5.2.1排列与排列数导学案-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§2　排列问题 2.1　排列与排列数 【学习目标】 　　1.通过实例,理解排列的概念. 　　2.通过学习,培养学生直观想象的核心素养. ◆ 知识点　排列 1.排列的概念: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素,按照　　　　　排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.   2.排列数:把从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有　　　　　　　　,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)a,b,c与c,b,a为同一排列. (　 ) (2)在一个排列中,同一个元素不能重复出现.(　 ) (3)从1,2,3,4中任选两个数字,只能组成一个排列. (　 ) (4)从n(n≥2)个人中选出2个人,分别从事两项不同的工作,则所有排列的个数可以用表示. (　 ) ◆ 探究点一　排列与排列数的相关概念 例1 判断下面几个问题是否属于排列问题? ①从1,2,3,4四个数字中,任选两个做加法,不同的结果有多少种? ②从1,2,3,4四个数字中,任选两个做除法,不同的结果有多少种? ③从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标,可得多少个不同的点的坐标? ④平面上有5个点,任意三点不共线,这五点最多可确定多少条直线? ⑤10个学生排队照相,则不同的站法有多少种? 变式 给出下面几个问题: ①5个人进行单循环乒乓球比赛;②从30人中选5人组成篮球队;③从40人中选2人担任正、副班长;④从1,2,3,4,5中选三个数组成无重复数字的三位数. 其中属于排列问题的有　　　　(填符合题意的序号).  [素养小结] 判断一个具体问题是否为排列问题,就看安排元素时是有序的还是无序的,而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题. ◆ 探究点二　用树状图法表示排列 例2 写出下列问题的所有排列: (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数. (2)由1,2,3,4四个数字组成没有重复数字的四位数. 变式 写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列. [素养小结] 利用树状图法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围:树状图在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方法. (2)策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,再以先安排哪个元素为标准进行分类,然后安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列.同理可完成其他排列.最后按树状图写出排列. 拓展 从甲、乙等5人中选3人排成一列,则甲不在排头的排法种数是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.12 B.24 C.36 D.48 ◆ 探究点三　简单的排列问题 例3 2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相,要求2名教师分别站在两侧,则不同的站法共有 (　 ) A.种 B.2种 C.(-)种 D.种 变式 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队,每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场,那么每组共进行多少场比赛? [素养小结] 解决简单的排列应用问题的注意点 (1)明确要研究的元素是什么,有无顺序. (2)明确需要分类完成还是分步完成. 拓展 有5名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能在周一值日,那么5名同学值日顺序的编排方案共有 (　 ) A.12种 B.24种 C.48种 D.120种 §2　排列问题 2.1　排列与排列数 【课前预习】 知识点 1.一定的顺序　2.不同排列的个数 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 【课中探究】 例1　解:由排列的定义可知,需要考虑元素顺序的问题,才是排列问题.①中任选两个数相加,没有顺序性,所以不是排列问题;④中任意两点确定一条直线,但是直线没有方向性,所以没有顺序,也不是排列问题.②③⑤在求解时都需要考虑元素的顺序,是排列问题. 变式　③④　[解析] 根据排列的定义可知,③④需要考虑元素的顺序性,属于排列问题,故填③④. 例2　解:(1)画出树状图,如图所示. 由上面的树状图可知,所有的两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43.共12个. (2)画出树状图,如图所示.由上面的树状图可知,所有的四位数为1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321,共24个. 变式　解:由题意作出树状图,如图所示. 故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.共24个. 拓展　D　[解析] 记另外3人为丙、丁、戊,则甲不在排头的排法分两类.第一类,不选甲,作出树状图,如图所示. 第二类,选甲,作出树状图,如图所示. 综上,共有48种不同的排法. 例3　B　[解析] 2名教师排在两边有2种排法,3名学生排在中间有种排法,所以共有2种排法.故选B. 变式　解:方法一:先从这6支队中选1支为主队,然后从剩下的5支队中选1支为客队.按分步乘法计数原理可知,每组进行比赛的场数为6×5=30. 方法二:根据题意知,一场比赛就是在6支队中选2支队的一个排列,故有=30(种)安排方法,即每组共进行30场比赛. 拓展　B　[解析] 因为同学甲只能在周一值日,所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日,所以5名同学值日顺序的编排方案共有=4×3×2×1=24(种).故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$