重伯努利试验.   (2)特征: ①同一个伯努利试验重复做　　　　;  ②各次试验的结果　　　　　　.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在伯努利试验中,关注的是事件A是否发生,而在n重伯努利试验中,关注的是事件A发生的次数. (　 ) (2)n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果. (　 ) (3)进行n重伯努利试验,各次试验中事件A发生的概率可以不同. (　 ) ◆ 知识点二　二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p,则X的分布列可以表示为　　　　　　　　　　　　　　.若一个随机变量X的分布列如上所述,则称X服从参数为n,p的二项分布,简记为　　　　.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两点分布是参数n=1时的二项分布. (　 ) (2)已知随机变量X~B,则P(X=2)=. (　 ) ◆ 探究点一　对二项分布的理解 例1 判断下列随机变量X是否服从二项分布,如果服从二项分布,请写出其参数n,p分别是什么. (1)投掷一枚质地均匀的骰子5次,X为点数6出现的次数; (2)从装有除颜色外完全相同的5个红球和5个白球的袋中,有放回地随机摸球,直到摸出白球为止,X为摸到白球时的摸球次数; (3)命中率为0.6的射手甲对同一目标进行10次射击,X为甲命中目标的次数; (4)100件产品中包含10件次品,有放回地随机抽取5次,每次抽取1个,X为抽到次品的件数. 变式 (多选题)下列随机变量X服从二项分布的是 (　 ) A.将一枚质地均匀的硬币抛掷1次,正面向上的次数记为X B.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷3次,正面向上的次数记为X C.从7名男同学、3名女同学中选出5名优秀学生,选出的女生的人数记为X D.某运动员罚球2次,每次罚球的命中率都是0.6,记罚球命中的次数为X [素养小结] 判断随机变量X是否服从二项分布的方法:(1)要看试验是否在相同的条件下可以重复进行;(2)每次试验是否相互独立,互不影响. ◆ 探究点二　n重伯努利试验中事件发生的概率 例2 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷6次,求: (1)恰好出现4次正面朝上的概率; (2)正面朝上最多出现2次的概率; (3)至少出现一次正面朝上的概率. 变式 (1)已知在每次比赛中,运动员A胜运动员B的概率都是,假设每次比赛结果互不影响,则在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. (2)有8件产品,其中4件是次品,从中有放回地取3次,每次取1件,若X表示取得次品的次数,则P(X≤2)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. [素养小结] (1)n重伯努利试验的关注点 判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有两种(即要么发生,要么不发生),在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等,然后用相关公式求概率. (2)利用二项分布求解“至多”“至少”“否定性”问题的概率时,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率. ◆ 探究点三　二项分布的简单应用 例3 [2024·河北唐山乐亭高平中学高二期末] 某种植户对一块地上的n(n∈N*)个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽,则不需要进行补种,否则需要补种. (1)求每个坑不需要补种的概率; (2)当n=4时,用X表示需要补种的坑的个数,求X的分布列. 变式 假设每次测量中,出现正误差与负误差的概率都是,且每次测量互不影响,设3次测量中,出现正误差的次数为X,写出X的分布列. [素养小结] 二项分布的实际应用问题的求解步骤: (1)根据题意设出随机变量; (2)分析随机变量是否服从二项分布; (3)求出参数n和p的值; (4)根据二项分布的概率计算公式求解. 4.1　二项分布 第1课时　二项分布 【课前预习】 知识点一 1.两个相互对立的结果 2.(1)独立重复　(2)①n次　②相互独立 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)× 知识点二 P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)　X~B(n,p) 诊断分析 (1)√　(2)× 【课中探究】 例1　解:(1)投掷一枚质地均匀的骰子5次,X为点数6出现的次数,满足独立重复试验的条件,X服从二项分布,且n=5,p=. (2)虽然是有放回地摸球,但是随机变量X是摸到白球时的摸球次数,也就是说前面摸出的一定是红球,最后一次摸出的是白球,不符合二项分布的定义. (3)命中率为0.6的射手甲对同一目标进行10次射击,X为甲命中目标的次数,满足独立重复试验的条件,X服从二项分布,且n=10,p=0.6. (4)100件产品中包含10件次品,有放回地随机抽取5次,每次抽取1个,X为抽到次品的件数,满足独立重复试验的条件,X服从二项分布,且n=5,p=0.1. 变式　ABD　[解析] 二项分布需满足如下条件:每次试验只有两种结果(事件要么发生,要么不发生);n次试验相互独立;每次试验中,事件发生的概率是一个常数;随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.很显然A,B,D都满足上述条件,C选项不满足n次试验相互独立,故C中的X不服从二项分布.故选ABD. 例2　解:(1)由题意知,抛掷一枚质地均匀的硬币,正、反面朝上的概率均为,设X表示正面朝上的次数,则X~B,故P(X=4)=××=. (2)由(1)可知,X~B, 故P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=. (3)至少出现一次正面朝上的概率为1-=. 变式　(1)B　(2)D　[解析] (1)由题意可得,所求概率为××=,故选B. (2)因为是有放回地取产品,所以每次取产品取到次品的概率为=.从中取3次,X为取得次品的次数,则X~B,P(X≤2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=××+××+×=,故选D. 例3　解:(1)由题可知,每个坑需要补种的概率为×+××=, 则每个坑不需要补种的概率为1-=. (2)易知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,且X~B, 因此P(X=0)=×=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,P(X=4)=×=,所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 变式　解:由题意得X~B,则P(X=0)=×=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=×=,故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 学科网（北京）股份有限公司 $$