九年级期中押题卷（温州专用）（考试范围：第1-4章）-2024-2025学年初中数学上学期模拟提升检测金卷（月考+期中+期末）（浙江专用）

九年级期中押题卷（温州专用） 考查范围：第1-4章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23九年级·浙江温州·自主招生）布袋里有 100 个球， 其中有红球 28 个， 绿球 20 个， 黄球 12 个， 蓝球 20 个， 白球 10 个， 黑球 10 个， 从袋中任意摸出球来， 若要一次摸出至少 15 个同色的球， 则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C． 个 D．16 个 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为4，点在内，则的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024·浙江温州·一模）点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，与其相似的三角形的最长边为15，则较大三角形的面积为（　　） A．6 B．18 C．54 D．108 5．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 8．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门的半径为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知，若，，，则线段的长为 （    ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江温州·三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深．立5尺长的木于井上，从木的末梢点观察井水水岸处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（    ） A．500寸 B．525寸 C．550寸 D．575寸 2、 填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24九年级上·浙江温州·期中）半径为4，圆心角为的扇形面积为 ． 12．（2024·浙江温州·模拟预测）某班45名学生体重达标情况（单位：人）如下表所示，在该班中随机抽取一名学生，其体重为标准的概率是 ． 体重 偏瘦 标准 超重 肥胖 人数 3 36 4 2 13．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是 ． 14．（23-24九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为，过，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．    15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，点为三角形纸片的重心，过点分别作，，的平行线，沿着平行线剪开得到与，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 16．（2023·浙江温州·模拟预测）两个全等的正五边形和正五边形如图摆放，点C，D，F，G在同一直线上，连结，若正五边形的面积为10，则的面积为 ． 3、 解答题（8小题，共68分） 17．（23-24九年级上·浙江温州·期中）一个布袋里装有除颜色外完全相同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． (1)则布袋中红球的个数为 个． (2)若从布袋中两手各摸出一个球不放回共摸出个球，用列表法或树状图法求出两球都是红球的概率是多少？ 18．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G． (1)求证： ； (2)若，求弧的长度． 19．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，观察图中的二次函数图象可得： (1)求该抛物线的解析式． (2)当x______时，y随x的增大而减小． (3)当x______时，y达到最______（填“大”或“小”）值是______． 20．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，，，三点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图． (1)在图1中以点为位似中心，作线段的位似图形，使其长度为的2倍． (2)已知的三边比为，在图2中画格点，使与相似． 21．（2024·浙江温州·一模）如图，在四边形中，，，．点在线段上，交于点，交于点，交于点，连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的值． (3)若为的中点，，求的长． 22．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线，是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线由抛物线向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形，其中米，米，米，抛物线表达式为，且点A，B，D，G，C均在坐标轴上． (1)若，求抛物线表达式． (2)在条件（1）下，要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记长为d米，求d的取值范围． (3)若，喷水器喷出的水能否洒到整个汽车？请说明理由． 23．（2023·浙江温州·一模）如图，已知：在△ABC中，，点P是BC边上的动点．交AB于D．以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F． (1)求证：． (2)若，． ①当，求PC的长． ②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长． (3)若，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为 ． 24．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）根据背景素材，探索解决问题． 测算石拱桥拱圈的半径 素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．    素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．    素材3 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．    问题解决 任务1 获取数据 通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）． 任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径． 注：测量、计算时，都以“肘”为单位． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级期中押题卷（温州专用） 考查范围：第1-4章 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23九年级·浙江温州·自主招生）布袋里有 100 个球， 其中有红球 28 个， 绿球 20 个， 黄球 12 个， 蓝球 20 个， 白球 10 个， 黑球 10 个， 从袋中任意摸出球来， 若要一次摸出至少 15 个同色的球， 则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C． 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况先摸出9个黑球，14个白球，再摸出另三色中一色的14个球，此时再任意摸出一个小球即可保证15个小球颜色相同． 根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况． 【详解】解：最坏情况考虑就行了，摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球，最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同，即最少要摸：个球； 故选B． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知的半径为4，点在内，则的长可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系解答即可，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为4，点在内， ∴， ∴的长可能是3， 故选：A． 3．（2024·浙江温州·一模）点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆周角定理求出，然后根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 4．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为3，4，5，与其相似的三角形的最长边为15，则较大三角形的面积为（　　） A．6 B．18 C．54 D．108 【答案】C 【分析】 本题考查的是相似三角形的性质和勾股定理的逆定理的应用，先根据一个三角形的三边长分别为3，4，5，可判定此三角形为直角三角形，进而求出其面积，与其相似的三角形的最长的边为15求出其相似比，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得较大的三角形的面积． 【详解】解：∵32+42=52， ∴三边长为3，4，5的三角形是直角三角形，面积， 两个三角形的相似比为， 则两个三角形的面积比为， ∴较大的三角形的面积为， 故选：C． 5．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 6．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查数形结合思想，涉及抛物线和直线交点，根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， ∴方程的解即为抛物线和直线的交点， ∴解为，， 故选：B． 7．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据二次函数图象的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由图象可得：对称轴，即，即A选项正确，不符合题意； B、由函数图象可知：的解为，另一个解为：，即B选项正确，不符合题意； C、由函数图象可知：且，则有；又当时，，即，即，即C选项正确，不符合题意； D、由意义可知：，则，又，则，可得点在第二象限，故D选项错误，符合题意． 故选D． 8．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了拱高的定义，垂径定理，勾股定理；圆心为，连接，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；理解拱高的定义，能结合垂径定理熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：圆心为，连接， 设， ， ， ， 在中， ， ， 解得：； ； 故选：B． 9．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知，若，，，则线段的长为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质，过作，交与，交于点，则四边形，四边形是平行四边形，，根据性质得，，然后代入求解即可，熟练掌握判定与性质是解题的关键． 【详解】如图，过作，交与，交于点， ∵， ∴四边形，四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：． 10．（2024·浙江温州·三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深．立5尺长的木于井上，从木的末梢点观察井水水岸处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（    ） A．500寸 B．525寸 C．550寸 D．575寸 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得：寸，寸，寸，，寸，证明，代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：寸，寸，寸，， ∴寸， ∵， ∴， ∴，即， ∴寸， 故选：D． 2、 填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24九年级上·浙江温州·期中）半径为4，圆心角为的扇形面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用．根据扇形的面积计算公式计算即可； 【详解】解：扇形的面积， 故答案为：． 12．（2024·浙江温州·模拟预测）某班45名学生体重达标情况（单位：人）如下表所示，在该班中随机抽取一名学生，其体重为标准的概率是 ． 体重 偏瘦 标准 超重 肥胖 人数 3 36 4 2 【答案】 【分析】 本题主要考查了概率公式，掌握概率公式等于满足题意的结果数除以所有等可能结果数成为解题的关键． 直接运用概率公式即可解答． 【详解】解：在该班中随机抽取一名学生，其体重为标准的概率是． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴或． 14．（23-24九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为，过，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．    【答案】①③ 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象与性质，根据图象先判断的取值，然后再根据对称轴与图象的交点情况进行等量代换和推理即可． 【详解】解： 由图象可知，图象开口向下， ∴， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， 又对称轴为， ∴，， ∴， ∴，故①符合题意； 抛物线与x轴交于， ∴， ∴，故②不符合题意； 由二次函数的对称性可知，当时，， 则有，故③符合题意； ∵，， ∴， 又， ∴，故④不符合题意； 当时，函数值最大，， 而当时，， ∴ ，故⑤不符合题意． 故答案为：①③． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，点为三角形纸片的重心，过点分别作，，的平行线，沿着平行线剪开得到与，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据点为三角形纸片的重心，证明，，由三角形相似的性质求出与的面积即可． 【详解】解：连接并延长交于，如图： 点为三角形纸片的重心， ， ， ， ∴， ， ， ， ，即：， ， ，， ，四边形是平行四边形， ，， ∴ ，， ， ，即：， ， ， 故答案为：5． 16．（2023·浙江温州·模拟预测）两个全等的正五边形和正五边形如图摆放，点C，D，F，G在同一直线上，连结，若正五边形的面积为10，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查正多边形，由两个正五边形全等得，由两个三角形同底等高得，减去公共部分后也相等，即，同理可得，将的面积转化为几部分的面积和，即五边形的面积． 【详解】解：设交于点，与交于点， ∵正五边形与正五边形全等， ∴ ∵正五边形的面积为10， ∴正五边形的面积为10， 由题得四点在一条直线上， ∴ ∴ 同理， ∴ ∴ ∵ 故答案为：10． 3、 解答题（8小题，共68分） 17．（23-24九年级上·浙江温州·期中）一个布袋里装有除颜色外完全相同的若干个球，其中1个白球，若干个红球，从中任意摸出1个，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，通过大量的重复实验，得到摸出白球的频率是． (1)则布袋中红球的个数为 个． (2)若从布袋中两手各摸出一个球不放回共摸出个球，用列表法或树状图法求出两球都是红球的概率是多少？ 【答案】(1) (2)见解析； 【分析】（1）用白球的个数除以摸出白球的频率值求出球的总个数，继而可得答案； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到摸出2个球都是红球的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，布袋中球的总个数为（个）， 则红球的个数为（个）， 故答案为：3； （2）解：列表如下： 白 红1 红2 红3 白 （白，红1） （白，红2） （白，红3） 红1 （红1，白） （红1，红2） （红1，红3） 红2 （红2，白） （红2，红1） （红2，红3） 红3 （红3，白） （红3，红1） （红3，红2） 由表知，共有12种等可能结果，其中摸出2个球都是红球的有6种结果， 所以摸出2个球都是红球的概率为． 【点睛】此题考查了概率公式与用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 18．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G． (1)求证： ； (2)若，求弧的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握． （1）根据是 的直径，，，推出，即可推得． （2）连接、，根据，，求出，再根据，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是 的直径， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长度． 19．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，观察图中的二次函数图象可得： (1)求该抛物线的解析式． (2)当x______时，y随x的增大而减小． (3)当x______时，y达到最______（填“大”或“小”）值是______． 【答案】(1) (2) (3)，大，9 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，根据函数的图象，结合二次函数的性质即可逐个判断得解． 【详解】（1）解：由题意，如图可得，抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点为， 设抛物线的解析式为：， ∵二次函数与x轴的一个交点为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）当时，y随x的增大而减小； （3）当时，y达到最大值9． 20．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，，，三点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图． (1)在图1中以点为位似中心，作线段的位似图形，使其长度为的2倍． (2)已知的三边比为，在图2中画格点，使与相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图以及勾股定理的运算，掌握分类讨论的数学思想是解决第二问的关键． （1）连接并等倍延长即可完成作图； （2）由题意得是直角三角形，所以也是直角三角形；根据图示得，可得的三边长为：或或（舍）． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵的三边比为， 且， ∴是直角三角形， ∴也是直角三角形， 由图可知： ∴的三边长为：或或（舍） 如图所示： 21．（2024·浙江温州·一模）如图，在四边形中，，，．点在线段上，交于点，交于点，交于点，连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的值． (3)若为的中点，，求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)6 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键． （1）由平行线等分线段定理可得、，进而得到，然后证明可得，最后根据同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）先证明，同理可得，即，最后代入数据计算即可； （3）先证明可得，再根据E为的中点可得；再证可得，然后代入数据即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． （2）解：∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴． 同理得：， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 由(1)(2)可得：， ∴， ∴，即，解得：． 22．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线，是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线由抛物线向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形，其中米，米，米，抛物线表达式为，且点A，B，D，G，C均在坐标轴上． (1)若，求抛物线表达式． (2)在条件（1）下，要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记长为d米，求d的取值范围． (3)若，喷水器喷出的水能否洒到整个汽车？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)能，理由见详解 【分析】（1）先求得A点的坐标为，将点A坐标代入解析式即可解答； （2）根据车高米，可得点A的纵坐标是，即把代入解析式，就可以计算出点A对称点坐标，从而得到抛物线向左平移了4个单位度，再计算B点坐标，又因为，即可解答； （3）方法同（1）计算出解析式、点B、C坐标，同理把入解析式，得到点G横坐标的最大值，根据，可以计算出点D横坐标的最大值，再代入解析式，计算出此时纵坐标，比车高值大，即可解答． 【详解】（1）∵， ∴A点的坐标为， 将代入， 得：， 解得：， ∵， ∴抛物线表达式：， 当时，即， 解得：， ∴根据点C在x轴的正半轴，可得， 则此时自变量x的取值范围为：， 即抛物线表达式：，； （2）∵， ∴A、E、F的纵坐标均为， ∴令， 解得：，， ∵刚好可以撒到整个汽车， ∴当F点在抛物线上， ∴F点坐标为， ∵点A的坐标是， ∴根据点F、点A的坐标，结合图象可知抛物线是由抛物线向左平移4米得到的， ∵抛物线表达式：， ∴抛物线表达式为：， 把y=0代入中， 得：， 解得，舍去）， ∴， 由（1）得把代入中， 得：（舍去），， 根据喷出的水要可以撒到整个汽车，可知：，， ∵， ∴， ∴， 即； （3）能，理由如下： 当时，代入， 得：， 此时点A坐标为，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线： 把代入得：， 解得：，（负值舍去）， ∴， ∵把代入得：， 解得：，， ∴点A坐标为在抛物线上的对称点坐标是，抛物线向左平移了四个单位长得到抛物线AB， ∴点B是由点C向左平移4个单位长度得到的，即B， 即， ∵， ∴将代入抛物线解析式得：， 整理，得：， 解得：，， ∴点G的横坐标最大值是， ∵此时， ∴的最大值为：， 即， ∵把代入抛物线得：， ∴喷水器喷出的水能酒到整个汽车． 【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 23．（2023·浙江温州·一模）如图，已知：在△ABC中，，点P是BC边上的动点．交AB于D．以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F． (1)求证：． (2)若，． ①当，求PC的长． ②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长． (3)若，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②当△PEF为等腰三角形，则满足条件的△PEF的腰长为7.5，4.2或3 (3) 【分析】（1）先根据余角的性质求出，根据圆周角的性质得出，则可证出结果； （2）①先解Rt△ABC，①根据，结合∠APD=90°，求出∠APD为30°，则可根据含30°角的直角三角形的性质求出PC长；②分三种情况讨论，即I．当时，利用ASA证明，得出，利用三角函数求腰长PE即可；II．当时，根据等腰三角形的性质，圆周角定理和垂径定理求出∠B=∠PAC，则可利用三角函数求出PC，从而求出PB，再利用三角函数求EP即可；III．当时， 根据直角三角形斜边中线的性质求出，设，得出，，根据AB=20建立方程求解，然后求出AC、AP长，则可得到腰长FP； （3）先证明，利用相似比得出，然后根据等腰直角三角形的性质得出PD=PB，AC=BC，则可推出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ ∵PD为直径， ∴ ∴   ∴ ∵ ∴ （2）解：如图1，∵，， ∴，， ①∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ②I．如图2，时 ∵且 ∴（ASA） ∴ ∵， ∴； II．如图3，时 ∴ ∵PD为⊙O直径， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴ III．如图，当时 ∴    又∵ ∴ ∴ 设，，， ∴解得 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ 综上所述，当△PEF为等腰三角形，则满足条件的△PEF的腰长为7.5，4.2或3 （3） ∵PD为直径， ∴∠PFD=90°， ∵∠PAC+∠APC=∠APC+∠FCP=90°， ∴∠PAC=∠FCP， 又∠ACP=∠PFC=90°， ∵， ∴ ， ∴ ∵ ∵∠B=45°， ∴PD=PB，BC=AC， ∴， ∴解得或（舍去）， ∴， 即DP与AC的比值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，垂径定理，全等三角形和相似三角形的判定和性质，以及解直角三角形，综合运用所学的几何知识是解题的关键． 24．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）根据背景素材，探索解决问题． 测算石拱桥拱圈的半径 素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）．    素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）．    素材3 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）．    问题解决 任务1 获取数据 通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）． 任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径． 注：测量、计算时，都以“肘”为单位． 【答案】任务1：B，C两点之间的水平距离为肘，铅垂距离（高度差）为肘；任务2：石拱桥拱圈的半径为肘 【分析】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为肘、宽为肘，根据素材1、素材2，观察图形，得出B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）即可； 任务2：作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于，记圆心为O，连接、．观察图形，得出观察图形，、、的长，设，则，根据勾股定理，，半径，得到方程，求解方程得出，计算，即可得出石拱桥拱圈的半径． 【详解】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为肘、宽为肘， 根据素材1、素材2，观察图形，B，C两点之间的水平距离有块花岗岩的长，则（肘）， B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有块花岗岩的宽，则（肘）， 答：B，C两点之间的水平距离为肘，铅垂距离（高度差）为肘； 任务2：如图，作过点C的水平线，过点A作该水平线的垂线，垂足为E，作于，记圆心为O，连接、，    观察图形，（肘），（肘），（肘）， ∴设，则， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴石拱桥拱圈的半径为肘． 答：石拱桥拱圈的半径为肘． 【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理的应用，熟练掌握知识点、观察图形、作辅助线计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$