九年级期中押题卷（宁波专用）（考试范围：第1-4章）-2024-2025学年初中数学上学期模拟提升检测金卷（月考+期中+期末）（浙江专用）

九年级期中押题卷（宁波专用） 考查范围：第1-4章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）地铁站有A，B两个入口，D，E，F三个出口，则从A入口进，F出口出的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）下面各图形中，不能通过所给图形旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若，则的值为（  ） A． B． C． D．3 4．（23-24九年级上·浙江宁波·开学考试）将二次函数化成顶点式，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是（    ） A．1 B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果二次函数的图象如图所示，那么（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，从一个边长是的正六边形纸板中裁出两个扇形和，分别围成圆锥（裁缝和接缝忽略不计），则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，直线与轴交于点C，与y轴交于点D，以为边作矩形，点A在x轴上．双曲线经过点B，与直线交于点E，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．（2024·浙江宁波·二模）如图， 中，，点在边上，于点，点在边上，连结，已知的值，则可求得以下哪个图形的面积（   ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（    ） A．函数图象的横轴表示的长 B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C．两段抛物线的形状不同 D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知，则 ． 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为 ． , , , , , , 13．（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，称关于的方程为点的对应方程．若点，，则线段上任意点的对应方程的实数根有 个． 14．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是慈溪近日才通行的跨潮塘江大桥．该桥是明月湖基础设施工程的标志性建筑，采用七跨连续拱梁组合．最大桥拱跨径为米，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为米，则拱桥半径为 米． 15．（2024·浙江宁波·模拟预测）某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 ． 16．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知点，，点C在x轴上，轴，交线段于点D，且点D不与A、B两点重合，将沿折叠，使点B落在x轴上的点E处．设点C的横坐标为x，则当为直角三角形时，x的值为 ． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象是M． (1)求M关于点成中心对称的图象N的解析式； (2)当时，的最大值为5，求a的值． 18．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图是一个转盘，转盘被等分成三块，分别标注数字“1”、“2”、“3” (1)直接写出转动转盘一次，指针指向奇数的概率是 ； (2)小刚与小亮一起玩转盘游戏：两人各转一次转盘，若两次指针指的数字均为奇数，则小刚获胜；若两次指针指的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则小亮获胜，问该游戏对双方公平吗？请借用树状图或列表法，计算说明． 19．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知扇形．（注：所有作图都要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，请你作一条过圆心O的直线，使扇形的面积被这条直线平分； (2)如图2，若扇形的面积被以O为圆心的平分，点C在上，点D在上，在图2上作出这条． 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F． (1)如果，，，求的长． (2)如果，，线段x是线段和线段的比例中项，求x的值． 21．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，AB是的直径，交弦CD于点E，点E是CD的中点． (1)若的半径为5，，则______，______； (2)若，，求的半径． 22．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，将球从点的正上方的点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式． (1)若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度． (2)若小球的正前方处有一个截面为长方形的球筐，其中为，为，若要使小球落人筐中，求的取值范围． 23．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标 (2)点是抛物线上的动点，若，求点的坐标 (3)点是轴上一动点，当最大时，求点的坐标． 24．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）（1）问题背景：如图1，，，，求证：； （2）尝试应用：如图2，将正方形的边绕点A逆时针旋转一定角度，得到线段，连接交于点H，连按，若，求的度数． （3）拓展创新：如图3，四边形中，，，，．求的长（直接写出答案）．                学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级期中押题卷（宁波专用） 考查范围：第1-4章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）地铁站有A，B两个入口，D，E，F三个出口，则从A入口进，F出口出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：列出表格如下： 入口 出口 A B D E F 由表可知，一共有6种情况，从A入口进，F出口出的有1种， ∴从A入口进，F出口出的概率， 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）下面各图形中，不能通过所给图形旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查旋转的性质，旋转前后图形的大小和形状都不发生改变．对应线段相等． 理解旋转的意义可解答问题． 【详解】解：A：可以通过逆时针旋转得到； B：可以通过顺时针旋转得到； C：可以通过顺时针旋转得到． D∶不可以通过旋转得到． 故选∶D 3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若，则的值为（  ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，先由题意得到，再代入分式化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·开学考试）将二次函数化成顶点式，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，利用配方法把一般式化为顶点式即可． 【详解】， 故选：D． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义，得到，由此计算得到答案． 【详解】如图， 点，点是线段的黄金分割点，若， ， ， ， 故选：． 6．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如果二次函数的图象如图所示，那么（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负． 【详解】解：∵图象开口方向向上， ∴， ∵图象的对称轴在x轴的正半轴上， ∴ ∴ ∵图象与y轴交点在y轴的负半轴上， ∴ 故选：C． 7．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，从一个边长是的正六边形纸板中裁出两个扇形和，分别围成圆锥（裁缝和接缝忽略不计），则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积、弧长的计算，圆锥的底面圆半径的计算，根据题意可得正六边形的每个内角的度数，可得扇形的弧长，由此即可求解． 【详解】解：边长为的正六边形， ∴每个内角的度数为， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥底面圆的半径为， 故选：B ． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，直线与轴交于点C，与y轴交于点D，以为边作矩形，点A在x轴上．双曲线经过点B，与直线交于点E，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象是点的坐标特征求得，然后根据相似三角形的判定和性质求得，进而根据三角形全等求得，最后联立方程，解方程即可求得． 【详解】∵直线与轴交于点C，与y轴交于点D， 分别令，得，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 作，如图 ∵四边形是矩形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵双曲线经过点B， ∴，解得： ∵ ∴ ∴直线的解析式为 令，解得：或6， ∴或3 ∴点E的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题∶反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． 9．（2024·浙江宁波·二模）如图， 中，，点在边上，于点，点在边上，连结，已知的值，则可求得以下哪个图形的面积（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，三角形面积计算等知识点，解题的关键是表示出选项中的四个三角形的面积． 设，则可表示出则，，，，再证明，根据相似三角形的性质表示出，即可表示出，根据已知的值，即已知，即可判断； 【详解】如图， 设， 则， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 若已知的值，即已知， 即只可求出， 故选：B． 10．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（    ） A．函数图象的横轴表示的长 B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C．两段抛物线的形状不同 D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为 【答案】D 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像．理解拐点在图形中表示的意义是解题的关键． 第二个图形中点再结合第一个图形，可得此时点P移动到点C，H在的中点，那么的面积为．所以横轴表示的长，故A错误；当P为的中点时，作于点D，可得，根据平行线分线段成比例定理可得，那么，H为的四等分点，那么B错误；根据P在和上，分别计算出的面积，得到相应函数解析式，看二次项的比例系数的绝对值是否相等，若相等，则形状相同；把代入点P在上的函数解析式中可求得面积的值，判断出D是否正确． 【详解】解：∵在两段函数中， ∴点P点C重合． ∵等边的边长为1，， ∴． ∴， ∴． ∵符合所给点． ∴横轴表示的长，故A错误； 如图：作于点D． 又∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵P为中点， ∴． ∴． ∴． ∴点H为的四等分点，故B错误； 当P在上时，为x，则， ∴． 当P在上时，为x，则， ∴， ∴． ∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等， ∴形状相同，故C错误； 当时，点P在上， ∴，故D正确． 故选D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，设代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， 故答案为：． 12．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及能让两盏灯泡同时发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：由电路图可知，闭合开关，时，灯泡，同时发光，闭合开关，时，灯泡，同时发光． 列表如下： , , , , , , 共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡同时发光的结果有：,，,，,，,，共4种， 能让两盏灯泡同时发光的概率为． 故答案为：． 13．（2023·浙江宁波·三模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，称关于的方程为点的对应方程．若点，，则线段上任意点的对应方程的实数根有 个． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质，．求得直线的解析式为，设直线上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式和二次函数的性质即可判断． 【详解】解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线上的任意一点为， ∴这个点的对应方程为， ∵ ∵， 当有最小值，当有最大值， ∴，即， ∴线段上任意点的对应方程都没有实数根， 故答案为：0 14．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，是慈溪近日才通行的跨潮塘江大桥．该桥是明月湖基础设施工程的标志性建筑，采用七跨连续拱梁组合．最大桥拱跨径为米，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为米，则拱桥半径为 米． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；能够构造出由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算是解题关键．设，根据即可求解； 【详解】解：， ， 设米，则在中， 则 解得：， 故答案为： 15．（2024·浙江宁波·模拟预测）某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．设，则，，设矩形养殖场的总面积是，根据题意得：，由二次函数性质求最值即可． 【详解】如图， 设， ∵分成两个面积为的矩形， ∴，， 设矩形养殖场的总面积是， 墙的长度为， ， 根据题意得：， ， 当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 16．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知点，，点C在x轴上，轴，交线段于点D，且点D不与A、B两点重合，将沿折叠，使点B落在x轴上的点E处．设点C的横坐标为x，则当为直角三角形时，x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由折叠的性质可知，，，根据直角三角形的定义，分两种情况讨论，证明，得出，进而求出的长，再表示出的长即可． 【详解】解：，， ，， 由折叠的性质可知，，， 为直角三角形， 当时，如图所示，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即x的值为； 当时，如图所示， 同理可证，， ， ， ， ， ，即x的值为； 综上可知，x的值为或； 三、解答题（8小题，共68分） 17．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象是M． (1)求M关于点成中心对称的图象N的解析式； (2)当时，的最大值为5，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及中心对称的理解；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得图象是M的顶点坐标为，则有图象M关于点成中心对称的图象N的顶点坐标为，进而问题可求解； （2）由（1）可知：，然后可分当时和当时，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由可知：， ∴该二次函数的顶点坐标为， 则设点关于点中心对称的点的坐标为，所以根据中点坐标公式可得：， ∴， ∴图象M关于点成中心对称的图象N的顶点坐标为， ∴图象N的解析式为，即； （2）解：由（1）可知：， ∴当时，该抛物线开口向上，且对称轴为，即该函数在上时，当时，有最大值为5，则有，解得； 当时，该抛物线开口向下，且对称轴为，即该函数在上时，当时，有最大值为5，则有，解得（不符合题意，舍去）； 综上所示：当，的最大值为5时，． 18．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图是一个转盘，转盘被等分成三块，分别标注数字“1”、“2”、“3” (1)直接写出转动转盘一次，指针指向奇数的概率是 ； (2)小刚与小亮一起玩转盘游戏：两人各转一次转盘，若两次指针指的数字均为奇数，则小刚获胜；若两次指针指的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则小亮获胜，问该游戏对双方公平吗？请借用树状图或列表法，计算说明． 【答案】(1) (2)该游戏对双方公平 【分析】本题考查了概率问题，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 根据题意，再根据概率公式即可解答． 【详解】（1）∵转盘被等分成三块，分别标注数字“1”、“2”、“3”， ∴转动转盘一次，指针指向奇数的概率是， 故答案为：； （2）该游戏对双方公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次指针指的数字均为奇数的结果有4种，两次指针指的数字为一个奇数一个偶数（不分先后）的结果有4种， ∴小刚获胜的概率＝，小亮获胜的概率＝， ∴小刚获胜的概率＝小亮获胜的概率， ∴该游戏对双方公平． 19．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知扇形．（注：所有作图都要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，请你作一条过圆心O的直线，使扇形的面积被这条直线平分； (2)如图2，若扇形的面积被以O为圆心的平分，点C在上，点D在上，在图2上作出这条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查扇形的面积公式，以及角平分线和垂直平分线的作图法，作图痕迹容易漏掉弧，是易错点，解题技巧是将扇形面积比转化为半径的比． （1）面积被平分即作角平分线，据此要求画图即可． （2）先画出线段的垂直平分线即可得到点，再取，可得到等腰直角，则，以为半径，为圆心画弧即可得到． 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示， 20．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F． (1)如果，，，求的长． (2)如果，，线段x是线段和线段的比例中项，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列方程，解方程求出； （2）根据平行线分线段成比例定理求出，再根据比例中项的概念计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理、比例中项的概念，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 21．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，AB是的直径，交弦CD于点E，点E是CD的中点． (1)若的半径为5，，则______，______； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理及推论是解题的关键； (1)根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解； (2)根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接 是的直径，是的中点， ， ， ， ， ， （2）解：是的直径，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故的半径为 22．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，将球从点的正上方的点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式． (1)若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度． (2)若小球的正前方处有一个截面为长方形的球筐，其中为，为，若要使小球落人筐中，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出抛物线上的点的坐标是解决本题的关键． （1）小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，那么抛物线的对称轴为：直线，即可得到，把相关数值代入可得的值；易得抛物线经过点，坐标为，那么．即可判断出抛物线的解析式，进而可得时，小球达到的最大的高度； （2）抛物线经过点，坐标为，那么函数解析式中的．易得点和点的坐标，分别代入题中所给的函数解析式中，可得的值，即可判断出要使小球落人筐中，的取值范围． 【详解】（1）解：小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度， 抛物线的对称轴为：直线． ． 解得：． 由题意得：抛物线上点的坐标为． ． 抛物线的解析式为：． 当时，． 答：小球达到的最大高度为； （2）解：由题意得：点的坐标为，点的坐标为． 抛物线上点的坐标为， ． 抛物线的解析式为：． ①抛物线经过点． ． 解得：． ②抛物线经过点． ． 解得：． 要使小球落人筐中，的取值范围为：． 23．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标 (2)点是抛物线上的动点，若，求点的坐标 (3)点是轴上一动点，当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可，再根据解析式求出对称轴，即可求出点D的坐标； （2）过点E作轴交于点F，求出直线的解析式，设点，则，由，再根据，建立方程求解出符合的解即可； （3）连接，作的内接圆，设，在中，所对的边为，当为的内接圆的直径时，最大，且为直角，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， ， 解得， 抛物线的解析式为：； ， ， 抛物线的图象关于对称， 点与点关于抛物线的对称轴对称， 设点D的坐标为， ， ， ； （2）解：设直线的解析式为， 将，，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， ， ， 设点， ， ， ， 如图，过点E作轴交于点F， ， ， ， ，即， 或， 当时， 解得：或， 或； （3）解：如图，连接，作的内接圆，    设，在中，所对的边为， 当为的内接圆的直径时， 最大，且为直角， ， ， ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 24．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）（1）问题背景：如图1，，，，求证：； （2）尝试应用：如图2，将正方形的边绕点A逆时针旋转一定角度，得到线段，连接交于点H，连按，若，求的度数． （3）拓展创新：如图3，四边形中，，，，．求的长（直接写出答案）．                【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先利用勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，，进而证明，，由此即可证明； （2）如图所示，连接，由正方形的性质得到，由旋转的性质可得，进而证明， 同理可证明，得到，再由相似三角形的性质可得，设，则，再由，得到，解方程即可得到答案； （3）如图所示，过点B作使得 ，连接，过点E作交延长线于F，先证明，得到，，由此求出；在中， 求出，由四边形内角和推出，得到，则，，由勾股定理得则． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴； （2）如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 同理可证明， ∴ 又∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴；    （3）如图所示，过点B作使得 ，连接，过点E作交延长线于F， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，四边形内角和定理，三角形内角和定理，旋转的性质等等，正确作出辅助线根据题意构造全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$