2.4 圆的方程（七大题型）（精练）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2．4 圆的方程 目录 【题型归纳】 2 题型一：圆的标准方程 2 题型二：圆的一般方程 2 题型三：点与圆的位置关系 3 题型四：二元二次曲线与圆的关系 3 题型五：圆过定点问题 3 题型六：轨迹问题 4 题型七：与圆有关的对称问题 4 【重难点集训】 5 【高考真题】 8 【题型归纳】 题型一：圆的标准方程 1．（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·北京海淀·期中）已知圆C的标准方程为，则与圆C有相同的圆心，且经过点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·福建漳州·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·四川成都·期末）已知圆 的圆心为 ，且圆 与 轴的交点分别为 ，则圆 的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：圆的一般方程 5．（2024·高二·全国·课后作业）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·河北·学业考试）经过坐标原点，且圆心坐标为的圆的一般方程是（    ）． A． B． C． D． 7．（2024·高二·全国·专题练习）已知，则的外接圆的一般方程为 . 8．（2024·高三·内蒙古·阶段练习）若的三个顶点的坐标分别为，，，则该三角形的外接圆的一般方程是 ． 9．（2024·高二·江苏·阶段练习）已知顶点的坐标为，，，则其外接圆的一般方程为 . 题型三：点与圆的位置关系 10．（2024·高二·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高三·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题型四：二元二次曲线与圆的关系 13．（2024·高二·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 14．（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·高二·山东青岛·期中）若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（    ）． A． B．或 C． D． 16．（2024·高二·广东东莞·期中）方程表示圆，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·高二·北京·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：圆过定点问题 18．（2024·高二·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 19．（2024·高一·全国·课后作业）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 . 题型六：轨迹问题 20．（2024·高二·上海·随堂练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ． 21．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，二次函数与轴的交点为，则以为斜边的的顶点的轨迹方程为 ． 22．（2024·高二·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 23．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________ ①过点； ②圆恒被直线平分； ③与轴相切. (1)求圆的为程； (2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 24．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 题型七：与圆有关的对称问题 25．（2024·高二·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2024·高二·河北·期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·高一·江西宜春·阶段练习）已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 28．（2024·高二·山西运城·阶段练习）圆关于直线（，）对称，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【重难点集训】 1．（2024·高二·全国·课后作业）已知动直线恒过定点，圆，则以为圆心，半径与圆半径相等的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 3．（2024·高一·浙江台州·专题练习）如图，在中，，，点是内部一点，且满足，则点在运动过程中所形成的图形的长是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高三·江西新余·专题练习）已知集合，，则：（    ）. A． B． C． D． 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 6．（2024·西藏拉萨·二模）已知点，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高一·浙江宁波·期末）实数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D． 9．（多选题）（2024·高二·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 10．（多选题）（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知直线，，则下列结论中正确的是（　　） A．存在m的值，使得与 不互相垂直 B． 和分别过定点和 C．存在m的值，使得和关于直线对称 D．若和交于点M，则OM的最大值是3 11．（多选题）（2024·高二·江西鹰潭·开学考试）已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 12．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ． 13．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题；平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．现有，，则的最大面积为 ． 14．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，若直线过的外接圆的圆心，则 ；若点在的外接圆内，则的取值范围为 ． 15．（2024·高二·全国·随堂练习）当点P在圆上运动时，连接点P与定点，求线段的中点M的轨迹方程． 16．（2024·高二·湖南益阳·阶段练习）已知直线：，：，且满足，垂足为C. (1)求m的值及点C的坐标. (2)设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程. 17．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，，，动点M在内部且满足． (1)求点M的轨迹方程； (2)求的最小值． 【高考真题】 1．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2020年山东省春季高考数学真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（重庆卷））以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 A． B． C． D． 5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标III卷））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． 6．（2024年上海市1月春考数学试题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    7．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 8．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 9．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的一般方程为 . 10．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．4 圆的方程 目录 【题型归纳】 2 题型一：圆的标准方程 2 题型二：圆的一般方程 3 题型三：点与圆的位置关系 4 题型四：二元二次曲线与圆的关系 5 题型五：圆过定点问题 7 题型六：轨迹问题 7 题型七：与圆有关的对称问题 10 【重难点集训】 11 【高考真题】 20 【题型归纳】 题型一：圆的标准方程 1．（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆以为直径，所以圆心的坐标为， 半径为， 圆的标准方程为. 故选：B. 2．（2024·高二·北京海淀·期中）已知圆C的标准方程为，则与圆C有相同的圆心，且经过点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意设所求圆的方程为， 代入点，得， 所以所求圆的方程为． 故选：B． 3．（2024·高二·福建漳州·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆C的圆心坐标为，半径为，则圆C的方程为， 由点和点在圆C上， 可得①，②， 由①②可得， 故圆C的标准方程为. 故选：A. 4．（2024·高二·四川成都·期末）已知圆 的圆心为 ，且圆 与 轴的交点分别为 ，则圆 的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆与轴的交点分别为，所以圆心在直线上，即有，圆心，，所以圆的标准方程为． 故选：B． 题型二：圆的一般方程 5．（2024·高二·全国·课后作业）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，圆的半径， 所以圆的方程为， 所以圆的一般方程为. 故选：C. 6．（2024·高二·河北·学业考试）经过坐标原点，且圆心坐标为的圆的一般方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程．根据题意，圆的圆心为，且过原点， 且其半径， 则其标准方程为， 变形可得其一般方程是， 故选：C． 7．（2024·高二·全国·专题练习）已知，则的外接圆的一般方程为 . 【答案】 【解析】设外接圆的一般方程为：， 将三点坐标代入得：， 解得：， 所以的外接圆的一般方程为：． 故答案为：. 8．（2024·高三·内蒙古·阶段练习）若的三个顶点的坐标分别为，，，则该三角形的外接圆的一般方程是 ． 【答案】 【解析】设的外接圆的一般方程为． ∵的三个顶点的坐标分别为，，， ∴可得方程组解得 ∴的外接圆的一般方程为． 故答案为：． 9．（2024·高二·江苏·阶段练习）已知顶点的坐标为，，，则其外接圆的一般方程为 . 【答案】. 【解析】设圆的方程为 ， 把△ABC的顶点坐标，，，代入可得： ， 解得： ，故所求的△ABC的外接圆的方程为：． 故答案为：. 题型三：点与圆的位置关系 10．（2024·高二·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 11．（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆，即圆，则，解得． 过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得． 故． 故选：C 12．（2024·高三·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 题型四：二元二次曲线与圆的关系 13．（2024·高二·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 14．（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B 15．（2024·高二·山东青岛·期中）若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（    ）． A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】若方程表示的曲线为圆， 则， 即， 解得：， 故选:C． 16．（2024·高二·广东东莞·期中）方程表示圆，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程，即为， 若它表示圆，需满足，故. 故选：A． 17．（2024·高二·北京·期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程化为：， 因方程表示圆，于是得，解得， 所以的取值范围是：. 故选：A 题型五：圆过定点问题 18．（2024·高二·上海·开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 【答案】、 【解析】由由得，故，解得或. 故填：、. 19．（2024·高一·全国·课后作业）已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 . 【答案】 【解析】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆. 由，解得 即定点坐标为. 故答案为 题型六：轨迹问题 20．（2024·高二·上海·随堂练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设，由，得， 可得：，即， 整理得，故动点的轨迹方程为. 故答案为：. 21．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，二次函数与轴的交点为，则以为斜边的的顶点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】令，解，得，． 设，由于直角三角形斜边上的中点为， 如图所示，则半径为，即得圆的方程为． 又点为的顶点，所以，故的轨迹方程为． 故答案为：. 22．（2024·高二·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设连线的中点为，则， 则，即. 故答案为： 23．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________ ①过点； ②圆恒被直线平分； ③与轴相切. (1)求圆的为程； (2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【解析】（1）选条件①．设圆的方程为， 将，代入可得 ，解得， 则圆的方程为． 选条件②． 直线恒过点． 因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为， 又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为，即． 选条件③． 设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆的方程为，即． （2）设，， 因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 所以的轨迹方程为． 24．（2024·高二·山东青岛·阶段练习）已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 【解析】（1）依题意，设点，又， 因为，即， 化简可得，即， 所以动点P的轨迹方程为； （2）设，又， 因为，所以， 即，得， 由（1）知，所以， 整理得动点Q的轨迹方程为. 题型七：与圆有关的对称问题 25．（2024·高二·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 26．（2024·高二·河北·期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，则的中点的坐标为， 直线的斜率. 由圆与圆关于对称，得的斜率. 因为的中点在上，所以，即. 故选：C. 27．（2024·高一·江西宜春·阶段练习）已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 【答案】D 【解析】圆的圆心坐标为， 圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有， ， 当时，有最小值20. 故选：D 28．（2024·高二·山西运城·阶段练习）圆关于直线（，）对称，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆可得标准方程为， 即圆心为， 因为圆关于直线对称，则该直线经过圆心， 即，整理得（，）， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A． 【重难点集训】 1．（2024·高二·全国·课后作业）已知动直线恒过定点，圆，则以为圆心，半径与圆半径相等的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】动直线，可化为，故恒过定点， 又易得圆的半径为2，则以为圆心，以圆的半径为半径的圆的标准方程是． 故选：D. 2．（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，解得，. 因为在上，所以，解得，经检验，符合题意. 故选：B 3．（2024·高一·浙江台州·专题练习）如图，在中，，，点是内部一点，且满足，则点在运动过程中所形成的图形的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，， 则， 即， 设中点为，则，且， 如图建立平面直角坐标系，则，，， 设， 由， 则， 化简可得， 即点在以为圆心，为半径的圆上， 则、在圆上， 令，则，， 即圆与轴交于，两点，， 且，及 所以点在内的轨迹为， 其长度为， 故选：B. 4．（2024·高三·江西新余·专题练习）已知集合，，则：（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合表示半径为1的圆形除去圆心， 集合表示半径为1的圆形除去与坐标轴重合的部分， 故选：B. 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 【答案】B 【解析】设点， 由，得， 即， 又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 故选：B． 6．（2024·西藏拉萨·二模）已知点，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，即求的最小值. 设，则， 整理，得点的轨迹方程为. 又点在圆上， 所以，解得，所以， 所以， 即的最小值为. 故选：. 7．（2024·高二·贵州六盘水·期末）关于的方程对应的曲线不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，方程为：，对应的图象为选项A， 当时，方程为：，对应的图象为选项B， 当时，方程为：， 得，对应的图象为选项C， 选项D图形是四条线段，没有方程与之对应， 故选：D 8．（2024·高一·浙江宁波·期末）实数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】A 【解析】化简可得，即在圆上， 则表示为圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 则的最小值为. 故选：A 9．（多选题）（2024·高二·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确； 对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误； 对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD． 10．（多选题）（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知直线，，则下列结论中正确的是（　　） A．存在m的值，使得与 不互相垂直 B． 和分别过定点和 C．存在m的值，使得和关于直线对称 D．若和交于点M，则OM的最大值是3 【答案】BC 【解析】对于A，因为，故无论取何值，与 都互相垂直，故A错误； 对于B，直线，当时，恒成立，故过定点， 当时，恒成立，故过定点，故B正确； 对于C，在上任取点，关于直线的对称点坐标为， 代入的方程得：，当时，方程恒成立， 故存在，使得和关于直线对称，故C正确； 对于D，由选项AB知，,故点的轨迹是以为直径的圆(除原点外）， 故圆心为，半径, 故的最大值为,故D错误. 故选：BC 11．（多选题）（2024·高二·江西鹰潭·开学考试）已知圆及点，则下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．若点在圆上，则直线的斜率为 C．点在圆外 D．若是圆上任一点，则的取值范围为． 【答案】ACD 【解析】将把转化为标准方程, 则，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆外，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 12．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ． 【答案】 【解析】设平面内的动点，由得， 所以， 化简得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以周长是. 故答案为：. 13．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题；平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．现有，，则的最大面积为 ． 【答案】12 【解析】以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则， 设，由，得， 整理得，因此点的轨迹方程为，， 显然上的点到轴，即直线距离的最大值为4， 所以面积的最大值为. 故答案为：12 14．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，若直线过的外接圆的圆心，则 ；若点在的外接圆内，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设的外接圆方程为，， 则，解得， 于是的外接圆方程为，即，其圆心， 由点在直线上，得，解得， 由点在的外接圆内，得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：； 15．（2024·高二·全国·随堂练习）当点P在圆上运动时，连接点P与定点，求线段的中点M的轨迹方程． 【解析】设,由中点坐标公式可得, 可得， 由于在圆上运动，所以， 即， 所以M的轨迹方程为. 16．（2024·高二·湖南益阳·阶段练习）已知直线：，：，且满足，垂足为C. (1)求m的值及点C的坐标. (2)设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程. 【解析】（1）显然，可得，， 由，可得，即，解得， 所以直线：，直线：， 联立方程组，解得，所以点． （2）由直线：，直线：，可得，， 所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径， 所以的外接圆方程是． 17．（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知在中，，，，动点M在内部且满足． (1)求点M的轨迹方程； (2)求的最小值． 【解析】（1）由，，，则有，， 因为，，所以. 在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径）， 所以，解得：. 设E为AC的中点，有，又，所以钝角的外接圆的圆心为O， 又点M在内部，所以点M的轨迹为：. （2）设，则有. 由， 所以当时有最小值. 【高考真题】 1．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 3．（2020年山东省春季高考数学真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：. 故选：B. 4．（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（重庆卷））以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，圆的半径，故所求圆的方程为. 故选C 5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标III卷））直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可 直线分别与轴，轴交于，两点 ,则 点P在圆上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离 故点P到直线的距离的范围为 则 故答案选A. 6．（2024年上海市1月春考数学试题）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    【答案】 【解析】如图，以为原点建系，易知，连接， 不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 7．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 【答案】 【解析】[方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 8．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 【答案】或或或． 【解析】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁； 方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解． 9．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷））圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的一般方程为 . 【答案】 【解析】设圆的一般方程为. 因圆心在直线上， 所以，即.① 又因点，在圆上， 所以，② 由①②，解得，，， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 10．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 ． 【答案】 【解析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可. 设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则： ，解得：，则圆的方程为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$