6.1.3　全概率公式导学案-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

1.3　全概率公式 【学习目标】 　　1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式的过程. 　　2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率. 　　*3.了解贝叶斯公式. 　　4.通过学习,培养学生数学建模、数学运算的核心素养. ◆ 知识点一　全概率公式 设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分,若P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则对任意一个事件A有P(A)=P(Bi)P(A|Bi),称上式为全概率公式. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)全概率公式中,B1,B2,…,Bn必须是一组两两互斥的事件. (　 ) (2)全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P()·P(B|)是将样本空间分成对立的两部分后得到的. (　 ) *◆ 知识点二　贝叶斯公式 设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分,若P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则P(Bi|A)=,称上式为贝叶斯(Bayes)公式. ◆ 探究点一　全概率公式 例1 某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确答案的概率为0.5,知道正确答案时,答对的概率为1,而不知道正确答案时猜对的概率为0.25,求他答对该道题目的概率. 变式1 [2024·山西运城芮城中学高二期末] 某高校有橘园、桃园、李园3个食堂,根据大数据统计分析,某天上午下课后,进入橘园、桃园、李园食堂的学生人数分别占40%,35%,25%,但因为各种原因,进入橘园、桃园、李园食堂的学生中有一些同学未用餐,而选择出校就餐.其中进入橘园、桃园食堂未用餐而选择出校就餐的学生人数分别占2%,3%.现从在校学生中任选一位学生,若发现这位学生出校就餐的概率为2.5%,则推测进入李园食堂中但未用餐而选择出校就餐的学生人数占 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.2.3% B.2.4% C.2.5% D.2.6% 变式2 在A,B,C三个地区爆发了流感,这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感,假设这三个地区的人口数量之比为3∶5∶2,现从这三个地区中任意选取一个人,则这个人患流感的概率为　　　　.  [素养小结] 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求结果发生的概率,解题步骤如下: (1)按照某种标准求样本空间Ω的一个划分B1,B2,…,Bn; (2)求P(Bi)(i=1,2,…,n); (3)求P(A|Bi)(i=1,2,…,n); (4)代入全概率公式求目标事件的概率P(A). ◆ 探究点二　多个事件的全概率问题 例2 某支足球队根据以往的数据统计发现,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1,当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.则当乙球员参加比赛时,求该球队某场比赛不输球的概率. 变式 (1)某乒乓球训练馆使用的球是A,B,C三种不同品牌的标准比赛球,根据以往使用的记录数据得到下表: 品牌名称 合格率 占总数的比例 A 98% 0.2 B 99% 0.6 C 97% 0.2 若这些球在盒子中是均匀混合的,且无区别的标志,现从盒子中随机地取出一只球用于训练,则它是合格品的概率为 (　 ) A.0.986 B.0.984 C.0.982 D.0.980 (2)有3台车床加工同一型号的零件,第1台车床加工的次品率为6%,第2,3台车床加工的次品率均为5%.加工出来的零件混放在一起,且第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.现从加工出来的零件中任取一个零件,则取到的零件是次品的概率为　　　　.  [素养小结] 全概率公式的应用较广,它的基本思路是将一个比较复杂的事件分解成若干个较简单且两两互斥的事件的和,然后利用互斥事件的概率加法公式与乘法公式来计算.事件A发生的全概率公式为P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+ P(A|Bn)P(Bn),即A在事件B1发生的条件下的条件概率与B1发生的概率乘积,A在事件B2发生的条件下的条件概率与B2发生的概率乘积,…,A在事件Bn发生的条件下的条件概率与Bn发生的概率乘积的和. 拓展 为了弘扬顽强拼搏的体育竞技精神,某学校的足球社团利用课余时间开展“三人足球”的比赛,比赛的第一阶段为“传球训练赛”,即参赛的甲、乙、丙三名同学第一次传球从乙开始,随机地传球给其他两人中的任意一人,接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人,则第6次传球重新由乙同学传球的概率为　　　　.  *◆ 探究点三　贝叶斯公式 例3 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01.今有一辆汽车中途停车修理,则该汽车是货车的概率为　　　　.  [素养小结] 贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求事件过程中某个条件成立的概率,解题步骤如下: (1)按照某种标准求样本空间Ω的一个划分B1,B2,…,Bn; (2)命名已知会发生的结果为事件A; (3)分别计算P(Bi),P(A|Bi),i=1,2,…,n; (4)代入贝叶斯公式P(Bi|A)=(i=1,2,…,n)求解. 1.3　全概率公式 【课前预习】 知识点一 诊断分析 (1)√　(2)√ 【课中探究】 例1　解:用事件A表示“该考生答对该题”,用事件B表示“该考生知道正确答案”,用事件表示“该考生不知道正确答案”,则P(B)=0.5,P()=0.5,P(A|B)=1,P(A|)=0.25,则P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=1×0.5+0.25×0.5=0.625. 变式1　D　[解析] 设A表示出校就餐,A1,A2,A3分别表示进入橘园、桃园、李园食堂未用餐而选择出校就餐,B1,B2,B3分别表示进入橘园、桃园、李园食堂.由全概率公式得P(A)=P(A1|B1)P(B1)+P(A2|B2)P(B2)+P(A3|B3)P(B3),即2.5%=2%×40%+3%×35%+P(A3|B3)×25%,解得P(A3|B3)=2.6%,故选D. 变式2　0.051　[解析] 设此人来自A,B,C三个地区分别为事件A,B,C,事件D为这个人患流感,所以P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(C)=0.2,P(D|A)=0.06,P(D|B)=0.05,P(D|C)=0.04,因此P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.3×0.06+0.5×0.05+0.2×0.04=0.051. 例2　解:设事件A1表示“乙球员担当前锋”,事件A2表示“乙球员担当中锋”,事件A3表示“乙球员担当后卫”,事件A4表示“乙球员担当守门员”,事件B表示“当乙球员参加比赛时,球队输球”,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32,所以当乙球员参加比赛时,该球队某场比赛不输球的概率为1-0.32=0.68. 变式　(1)B　(2)0.052 5　[解析] (1)将A,B,C三种品牌分别记为第1,2,3个品牌,设事件Mi表示“取到的球是第i(i=1,2,3)个品牌”,事件N表示“取到的一个球是合格品”,所以P(N)=P(M1)P(N|M1)+P(M2)P(N|M2)+P(M3)P(N|M3)=0.98×0.2+0.99×0.6+0.97×0.2=0.984.故选B. (2)设B表示“取到的一个零件为次品”,Ai表示“零件为第i(i=1,2,3)台车床加工出来的”,所以P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5. 拓展　　[解析] 设第n次传球重新由乙同学传球的概率为Pn,则P1=1,P2=(1-P1)×=0,P3=(1-P2)×=,P4=(1-P3)×=,P5=(1-P4)×=,P6=(1-P5)×=,即第6次传球重新由乙同学传球的概率为. 例3　0.8　[解析] 设“中途停车修理”为事件B, “经过的是货车”为事件A1, “经过的是客车” 为事件A2,则P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,由贝叶斯公式得P(A1|B)===0.8. 学科网（北京）股份有限公司 $$