1.5两条直线的交点坐标导学案-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.5　两条直线的交点坐标 【学习目标】 　　能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 【课前预习】 ◆ 知识点　两条直线的交点 1.一般地,对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交,若相交,则依据直线方程的概念可知,两条直线l1,l2交点的坐标就是　　　　　　　　　　,因此,可通过求解方程组得到两条直线l1,l2的交点坐标.  2.直线系方程 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交于点P,则过点P的直线(除l2外)方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交. (　 ) (2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解. (　 ) (3)若直线2x+y+1=0与直线x-y-4=0的交点坐标为(a,b),则a-b=4. (　 ) 【课中探究】 ◆ 探究点一　两条直线的交点 例1 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点坐标. (1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)若直线kx-k+y+1=0与直线x+3y-3=0的交点在第一象限,则实数k的取值范围为 (　 ) A. B. C.∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪ (2)若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky=0相交于一点,则k=　　　　.  [素养小结] 两条直线相交的判定方法 方法一:联立直线方程,解方程组,若有且仅有一组解,则两直线相交. 方法二:两直线的斜率都存在且斜率不相等. 方法三:两直线的斜率一个存在,另一个不存在. 拓展 (多选题)若直线l1:3x-y=4,l2:x+y=0,l3:2x+3my=4不能构成三角形,则m的取值可能为 (　 ) A. B.- C. D.- ◆ 探究点二　求过两条直线交点的直线方程 例2 (1)求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点且过坐标原点的直线l的方程. (2)求经过直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程. 变式1 [2024·新疆和田高二期中] 已知直线2x-y+1=0与直线3x+y+9=0相交于点P. (1)求过点P且平行于直线5x-4y-1=0的直线l1的方程; (2)求过点P且垂直于直线3x+4y-3=0的直线l2的方程. 变式2 已知在△ABC中,A(-8,2),AB边上的中线CE所在直线的方程为x+2y-5=0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x-5y+8=0,求直线BC的方程. [素养小结] 求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程,也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程.常用的直线系方程如下:与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C);与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R);若两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0有交点,则过l1与l2交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为待定常数,直线系方程中不包括直线l2的方程). ◆ 探究点三　与交点有关的证明问题 例3 已知A(-1,2),B(2,1),C(0,4)是△ABC的三个顶点,求证:△ABC的三条高所在直线相交于一点. 变式 已知直线l的方程为(a-2)y=(3a-1)x-1,求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限. [素养小结] 证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路:先求其中两条直线的交点坐标,然后证明这一点在第三条直线上. 1.5　两条直线的交点坐标 【课前预习】 知识点 1.两个方程的公共解 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√ 【课中探究】 例1　解:方法一:(1)解方程组得 因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1). (2)方程组有无数组解,因此直线l1和l2重合. (3)方程组无解, 因此直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2. 方法二:(1)∵=2,=-,≠,∴直线l1与l2相交.由得故l1与l2的交点坐标为(3,-1). (2)由==,知直线l1与l2重合. (3)l2的方程为2x+y-3=0,由=≠知l1∥l2. 变式　(1)C　(2)-　[解析] (1)当k=时,方程kx-k+y+1=0,即x+3y+2=0,两条直线平行,不合题意,∴k≠.由解得∵交点在第一象限,∴>0且>0,∴k>2或k<-.故选C. (2)解方程组得又点(-1,-2)也在直线x+ky=0上,∴-1-2k=0,∴k=-. 拓展　ABD　[解析] 因为直线l1:3x-y=4,l2:x+y=0,l3:2x+3my=4不能构成三角形,所以存在l1∥l3,l2∥l3,l3过l1与l2的交点三种情况.显然,当m=0时不满足题意,则m≠0,可得直线l1,l2,l3的斜率分别为k1=3,k2=-1,k3=-.当l1∥l3时,可得k1=k3,即3=-,解得m=-;当l2∥l3时,可得k2=k3,即-1=-,解得m=;当l3过l1与l2的交点时,由解得则l1与l2的交点坐标为(1,-1),代入l3的方程,得2×1-3m=4,解得m=-.综上可知m=-或m=或m=-.故选ABD. 例2　解:(1)方法一:由方程组解得 即l1与l2的交点坐标为(-2,2).∵直线l过坐标原点(0,0)及点(-2,2),∴直线l的斜率k==-1,故直线l的方程为y=-x,即x+y=0. 方法二:∵l2不过原点,∴可设l的方程为3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0(λ∈R),即(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0.将原点坐标(0,0)代入上式,得λ=1,∴直线l的方程为5x+5y=0,即x+y=0. (2)方法一:由方程组得即P(0,2).∵l⊥l3,l3的斜率为,∴kl=-,∴直线l的方程为y-2=-x,即4x+3y-6=0. 方法二:∵直线l过直线l1和l2的交点,且易知l2与l3不垂直,即l与l2不重合,∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0(λ∈R),即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11,∴直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0. 变式1　解:由解得即P(-2,-3). (1)因为直线5x-4y-1=0的斜率为,直线l1与直线5x-4y-1=0平行, 所以直线l1的斜率为,又直线l1过点P(-2,-3), 所以直线l1的方程为y+3=(x+2),即5x-4y-2=0. (2)因为直线3x+4y-3=0的斜率为-,直线l2与直线3x+4y-3=0垂直,所以直线l2的斜率为,又直线l2过点P(-2,-3),所以直线l2的方程为y+3=(x+2),即4x-3y-1=0. 变式2　解:设B(x0,y0),则AB边的中点E的坐标为.由题意可得 即解得即B(6,4). 同理可求得点C的坐标为(5,0). 故直线BC的方程为=,即4x-y-20=0. 例3　证明:由题意可知,kAB==-,则AB边上的高所在直线l1的方程为y=3x+4;kAC==2,则AC边上的高所在直线l2的方程为y=-x+2;kBC==-,则BC边上的高所在直线l3的方程为y=x+. 由得则l1与l2的交点为P,又因为×+=,所以点P也在BC边上的高所在直线l3上, 所以△ABC的三条高所在直线相交于一点. 变式　证明:将直线l的方程整理为a(3x-y)+(-x+2y-1)=0.由得所以直线3x-y=0与直线-x+2y-1=0的交点为P, 即直线l恒过点P,又P在第一象限, 所以无论a为何值,直线l总经过第一象限. 学科网（北京）股份有限公司 $$