2．4 圆的方程（七大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2．4 圆的方程 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：圆的标准方程 4 题型二：圆的一般方程 5 题型三：点与圆的位置关系 6 题型四：二元二次曲线与圆的关系 6 题型五：圆过定点问题 7 题型六：轨迹问题 8 题型七：与圆有关的对称问题 10 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典型例题】 题型一：圆的标准方程 【典例1-1】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·河北张家口·阶段练习）圆关于直线对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【变式1-1】（2024·高二·四川成都·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与轴正半轴相切，点与坐标原点的距离为，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·北京·模拟预测）已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高二·内蒙古包头·期中）已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的标准方程为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-5】（2024·高三·重庆·阶段练习）若圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于，两点，且，则圆的标准方程是　　 A． B． C． D． 题型二：圆的一般方程 【典例2-1】（2024·高一·浙江·期末）圆心为且过原点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件． （2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． 【变式2-1】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆过三点，点，则圆的一般方程为 ，点在圆 （内/上/外）． 【变式2-4】（2024·高二·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 . 题型三：点与圆的位置关系 【典例3-1】（2024·高二·全国·随堂练习）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【典例3-2】（2024·高二·河北石家庄·期末）点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【方法技巧与总结】 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆，则原点O在（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 【变式3-2】（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 题型四：二元二次曲线与圆的关系 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）若方程均表示圆，则实数的取值范围为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【典例4-2】（2024·高二·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 待定系数法 【变式4-1】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 【变式4-3】（2024·高二·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-4】（2024·高二·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：圆过定点问题 【典例5-1】（2024·高二·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【方法技巧与总结】 合并参数，另参数的系数为零解方程即可． 【变式5-1】（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【变式5-2】（2024·高三·上海徐汇·期末）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关） 题型六：轨迹问题 【典例6-1】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 【典例6-2】（2024·高二·全国·随堂练习）长度为6的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【方法技巧与总结】 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为； （2）几何点集：写出满足题设的点的集合； （3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程； （5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 求轨迹时常用的方法：代入法 对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解． 【变式6-1】（2024·高二·北京大兴·期中）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为 ． 【变式6-2】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知圆O：，A，B是圆上两点，点且，则线段AB中点的轨迹方程是 . 【变式6-3】（2024·高二·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 【变式6-4】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆，圆心坐标为． (1)求圆的一般方程； (2)若点为圆上的动点，定点，求满足条件的点的轨迹方程并判断它的形状． 【变式6-5】（2024·高二·全国·专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 【变式6-6】（2024·高二·全国·课后作业）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.    题型七：与圆有关的对称问题 【典例7-1】（2024·北京平谷·一模）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【典例7-2】（2024·高二·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【方法技巧与总结】 几何法 【变式7-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆M的方程为，则直线关于点M的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·高三·山西·期末）已知点A，B在圆上，且A，B两点关于直线对称，则圆的半径的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．3 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．4 圆的方程 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 4 题型一：圆的标准方程 4 题型二：圆的一般方程 7 题型三：点与圆的位置关系 9 题型四：二元二次曲线与圆的关系 11 题型五：圆过定点问题 13 题型六：轨迹问题 15 题型七：与圆有关的对称问题 19 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典型例题】 题型一：圆的标准方程 【典例1-1】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心的坐标为. 因为圆心在直线上，所以①， 因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②， 由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 故选:C. 【典例1-2】（2024·高二·河北张家口·阶段练习）圆关于直线对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径. 设圆的圆心为， 则，解得， 圆的半径为，所以圆的标准方程为. 故选：A 【方法技巧与总结】 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【变式1-1】（2024·高二·四川成都·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意设圆心坐标为， 再由圆与轴的交点分别为，可得，解得， 则圆心坐标为，半径． 该圆的标准方程是． 故选：B． 【变式1-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与轴正半轴相切，点与坐标原点的距离为，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知设圆心，半径r，再根据已知得，从而求出圆心和半径，进而得到圆的标准方程.因为圆心在上，设圆心，半径r 又点与坐标原点的距离为，，解得： 又圆与轴正半轴相切，可知：， 所以圆的标准方程为. 故选：C. 【变式1-3】（2024·北京·模拟预测）已知圆与轴的正半轴相切于点，圆心在直线上，若点在直线的左上方且到该直线的距离等于，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵圆的圆心在直线上，则可设， ∵圆与轴正半轴相切与点，且圆的半径，. 到直线的距离，，解得：或， 或， 在直线的左上方，，，， ∴圆的标准方程为：. 故选：D. 【变式1-4】（2024·高二·内蒙古包头·期中）已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的标准方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心是直线与轴的交点，. 又圆与直线相切，. 圆的标准方程为. 故选：. 【变式1-5】（2024·高三·重庆·阶段练习）若圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于，两点，且，则圆的标准方程是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意画出图形，结合图形求出圆的半径和圆心坐标，即可写出圆的标准方程．如图所示， 由题意，圆的半径为 ， 圆心坐标为，， 圆的标准方程为； 故选：． 题型二：圆的一般方程 【典例2-1】（2024·高一·浙江·期末）圆心为且过原点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原点与的距离为， 则圆心为半径为的圆的方程为， 则该圆的一般方程是 故选：D 【典例2-2】（2024·高二·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 【方法技巧与总结】 （1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件． （2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． 【变式2-1】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设外接圆的方程为：， 由题意可得：，解得：， 即的外接圆的方程为：． 故选：C. 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为， 因为圆心在x轴上，所以，即． 又圆经过点和， 所以即解得 故所求圆的一般方程为． 故选：D 【变式2-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆过三点，点，则圆的一般方程为 ，点在圆 （内/上/外）． 【答案】 外 【解析】设圆的一般方程为， 因为圆过三点，可得，解得， 满足，所以圆的方程为， 将点代入方程得，所以点在圆外． 故答案为：；外. 【变式2-4】（2024·高二·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 . 【答案】1 【解析】设过，，的圆的方程为，， 则， 解得， 所以过，，的圆的方程为， 又点在此圆上， 所以， 即， 所以， 故答案为：1 题型三：点与圆的位置关系 【典例3-1】（2024·高二·全国·随堂练习）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【答案】A 【解析】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误. 故选：A. 【典例3-2】（2024·高二·河北石家庄·期末）点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【答案】A 【解析】因为圆的圆心为：，半径为：1. 由点与圆心的距离为：， 又. 所以点在圆外. 故选：A 【方法技巧与总结】 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆，则原点O在（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 【答案】B 【解析】由圆的标准方程，知圆心为， 则原点与圆心的距离为，因为， 所以，即原点在圆外. 故选：B. 【变式3-2】（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 【变式3-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为2， 由解得， 则直线与的交点为， 依题意，，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 题型四：二元二次曲线与圆的关系 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）若方程均表示圆，则实数的取值范围为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题知方程均表示圆， 则，解得或. 故选：C. 【典例4-2】（2024·高二·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 得， 即, 解得 故选： 【方法技巧与总结】 待定系数法 【变式4-1】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意整理可得：， 则，解得， 且圆的半径， 当且仅当时，等号成立， 即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为. 故选：B. 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则a的取值范围为（   ） A．R B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，若方程表示圆， 则有，解得． 故选：C. 【变式4-3】（2024·高二·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 【变式4-4】（2024·高二·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 题型五：圆过定点问题 【典例5-1】（2024·高二·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 【典例5-2】（2024·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【解析】，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【方法技巧与总结】 合并参数，另参数的系数为零解方程即可． 【变式5-1】（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 故答案为：. 【变式5-2】（2024·高三·上海徐汇·期末）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关） 【答案】和 【解析】二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则 ， ①－②得，，∴，从而， 代入③得， ∴圆方程为， 整理得， 由得或． ∴圆过定点和． 题型六：轨迹问题 【典例6-1】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设，则有， 化简得，即点的轨迹方程是. 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高二·全国·随堂练习）长度为6的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】当（或）中有一个在原点处时，则. 当均不在原点处时，三点构成以O为直角顶点的直角三角形. 由M为线段AB的中点，则 所以，则M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，其方程为： 故答案为： 【方法技巧与总结】 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为； （2）几何点集：写出满足题设的点的集合； （3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程； （5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 求轨迹时常用的方法：代入法 对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通常用这一方法．代入法是先设所求轨迹的动点坐标为，在已知曲线上运动的点的坐标为，用，表示，，即，，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程．一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解． 【变式6-1】（2024·高二·北京大兴·期中）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为 ． 【答案】或除去点 【解析】设底边的另一个端点的坐标为，则， 化简可得， 因为三点构成三角形，所以三点不共线且不重合， 当三点共线时，， 由直线的点斜式可得，化简可得， 所以点的轨迹方程为或除去点. 故答案为：或除去点. 【变式6-2】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知圆O：，A，B是圆上两点，点且，则线段AB中点的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】如图所示，是线段的中点，则， 因为，于是， 在中，，，， 由勾股定理得， 整理得的轨迹是. 故答案为：. 【变式6-3】（2024·高二·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 【解析】（1）设点，由，得，直线的斜率，而， 所以直线的方程为，即. （2）由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心， 又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即， 显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外）， 所以点的轨迹方程是. 【变式6-4】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆，圆心坐标为． (1)求圆的一般方程； (2)若点为圆上的动点，定点，求满足条件的点的轨迹方程并判断它的形状． 【解析】（1）因为圆的圆心为， 所以，即， 则圆的一般方程为． （2）设的坐标为，， 易得． 由得 解得 因为点为圆上的动点， 所以满足， 所以， 化简得点的轨迹方程为． 因为， 所以点的轨迹为圆． 【变式6-5】（2024·高二·全国·专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 【解析】由三角形的角平分线的性质，可得，所以， 设点，则， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为. 【变式6-6】（2024·高二·全国·课后作业）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.    【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)， 令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)， 由重心坐标公式得， 则代入， 整理得 故所求轨迹方程为. 题型七：与圆有关的对称问题 【典例7-1】（2024·北京平谷·一模）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】C 【解析】由，得， 所以圆心为，半径为， 由题意可得直线经过圆心， 故有，即， 所以半径为， 当时，圆C的半径的最小值为. 故选：C. 【典例7-2】（2024·高二·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 【方法技巧与总结】 几何法 【变式7-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆M的方程为，则直线关于点M的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点坐标为，设所求直线方程为 则有 两直线不能重合， 所以 故选：D. 【变式7-2】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为， 圆的圆心为， 所以、的中点坐标为，又， 则，所以直线的方程为，即. 故选：A 【变式7-3】（2024·高三·山西·期末）已知点A，B在圆上，且A，B两点关于直线对称，则圆的半径的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】因为，化为标准方程为， 设圆的半径为，由题可知圆心在直线上，于是有， 则，当时， 取得最小值2，故的最小值为. 故选：B 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2．4 圆的方程 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 1.圆的定义和圆的方程 定义 平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C______ 半径为___ 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C___________ 半径r＝_______________ 定点 定长 (a，b) r 知识梳理 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 圆外 圆上 圆内 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心的坐标为． 因为圆心在直线上，所以①， 因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②， 由①②可得．所以圆心的坐标是），圆的半径． 所以，所求圆的标准方程是． 故选：C． 题型一：圆的标准方程 典型例题 【典例1-2】（2024·高二·河北张家口·阶段练习）圆关于直线对称的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径． 设圆的圆心为，则，解得， 圆的半径为，所以圆的标准方程为．故选：A 【方法技巧与总结】 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 题型一：圆的标准方程 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·四川成都·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意设圆心坐标为， 再由圆与轴的交点分别为，可得，解得， 则圆心坐标为，半径． 该圆的标准方程是． 故选：B． 题型一：圆的标准方程 典型例题 【典例2-1】（2024·高一·浙江·期末）圆心为且过原点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原点与的距离为， 则圆心为半径为的圆的方程为， 则该圆的一般方程是 故选：D 题型二：圆的一般方程 典型例题 【典例2-2】（2024·高二·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为，故选：D． 【方法技巧与总结】 （1）若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件，解题时，应充分利用这一隐含条件． （2）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． 题型二：圆的一般方程 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·广东佛山·阶段练习）已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设外接圆的方程为：， 由题意可得：，解得：， 即的外接圆的方程为：． 故选：C． 题型二：圆的一般方程 典型例题 【典例3-1】（2024·高二·全国·随堂练习）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【答案】A 【解析】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误． 故选：A． 题型三：点与圆的位置关系 典型例题 【典例3-2】（2024·高二·河北石家庄·期末）点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【答案】A 【解析】因为圆的圆心为：，半径为：1． 由点与圆心的距离为：， 又． 所以点在圆外． 故选：A 【方法技巧与总结】 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 题型三：点与圆的位置关系 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆，则原点O在（    ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 【答案】B 【解析】由圆的标准方程，知圆心为， 则原点与圆心的距离为，因为， 所以，即原点在圆外． 故选：B． 题型三：点与圆的位置关系 典型例题 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）若方程均表示圆，则实数的取值范围为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题知方程均表示圆， 则，解得或． 故选：C． 题型四：二元二次曲线与圆的关系 典型例题 【典例4-2】（2024·高二·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 得， 即， 解得 故选： 【方法技巧与总结】 待定系数法 题型四：二元二次曲线与圆的关系 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意整理可得：， 则，解得， 且圆的半径， 当且仅当时，等号成立， 即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为． 故选：B． 题型四：二元二次曲线与圆的关系 典型例题 【典例5-1】（2024·高二·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设垂直于直线，垂足为， 则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：， 以为直径的圆恒过定点．故选：D． 题型五：圆过定点问题 典型例题 【典例5-2】（2024·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【解析】， 即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或． 【方法技巧与总结】 合并参数，另参数的系数为零解方程即可． 题型五：圆过定点问题 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为． 题型五：圆过定点问题 典型例题 【典例6-1】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设， 则有， 化简得， 即点的轨迹方程是． 故答案为：． 题型六：轨迹问题 典型例题 【典例6-2】（2024·高二·全国·随堂练习）长度为6的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】当（或）中有一个在原点处时，则． 当均不在原点处时，三点构成以O为直角顶点的直角三角形． 由M为线段AB的中点，则 所以，则M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，其方程为： 故答案为： 【方法技巧与总结】 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为； （2）几何点集：写出满足题设的点的集合； （3）翻译列式：将几何条件用坐标、表示，写出方程； （4）化简方程：通过同解变形化简方程； （5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点． 题型六：轨迹问题 典型例题 【变式6-1】（2024·高二·北京大兴·期中）已知等腰三角形的顶点为 ，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为 ． 【答案】或除去点 【解析】设底边的另一个端点的坐标为， 则， 化简可得， 因为三点构成三角形，所以三点不共线且不重合， 当三点共线时，， 由直线的点斜式可得，化简可得， 所以点的轨迹方程为或除去点 题型六：轨迹问题 典型例题 【典例7-1】（2024·北京平谷·一模）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】C 【解析】由，得， 所以圆心为，半径为， 由题意可得直线经过圆心， 故有，即， 所以半径为， 当时，圆C的半径的最小值为． 故选：C． 题型七：与圆有关的对称问题 典型例题 【典例7-2】（2024·高二·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或． 故选：C 【方法技巧与总结】 几何法 题型七：与圆有关的对称问题 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知圆M的方程为，则直线关于点M的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点坐标为，设所求直线方程为 则有 两直线不能重合， 所以 故选：D． 题型七：与圆有关的对称问题 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2020年山东省春季高考数学真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（重庆卷））以点为圆心且与直线相切的圆的方程是（ ） A． B． C． D． D A B C $$