2.2 直线的方程（十大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2 直线的方程 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 5 题型一：点斜式直线方程 5 题型二：斜截式直线方程 5 题型三：两点式直线方程 6 题型四：截距式直线方程 7 题型五：中点坐标公式 8 题型六：直线的一般式方程 8 题型七：直线方程的综合应用 9 题型八：判断动直线所过定点 11 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 11 题型十：直线方程的实际应用 12 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 知识点八：直线方程的综合应用 1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 【典型例题】 题型一：点斜式直线方程 【典例1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【典例1-2】（2024·高二·上海·课后作业）直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 【方法技巧与总结】 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 【变式1-1】（2024·高二·四川乐山·期中）平面直角坐标系中，过点，且倾斜角α满足，则直线的点斜式方程为 . 【变式1-2】（2024·高二·新疆和田·期中）过点，且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为 【变式1-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知过定点的直线m的一个方向向量是，则直线m的点斜式方程为 . 题型二：斜截式直线方程 【典例2-1】（2024·高二·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【典例2-2】（2024·高二·上海·课前预习）斜率为且在x轴上的截距为a的直线的斜截式方程为 ． 【方法技巧与总结】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． 【变式2-1】（2024·高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【变式2-2】（2024·高二·上海奉贤·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 【变式2-3】（2024·高二·广东湛江·阶段练习）倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为 . 题型三：两点式直线方程 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 【变式3-1】（2024·高二·吉林长春·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·高二·上海金山·阶段练习）已知，，则直线的两点式方程为 ． 题型四：截距式直线方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 ． 【典例4-2】（2024·高二·湖北十堰·期末）若直线与垂直，则的方程的截距式为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零． 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高二·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-4】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 题型五：中点坐标公式 【典例5-1】（2024·高一·江苏徐州·期中）直线l过点，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为 . 【典例5-2】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 . 【方法技巧与总结】 （1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题． （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用． （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等． 【变式5-1】（2024·高二·广东广州·期中）若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 【变式5-2】（2024·高二·江苏宿迁·开学考试）过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为 ． 【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，求直线l的方程 ． 【变式5-4】（2024·高三·全国·专题练习）在△ABC中，已知A(5,－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为 ． 题型六：直线的一般式方程 【典例6-1】（2024·高二·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 【典例6-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知平行四边形中，一组对边、所在直线的方程分别为，，求实数的值 . 【方法技巧与总结】 让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 【变式6-1】（2024·高二·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【变式6-2】（2024·高二·全国·假期作业）若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 【变式6-3】（2024·高二·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 题型七：直线方程的综合应用 【典例7-1】（2024·高二·四川达州·阶段练习）直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 【典例7-2】（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）经过的直线与两直线和分别交于、两点，且满足，则直线的方程为 . 【方法技巧与总结】 求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式． 【变式7-1】（2024·高二·江苏苏州·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ． 【变式7-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ． 【变式7-3】（2024·高二·江苏南京·开学考试）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【变式7-4】（2024·高二·四川眉山·阶段练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 【变式7-5】（2024·高二·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【变式7-6】（2024·高二·广东佛山·期中）等腰三角形ABC的两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边BC上. (1)求； (2)求直线BC的方程. 题型八：判断动直线所过定点 【典例8-1】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点 . 【典例8-2】（2024·高二·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【方法技巧与总结】 合并参数，另参数的系数为零解方程． 【变式8-1】（2024·高二·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【变式8-2】（2024·高二·全国·专题练习）不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 【变式8-3】（2024·高二·上海浦东新·期中）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 . 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 【典例9-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 【典例9-2】（2024·高二·湖南·阶段练习）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B. （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程. 【方法技巧与总结】 （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【变式9-1】（2024·高二·山西朔州·阶段练习）过点作直线分别与，轴正半轴交于、两点． （1）当面积最小时，求直线的方程； （2）当取最小值时，求直线的方程． 【变式9-2】（2024·高二·上海·开学考试）过点的直线分别交与于、两点. （1）设点的坐标为，用实数表示点的坐标，并求实数的取值范围； （2）设的面积为，求直线的方程； （3）当最小时，求直线的方程. 题型十：直线方程的实际应用 【典例10-1】（2024·高二·四川眉山·阶段练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【典例10-2】（2024·陕西榆林·三模）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 用坐标法解决生活问题． 【变式10-1】（2024·高二·安徽·开学考试）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024·高二·上海浦东新·期中）在向量的右边乘以一个矩阵，按向量的乘法规则相乘以后得到一个新的向量，我们把这个运算过程称为对向量实施了一个右矩阵变换.直线：上任意一点确定向量（O为坐标原点），通过矩阵对向量实施右矩阵变换后得到向量，点的坐标满足，若直线：和：相交于点，则过点，的直线的方程是 . 【变式10-3】（2024·河北沧州·三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 . 【变式10-4】（2024·高二·江苏·专题练习）公路AM，AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图． （1）记，并设，试确定k的取值范围； （2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数； （3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． 【变式10-5】（2024·高一·江苏·期末）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内． （1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？ （2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度． 【变式10-6】（2024·高一·湖南衡阳·期末）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中；点在上，且，，经测量，，，.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到）.    2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 直线的方程 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 5 题型一：点斜式直线方程 5 题型二：斜截式直线方程 6 题型三：两点式直线方程 8 题型四：截距式直线方程 10 题型五：中点坐标公式 12 题型六：直线的一般式方程 14 题型七：直线方程的综合应用 16 题型八：判断动直线所过定点 21 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 22 题型十：直线方程的实际应用 25 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 知识点诠释： 1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2、当直线的倾斜角为时，直线方程为； 3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：． 4、表示直线去掉一个点；表示一条直线． 知识点二：直线的斜截式方程 如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 知识点诠释： 1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零； 2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到； 3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式． 4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 知识点三：直线的两点式方程 经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式． 知识点诠释： 1、这个方程由直线上两点确定； 2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程． 3、直线方程的表示与选择的顺序无关． 4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 知识点四：直线的截距式方程 若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 知识点诠释： 1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线． 2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距． 知识点五：直线方程几种表达方式的选取 在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏． 知识点六：直线方程的一般式 关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式． 知识点诠释： 1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线． 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程． 知识点七：直线方程的不同形式间的关系 名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 是直线上一定点，是斜率 不垂直于轴 斜截式 是斜率，是直线在y轴上的截距 不垂直于轴 两点式 ，是直线上两定点 不垂直于轴和轴 截距式 是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距 不垂直于轴和轴，且不过原点 一般式 、、为系数 任何位置的直线 直线方程的五种形式的比较如下表： 知识点诠释： 在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同． 知识点八：直线方程的综合应用 1、已知所求曲线是直线时，用待定系数法求． 2、据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同． （1）从斜截式考虑 已知直线，， ； 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． （2）从一般式考虑： 且或，记忆式（） 与重合，，， 于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为． 【典型例题】 题型一：点斜式直线方程 【典例1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【解析】设的中点为，则， 又斜率， 所以直线的点斜式方程为． 故答案为： 【典例1-2】（2024·高二·上海·课后作业）直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 【答案】 【解析】由两直线互相垂直，可知，直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 【变式1-1】（2024·高二·四川乐山·期中）平面直角坐标系中，过点，且倾斜角α满足，则直线的点斜式方程为 . 【答案】 【解析】因为，且，解得或，因为，所以，即，所以，即直线的斜率，所以直线方程为， 故答案为： 【变式1-2】（2024·高二·新疆和田·期中）过点，且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为 【答案】 【解析】因为， 所以过点，且倾斜角为45°的直线的点斜式方程为: . 故答案为： 【变式1-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知过定点的直线m的一个方向向量是，则直线m的点斜式方程为 . 【答案】 【解析】因为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 又因为直线过点， 所以直线的点斜式方程为. 故答案为： 题型二：斜截式直线方程 【典例2-1】（2024·高二·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【解析】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 【典例2-2】（2024·高二·上海·课前预习）斜率为且在x轴上的截距为a的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】斜率为且在x轴上的截距为a的直线方程可表示为， 化为斜截式方程可得. 故答案为：． 【方法技巧与总结】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． 【变式2-1】（2024·高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高二·上海奉贤·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 【答案】 【解析】因为直线与直线垂直，所以，解得，所以直线的方程为，化简可得. 故答案为： 【变式2-3】（2024·高二·广东湛江·阶段练习）倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为 . 【答案】 【解析】由题意得，直线斜率为， 故直线的斜截式方程为. 故答案为： 题型三：两点式直线方程 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 【典例3-2】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D. 【方法技巧与总结】 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 【变式3-1】（2024·高二·吉林长春·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为所求直线过点和点，根据直线的两点式方程可得： 所求直线方程为. 故选B. 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线的两点式方程为， 所以直线过点，， 所以的斜率为． 故选：A 【变式3-3】（2024·高二·上海金山·阶段练习）已知，，则直线的两点式方程为 ． 【答案】 【解析】当直线过两点，时，其两点式方程为， 则直线的两点式方程为， 故答案为：. 题型四：截距式直线方程 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为 ． 【答案】 【解析】解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3.由截距式可知，方程为. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高二·湖北十堰·期末）若直线与垂直，则的方程的截距式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由两直线垂直，求出，再将的方程化为截距式即可.因为与垂直，所以， 解得， 则的方程为，即. 故选：C. 【方法技巧与总结】 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零． 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的方程为，则的面积为①． 因为直线过点，所以②． 联立①②，解得，， 故直线的方程为， 故选：A． 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为三顶点坐标为， 又为的中点，为的中点，由中点坐标公式可得：， 则直线的两点式方程为：，故截距式方程为. 故选：A． 【变式4-3】（2024·高二·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 【变式4-4】（2024·高二·云南昆明·阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意， 若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得， 此时直线方程为，符合题意； 即经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条 故选：C. 题型五：中点坐标公式 【典例5-1】（2024·高一·江苏徐州·期中）直线l过点，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为 . 【答案】. 【解析】设, 因为点P恰为AB的中点，则，， 所以，即A，B两点的坐标分别为, 由截距式得直线l的方程为，即. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】因为直线与直线和的交点分别为， 设， 因为点是线段的中点，由中点公式可得， 解得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 （1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题． （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用． （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等． 【变式5-1】（2024·高二·广东广州·期中）若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 【答案】 【解析】依题知，直线与x轴y轴的截距都存在且都不为0， 设直线方程为， 又线段AB的中点为，则，即 则直线方程为，即. 故答案为： 【变式5-2】（2024·高二·江苏宿迁·开学考试）过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设中点为， 因为，所以在直线上， 由在直线上， 联立可得，解得，即中点为， 所以直线的斜率，所以的方程为，即． 故答案为：． 【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，求直线l的方程 ． 【答案】x＋3y＋2＝0 【解析】解析　依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有，解得a＝－5，b＝－3， 即P(－5，1)，Q(7，－3)．由两点式可得＝，化简得，l的方程为x＋3y＋2＝0． 故答案为：x＋3y＋2＝0． 【变式5-4】（2024·高三·全国·专题练习）在△ABC中，已知A(5,－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为 ． 【答案】5x－2y－5＝0. 【解析】设C(x0,y0)，则M，N， 由M在y轴上，则＝0，即x0＝－5. 由N在x轴上，则＝0，即y0＝－3， ∴C(－5,－3)，故M，N(1,0)， ∴直线MN的方程为，即5x－2y－5＝0. 故答案为：5x－2y－5＝0 题型六：直线的一般式方程 【典例6-1】（2024·高二·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 【答案】 【解析】设与直线平行的直线方程为， 把点代入可得，解得， 故所求的直线的方程为， 故答案为：． 【典例6-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知平行四边形中，一组对边、所在直线的方程分别为，，求实数的值 . 【答案】 【解析】因为，，整理可得，， 因为四边形为平行四边形，故，则，且， 解得. 故答案为： 【方法技巧与总结】 让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 【变式6-1】（2024·高二·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】9 【解析】直线过点且与直线垂直，直线的斜率为，得直线的斜率为2， 故直线的方程为，即， 当时，，当时，， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为. 故答案为：9 【变式6-2】（2024·高二·全国·假期作业）若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】由两点式得，整理为．又在上， ，当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 【变式6-3】（2024·高二·全国·课前预习）根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【解析】（1）由两点式，得直线的方程为， 即． （2）由点斜式，得直线的方程为， 即． （3）由题意知，直线的方程为， 即． （4）由点斜式，得直线的方程为， 即． 题型七：直线方程的综合应用 【典例7-1】（2024·高二·四川达州·阶段练习）直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 【答案】4 【解析】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足, ,即， , ,当且仅当时，等号成立， 的最大值为4. 故答案为：4. 【典例7-2】（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）经过的直线与两直线和分别交于、两点，且满足，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】设，可得，由可得，联立方程可得，即可求出直线方程.设，则（1）， ，， ， 则代入得（2）， 联立（1）（2）解得， 则，故直线的方程为， 即. 故答案为： 【方法技巧与总结】 求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式． 【变式7-1】（2024·高二·江苏苏州·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】直线可得， 直线可整理为，令，解得， 所以， 因为，所以直线与直线垂直，则， 所以点的轨迹为以为直径的圆， ，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 【变式7-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ． 【答案】13 【解析】对于直线，即， 令，则，则，可得直线过定点， 对于直线，即， 令，则，则，可得直线过定点， 因为，则，即， 所以. 故答案为：13. 【变式7-3】（2024·高二·江苏南京·开学考试）已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【解析】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即． （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或， 所以点坐标为或， 则直线的方程为或． 【变式7-4】（2024·高二·四川眉山·阶段练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 【解析】（1），所在直线的斜率为， 又， 所在直线方程是，即． （2）因为， 所以, 又因为， 所以所在直线方程为， 即. 【变式7-5】（2024·高二·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【解析】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以； （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 【变式7-6】（2024·高二·广东佛山·期中）等腰三角形ABC的两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边BC上. (1)求； (2)求直线BC的方程. 【解析】（1）设直线AB，AC的倾斜角分别为，则. 依题意，， 故， 求得. （2）依题意，直线BC的倾斜角为，斜率为. 由于， ， 故， 解得，或（舍去） 因此，直线BC的方程为解得，即， 题型八：判断动直线所过定点 【典例8-1】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点 . 【答案】 【解析】直线即， 令，解得，所以直线恒过定点. 故答案为： 【典例8-2】（2024·高二·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【解析】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 合并参数，另参数的系数为零解方程． 【变式8-1】（2024·高二·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【答案】 【解析】原方程可变形为， 令，解得， 于是有对，都满足方程， 所以这些直线都经过同一定点，该定点的坐标为. 故答案为：. 【变式8-2】（2024·高二·全国·专题练习）不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 【答案】 【解析】由题意，在 令，解得， 不论m，n取什么值，直线必过一定点. 故答案为： 【变式8-3】（2024·高二·上海浦东新·期中）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 . 【答案】 【解析】因为直线可化为， 令，解得， 所以直线过定点， 故答案为：. 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 【典例9-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：将直线方程变形为， 由，可得， 因此，直线恒过定点. （2）设点A的坐标为，若，则， 则、，直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 此时直线与轴的交点为，则，，， 此时的周长为. 所以，存在直线满足题意. 【典例9-2】（2024·高二·湖南·阶段练习）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B. （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程. 【解析】（1）设l的方程为，由直线过点知，即，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 又知，所以时等号成立， 此时l直线的方程为， 即面积最小时直线l的方程为. （2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为，所以得，，所以，得，等号成立时有k，得， 此时直线的方程为，即. 故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是. 【方法技巧与总结】 （1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说． （2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏． 【变式9-1】（2024·高二·山西朔州·阶段练习）过点作直线分别与，轴正半轴交于、两点． （1）当面积最小时，求直线的方程； （2）当取最小值时，求直线的方程． 【解析】（1）设出直线方程再把点代入，利用基本不等式可得，可得面积，可得此时直线的方程；（2）基本不等式可得时，进而求出直线的方程． 试题解析：（1）设直线方程为， 代入得， 得，从而， 此时，． ∴直线的方程为． （2）， 此时，． ∴直线的方程为． 【变式9-2】（2024·高二·上海·开学考试）过点的直线分别交与于、两点. （1）设点的坐标为，用实数表示点的坐标，并求实数的取值范围； （2）设的面积为，求直线的方程； （3）当最小时，求直线的方程. 【解析】（1）设，由于在射线上，则①.，由于三点共线，，则②，解由①②组成的方程组得，所以点坐标为.由于两点不重合，故，且在第一象限，在第四象限.故，解得. （2）由于，所以，结合（1）得，所以，化简得，所以，由直线方程两点式得直线的方程为，化简得. （3）由（1）得，，而，所以 ，当且仅当，即时等号成立.此时，由直线方程两点式得直线的方程为，化简得. 题型十：直线方程的实际应用 【典例10-1】（2024·高二·四川眉山·阶段练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【答案】B 【解析】根据已知条件可知直线方程的斜率及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可.由题意知：蜡烛长度(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程，过两点，故其斜率， ∴直线方程为， ∴当蜡烛燃尽时，有，即， 故选：B 【典例10-2】（2024·陕西榆林·三模）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，的垂直平分线方程为， 又外心在欧拉线上， 联立，解得三角形的外心为， 又， 外接圆的方程为． 设，则三角形的重心在欧拉线上，即． 整理得． 联立，解得或． 所以顶点的坐标可以是． 故选：． 【方法技巧与总结】 用坐标法解决生活问题． 【变式10-1】（2024·高二·安徽·开学考试）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，由题可知，，，，，，，， 所以直线BC的方程为，整理为一般式，即，故A错误； 对于B选项，直线过点，，即为直线GH方程，故B错误； 对于C选项，直线过点，但不经过，，故C正确； 对于D选项，直线经过，，即为直线GF的方程，故D错误. 故选：C． 【变式10-2】（2024·高二·上海浦东新·期中）在向量的右边乘以一个矩阵，按向量的乘法规则相乘以后得到一个新的向量，我们把这个运算过程称为对向量实施了一个右矩阵变换.直线：上任意一点确定向量（O为坐标原点），通过矩阵对向量实施右矩阵变换后得到向量，点的坐标满足，若直线：和：相交于点，则过点，的直线的方程是 . 【答案】 【解析】由已知设，则， 其通过矩阵对向量实施右矩阵变换后得到向量， 则吗，消去得， 又点的坐标满足，所以， 所以直线：和：相交于点， 即点满足，满足， 过点，的直线的方程是. 故答案为：. 【变式10-3】（2024·河北沧州·三模）光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】如图，入射角，设折射角为，，， 则，， 所以，则，， 所以，且. 该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为， 则其所在直线的斜率为 ， 直线的方程为，整理得. 故答案为： 【变式10-4】（2024·高二·江苏·专题练习）公路AM，AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图． （1）记，并设，试确定k的取值范围； （2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数； （3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． 【解析】（1）由题意得，所以， 即． （2）以点A为原点，AM所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则由已知得AN所在直线的方程为，即． 根据已知设P点坐标为，由点P到公路AN的距离为得． 解得或当时，点P不在指定区域，故舍去，所以． 所以公路BC所在直线的方程为． 令，得，即． 将代入得，， 即 所以． （3）由（2）得． 有解得舍或． 当时，，满足条件． 故面积的最小值为15，此时． 综上所述，当点B距离点A5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为． 【变式10-5】（2024·高一·江苏·期末）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内． （1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？ （2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度． 【解析】（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 灯杆AB与地面所成角为30°，B（0，14），AB方程为：y＝x+14，…① 因为灯罩线AC与灯杆AB垂直， 可设的斜率为，则＝， 又C（6，0）， 所以直线AC的方程为：y＝（x﹣6），…② 由①②组成方程组，求得点A（，15）； 所以|AB|＝＝2， 即当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线； （2）设警示牌为CM，且CM⊥OD， 则M（6，），A（，15）， 所以直线AM的方程为：y﹣15＝（x﹣）， 令yN＝0，解得xN＝7， 所以CN＝7﹣6＝. 所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为m． 【变式10-6】（2024·高一·湖南衡阳·期末）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中；点在上，且，，经测量，，，.问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到）.    【解析】如图，以边所在直线为轴，以边所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，. 所以直线的方程为：，即，设， 则矩形的面积为， 化简，得， 配方，， 易得当，时，最大，其最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2.2 直线的方程 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点一：直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 _______________ 不含直线x＝x0 斜截式 _________ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ____________________________ 不含直线x＝x1和直线y＝y1 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距式 _________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【解析】设的中点为，则， 又斜率， 所以直线的点斜式方程为． 故答案为： 题型一：点斜式直线方程 典型例题 【典例1-2】（2024·高二·上海·课后作业）直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 【答案】 【解析】由两直线互相垂直，可知，直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为． 故答案为： 【方法技巧与总结】 （1）利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标． （2）要注意点斜式直线方程的逆向运用，即由方程可知该直线过定点且斜率为． 题型一：点斜式直线方程 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·四川乐山·期中）平面直角坐标系中，过点，且倾斜角α满足，则直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【解析】因为，且， 解得或， 因为，所以，即， 所以，即直线的斜率， 所以直线方程为， 题型一：点斜式直线方程 典型例题 【典例2-1】（2024·高二·上海·专题练习）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【解析】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 题型二：斜截式直线方程 典型例题 【典例2-2】（2024·高二·上海·课前预习）斜率为且在x轴上的截距为a的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】斜率为且在x轴上的截距为a的直线方程可表示为， 化为斜截式方程可得． 故答案为：． 【方法技巧与总结】 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率和直线在轴上的截距． （2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数、即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数、、才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用． （3）若直线过某一点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用． 题型二：斜截式直线方程 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 即， 故答案为：． 题型二：斜截式直线方程 典型例题 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 题型三：两点式直线方程 典型例题 【典例3-2】（2024·高二·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D． 【方法技巧与总结】 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程． 题型三：两点式直线方程 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·吉林长春·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为所求直线过点和点， 根据直线的两点式方程可得： 所求直线方程为． 故选B． 题型三：两点式直线方程 典型例题 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）过两点A（0，3），B（－2，0）的截距式方程为 ． 【答案】 【解析】解析：由于直线过A（0，3），B（－2，0）两点， 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3． 由截距式可知，方程为． 故答案为：． 题型四：截距式直线方程 典型例题 【典例4-2】（2024·高二·湖北十堰·期末）若直线与垂直，则的方程的截距式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由两直线垂直，求出，再将的方程化为截距式即可．因为与垂直，所以， 解得， 则的方程为，即． 故选：C． 【方法技巧与总结】 应用截距式求直线方程时，一定要注意讨论截距是否为零． 题型四：截距式直线方程 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的方程为， 则的面积为①． 因为直线过点，所以②． 联立①②，解得，， 故直线的方程为， 故选：A． 题型四：截距式直线方程 典型例题 【典例5-1】（2024·高一·江苏徐州·期中）直线l过点，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为 ． 【答案】． 【解析】设， 因为点P恰为AB的中点，则，， 所以，即A，B两点的坐标分别为， 由截距式得直线l的方程为，即． 故答案为：． 题型五：中点坐标公式 典型例题 【典例5-2】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线与直线和的交点分别为， 设， 因为点是线段的中点，由中点公式可得， 解得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 【方法技巧与总结】 （1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题． （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用． （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等． 题型五：中点坐标公式 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·广东广州·期中）若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为，则直线l的方程为： ． 【答案】 【解析】依题知，直线与x轴y轴的截距都存在且都不为0， 设直线方程为， 又线段AB的中点为，则，即 则直线方程为，即． 故答案为： 题型五：中点坐标公式 典型例题 【典例6-1】（2024·高二·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 ． 【答案】 【解析】设与直线平行的直线方程为， 把点代入可得，解得， 故所求的直线的方程为， 故答案为：． 题型六：直线的一般式方程 典型例题 【典例6-2】（2024·高二·上海·阶段练习）已知平行四边形中，一组对边、所在直线的方程分别为，，求实数的值 ． 【答案】 【解析】因为，， 整理可得，， 因为四边形为平行四边形，故， 则，且， 解得． 【方法技巧与总结】 让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：的系数为正，，的系数及常数项一般不出现分数，一般按含项、项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式． 题型六：直线的一般式方程 典型例题 【变式6-1】（2024·高二·江苏徐州·开学考试）直线过点且与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 【答案】9 【解析】直线过点且与直线垂直， 直线的斜率为，得直线的斜率为2， 故直线的方程为，即， 当时，，当时，， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为． 故答案为：9 题型六：直线的一般式方程 典型例题 【典例7-1】（2024·高二·四川达州·阶段练习）直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 ． 【答案】4 【解析】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足， ，即， ， ，当且仅当时，等号成立， 的最大值为4． 题型七：直线方程的综合应用 典型例题 【典例7-2】（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）经过的直线与两直线和分别交于、两点，且满足，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设，则（1）， ，， ， 则代入得（2）， 联立（1）（2）解得， 则，故直线的方程为，即． 【方法技巧与总结】 求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式． 题型七：直线方程的综合应用 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·四川遂宁·期中）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【解析】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 题型七：直线方程的综合应用 典型例题 【典例8-1】（2024·高二·江苏·开学考试）直线恒过定点 ． 【答案】 【解析】直线， 化为， 令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 题型八：判断动直线所过定点 典型例题 【典例8-2】（2024·高二·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 ． 【答案】 【解析】令，解得， 故经过的定点坐标为． 故答案为： 【方法技巧与总结】 合并参数，另参数的系数为零解方程． 题型八：判断动直线所过定点 典型例题 【变式8-1】（2024·高二·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【答案】 【解析】原方程可变形为， 令，解得， 于是有对，都满足方程， 所以这些直线都经过同一定点，该定点的坐标为． 故答案为：． 题型八：判断动直线所过定点 典型例题 【典例9-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， （1）求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为．若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：将直线方程变形为 ， 由，可得， 因此，直线恒过定点． （2）设点A的坐标为，若，则， 则、，直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 此时直线与轴的交点为，则，，， 此时的周长为．所以，存在直线满足题意． 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 典型例题 【典例9-2】（2024·高二·湖南·阶段练习）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B． （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程． 【解析】（1）设l的方程为，由直线过点知，即， 由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 又知，所以时等号成立， 此时l直线的方程为，即面积最小时直线l的方程为． （2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为， 所以得，， 所以，得 ， 等号成立时有k，得， 此时直线的方程为，即． 故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是． 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 典型例题 【变式9-1】（2024·高二·四川成都·开学考试）过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点． （1）当△AOB面积最小时，求直线的方程； （2）当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程． 【解析】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为， 直线过点，， （1）由基本不等式可得，解得：， 当且仅当，即且时，上式取等号， 面积，则当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， （2）由于， 当且仅当，即且时取等号， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 题型九：直线与坐标轴形成三角形问题 典型例题 【典例10-1】（2024·高二·四川眉山·阶段练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17．4cm；点燃21min后，蜡烛长为8．4cm．已知蜡烛长度（cm）与燃烧时间t（min）可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（    ） A．25min B．35min C．40min D．45min 【答案】B 【解析】由题意知：蜡烛长度（cm）与燃烧时间t（min）可以用直线方程， 过两点，故其斜率， ∴直线方程为， ∴当蜡烛燃尽时，有，即， 故选：B 题型十：直线方程的实际应用 典型例题 【典例10-2】（多选题）（2024·高一·河北保定·阶段练习）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】设顶点C的坐标为，所以重心坐标为， 因为欧拉线方程为，所以． A：当顶点C的坐标为时，显然不满足； B：当顶点C的坐标为时，显然满足； C：当顶点C的坐标为时，显然满足； D：当顶点C的坐标为时，显然不满足， 故选：BC 【方法技巧与总结】 用坐标法解决生活问题． 题型十：直线方程的实际应用 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（四川卷））直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（    ） A． B． C． D． 2．（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷IV））过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2004年普通高等学枚招生考试数学（文）试题（全国卷II））已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． A A B 4  ＋＝1  ＝(x1≠x2，y1≠y2) $$