5.3.1组合、4.3.2组合数及其性质 第1课时 组合与组合数导学案-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§3　组合问题 3.1　组合3.2　组合数及其性质 第1课时　组合与组合数 【学习目标】 　　1.通过实例,理解组合的概念. 　　2.能利用计数原理推导组合数公式. 　　3.通过对组合概念的理解,培养学生数学抽象的核心素养. ◆ 知识点一　组合 一般地,从　　　　个不同元素中,任取　　　(m≤n且m,n∈N+)个元素为　　　　,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.   ◆ 知识点二　组合数 1.定义 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数,记作. 2.公式 === . 规定:=1. ◆ 知识点三　排列与组合的区别 排列需考虑元素顺序,组合不需考虑元素顺序. 【诊断分析】 “abc”与“bca”是相同的排列吗?它们是相同的组合吗? ◆ 探究点一　组合的概念理解 例1 给出下列问题: ①从a,b,c,d 4名学生中选2名学生完成一件工作,有多少种不同的选法? ②从a,b,c,d 4名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法? ③a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场? ④a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有多少种不同的结果? 在上述问题中,哪些是组合问题?哪些是排列问题? 变式 以下四个问题中,属于组合问题的是 (　 ) A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在某电视节目中,主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星 D.从6名同学中选出2名同学,分别担任学习委员与文艺委员 [素养小结] 区分排列问题与组合问题的方法 首先把问题的一个结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会出现新的结果.若出现新的结果,则说明有顺序,是排列问题;若不出现新的结果,则说明无顺序,是组合问题. ◆ 探究点二　组合数公式的求值和证明 例2 (1)求值: ①;②;③;④. (2)设n∈N*,n≥3,k∈N*.求证: n=k. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 若=20,则m等于 (　 ) A.8 B.7 C.6 D.5 [素养小结] 公式=一般用于计算;而公式=及=一般用于证明、解方程(不等式)等. ◆ 探究点三　组合数公式的简单应用 例3 (1)5人一起见面,每两人握一次手,则一共握手的次数为 (　 ) A. B. C. D.25 (2)从班委会5名成员中选出3名成员参加校学生会竞选活动,则不同的选法种数为 (　 ) A.5 B.10 C.20 D.30 变式 某学习小组有4名男生和3名女生,从这7人中选3人参加数学竞赛. (1)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有一人在内,那么有多少种选法? (2)如果3人中必须既有男生又有女生,那么有多少种选法? [素养小结] 注意区分是排列问题,还是组合问题,同时运用好分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 3.2　组合数及其性质 第1课时　组合与组合数 【课前预习】 知识点一 n　m　一组 知识点三 诊断分析 解:“abc”与“bca”所含元素相同,但元素的顺序不同,故它们是相同的组合,但不是相同的排列.组合是选择的结果,排列是先选再排的结果. 【课中探究】 例1　解:①从a,b,c,d 4名学生中选2名学生完成一件工作,没有顺序性,属于组合问题; ②从a,b,c,d 4名学生中选2名学生完成两件不同的工作,有顺序性,属于排列问题; ③a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,没有顺序性,属于组合问题; ④a,b,c,d四支足球队争夺冠亚军,有顺序性,属于排列问题. 变式　C　[解析] 只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题,而A,B,D均与顺序有关,不是组合问题.故选C. 例2　解:(1)①===120. ②====120. ③===1. ④=1. (2)证明:k-n=k×-n×=-=0,所以n=k. 变式　C　[解析] 由题意知==20,且m>3,m∈N+,可得m=6.故选C. 例3　(1)A　(2)B　[解析] (1)两人握手是相互的,无顺序性,则两人握手属于组合问题,于是可得5人每两人握手一次,共握手次.故选A. (2)从班委会5名成员中选出3名成员参加校学生会竞选活动,则不同的选法种数为=10,故选B. 变式　解:(1)方法一:男生甲入选,女生乙不入选,有=10(种)选法,男生甲不入选,女生乙入选,有=10(种)选法,男生甲入选,女生乙入选,有=5(种)选法,故共有10+10+5=25(种)选法. 方法二:7人中选3人,有=35(种)选法,甲、乙两人均不入选,有=10(种)选法,如果男生中的甲和女生中的乙至少要有一人在内,那么共有35-10=25(种)选法. (2)男生1人入选,女生2人入选,有=12(种)选法, 男生2人入选,女生1人入选,有=18(种)选法, 故共有12+18=30(种)选法. 学科网（北京）股份有限公司 $$