6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理6题型分类(讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理6题型分类 一、分类加法计数原理 1．分类加法计数原理的概念 完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 概念推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=+++种不同的方法. 2．分类加法计数原理的特点 分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情，我们可以用第一类有种方法，第二类有种方法，，第n类有种方法，来表示分类加法计数原理，即强调每一类中的任一种方法都可以完成要做的事，因此一共有+++种不同方法可以完成这件事. 3．分类的原则 分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏. 二、分步乘法计数原理 1．分步乘法计数原理的概念 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=×××种不同的方法. 2．分步乘法计数原理的特点 分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步都要使用一种方法才能完成要做的事，可以利用图形来表示分步乘法计数原理，图中的“”强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情，从而共有×××种不同的方法可以完成这件事. 3．分步的原则 ①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事； ②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤. ③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏. 三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 1．联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决有关做一件事的不同方法种数的问题，它们都是把一个原始事件分解成若干个事件来完成． 2．区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事，共有类办法，关键词是“分类” 完成一件事，共分步骤，关键词是“分步” 区别二 每类办法都能独立第完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步都只是中间过程，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步就不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 （一） 分类加法计数原理 应用分类计数原理，应注意： ①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类； ②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束. 题型1：分类加法计数原理 1．（2024高二·全国月考）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．7种 B．9种 C．14种 D．70种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理求解即可 【解析】分为三类: 从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法， 根据分类加法计数原理，共有5+2+7= 14(种)不同的选法; 故选：C 2．（2024高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（    ） A．6种 B．10种 C．4种 D．60种 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理求解即可. 【解析】根据分类加法计数原理，6+4=10. 故选：B. 3．（2024高二·全国月考）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，有 种不同的选法． 【答案】24 【分析】利用分类加法计算原理即可得解. 【解析】第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法； 第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法； 第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法； 由分类加法计数原理可得，共有种不同的选法． 故答案为：24. 4．（2024高二·全国月考）如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，只关闭一个开关，使电灯发光的方法种数是 ． 【答案】5 【分析】由分类计数加法原理可得. 【解析】在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键， 应用分类加法计数原理，共有2＋3＝5种接通电源使电灯发光的方法． 故答案为：5. （二） 分步乘法计数原理 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 解决这类问题的关键是搞清分类还是分步．用分步乘法计数原理解决问题时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理．同时，要弄清每一步骤中完成本步骤的方法种数． 题型2：分步乘法计数原理 5．（2024高二·山东月考）甲同学计划从3本不同的文学书和4本不同的科学书中各选1本阅读，则不同的选法共有（    ） A．81种 B．64种 C．12种 D．7种 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可. 【解析】根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种. 故选：C 6．（2024高二·江苏月考）某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人．从4种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为（　　） A．1200 B．600 C．300 D．26 【答案】A 【分析】由分步计数原理即可求解. 【解析】分四步： 第一步，选O型血的人有10种选法； 第二步，选A型血的人有5种选法； 第三步，选B型血的人有8种选法； 第四步，选AB型血的人有3种选法． 故共有10×5×8×3＝1200（种）不同的选法． 故选：A 7．（2024高二·江苏月考）在图中的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？    【答案】6 【分析】用分步计数原理计算即得答案. 【解析】在图中，按要求接通电路必须分两步进行： 第一步，合上A中的1只开关； 第二步，合上B中的1只开关.根据分步计数原理， 所以共有种不同的方法. 答：在图中的电路中，仅合上2只开关接通电 路，有6种不同的方法． 8．（2024高二·上海月考）有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为 . 【答案】 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【解析】每位学生可以有种参加重点院校的自主招生考试，由分步乘法计数原理可得，不同的考试方法种数为种. 故答案为：. 9．（2024高二·广西柳州月考）有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有 . 【答案】146 【分析】分三种情况进行求解，再相加即可. 【解析】当取出不同的球为红球和白球时，一共有种； 当取出不同的球为红球和黄球时，一共有种； 当取出不同的球为白球和黄球时，一共有种； 综上：一共有56+48+42=146种. 故答案为：146 （三） 两个原理的综合应用 1．“类中有步”计数问题：完成一件事有几类方案，每一类方案中分若干步，利用分步乘法计数原理求出每一类方案中的方法数，再利用分类加法计数原理把各类方案的方法数相加，即可得出结果. 2．“步中有类”计数问题：完成一件事的过程分成若干步，完成每一步的方法分成若干类，利用分类加法计数原理求出完成每一步中的方法数，再利用分步乘法计数原理把每一步的方法数相乘，即可得出结果. 题型3：数字问题 10．（江苏省泰州市2025届高三第一次调研测试数学试题）将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记，则m的最小值为 ，m小于100的概率为 . 【答案】 47 【分析】根据给定条件，结合差的绝对值的对称性，逐一分析各个数位上的数字即可求出最小值；分两步探讨，结合古典概率列式计算得解. 【解析】由中的对称性，不妨令，要最小， 百位必相邻，的百位为4，的百位为3； 对于十位，的十位尽可能的大，为6，的十位尽可能的小，为1； 同理的个为5，的个位为2，因此，所以m的最小值为47； 要m小于100，百位必相邻，且较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制，分两步： 取百位的概率为；取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给作十位， 而的十位大于的十位与的十位小于的十位的概率相等，此步符合要求的概率为， 所以m小于100的概率为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：按两步分析，分别求出各步发生的概率求得第二空. 11．（2024高二·上海·期末）用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 【答案】 【分析】通过个位数字是0和2，两类情况讨论即可求解； 【解析】当个数数字是0时，满足条件的四位数由， 当个数数字是2时，满足条件的四位数由， 故满足条件的偶数个数是10， 故答案为：10 12．（2024高二·北京西城·期末）从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】分别讨论和为6的情况，再结合排列组合概念即可求解； 【解析】三个数字和为6的情况有：222,114,123， 对于3个2的排列只有1个； 对于1，1，4的排列由个， 对于1，2，3的排列有个， 所以这样的三位数有10个， 故选：C 13．（2024高二·北京大兴·期末）用这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据分步乘法计数原理运算求解即可. 【解析】因为百位不为0，有9个数字可选， 则十位有9个数字可选， 个位有8个数字可选， 所以可以组成个没有重复数字的三位数. 故选：C. 题型4：涂色问题 14．（2024高二·全国月考）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．64种 C．96种 D．144种 【答案】C 【分析】先给中间涂色，再给外边每个涂色，利用分步乘法计算原理求解即可. 【解析】根据题意，假设正五角星的区域为，，，，，，如图所示， 先对区域涂色，有3种方法，再对，，，，这5个区域进行涂色， 因为，，，，这5个区域都与相邻，所以每个区域都有2种涂色方法， 所以共有种涂色方法． 故选：C. 15．（2024高二·山东月考）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（    ） A．48种 B．72种 C．64种 D．256种 【答案】A 【分析】利用分步乘法原理求解即可 【解析】从A开始摆放花卉，A有4种颜色花卉摆放方法， C有3种颜色花卉摆放方法，B有2种颜色花卉摆放方法； 由D区与A，B花卉颜色不一样，与C区花卉颜色可以同色也可以不同色， 则D有2种颜色花卉摆放方法. 故共有种绿化方案. 故选：A 16．（2024高二·全国月考）用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？ 1 2 3 4 【答案】260 【分析】利用分类加法计数原理把问题分成1号区域与4号区域同色，1号区域与4号区域不同色两种情况分析，每种情况用分步乘法计数原理求解，即可得出结果. 【解析】解：第一类，1号区域与4号区域同色，此时可分三步来完成， 第一步，涂1号区域和4号区域，有5种涂法； 第二步，涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有4种涂法； 第三步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有4种涂法. 由分步乘法计数原理知，有5×4×4=80种涂法. 第二类，1号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成， 第一步，涂1号区域，有5种涂法； 第二步，涂4号区域，只要不与1号区域同色即可，因此有4种涂法； 第三步，涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有3种涂法； 第四步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有3种涂法. 由分步乘法计数原理知，有5×4×3×3=180种涂法. 依据分类加法计数原理知，不同涂色的方法种数为80+180=260. 17．（2024高二·河北石家庄·期中）在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有 种（用数字作答） 【答案】240 【分析】直接利用分步乘法计数原理即可求出结果. 【解析】由分步乘法计数原理得种, 故答案为：240. 18．（2024·山西临汾模拟预测）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有 种不同的绿化方案（用数字作答）. 【答案】180 【分析】利用分步乘法原理求解即可 【解析】如图： A B D C 从A开始摆放花卉，A有5种颜色花卉摆放方法， B有4种颜色花卉摆放方法，C有3种颜色花卉摆放方法； 由D区与B，C花卉颜色不一样，与A区花卉颜色可以同色也可以不同色， 则D有3种颜色花卉摆放方法. 故共有种涂色方法. 故答案为：180 19．（2024·山西忻州模拟预测）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．120种 B．240种 C．420种 D．720种 【答案】C 【分析】先对图中不同的区域命名，再运用分步计数和分类计数的方法从中央开始计数即可. 【解析】如图，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植， 若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择， 不同的布置方案有种； 故选：C. 20．（2024高三·重庆月考）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ） A．120 B．72 C．48 D．24 【答案】A 【分析】利用两个计数原理，先分类再分步即可求解． 【解析】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择， ① 当,颜色相同时涂色方法数是：， ② 当,颜色不相同时涂色方法数是：， 满足题意的涂色方法总数是：． 故选：A． 题型5：几何计数问题 21．（2024·上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【解析】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 22．（2024·全国模拟预测）在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．24种 D．26种 【答案】D 【分析】按顶点处标注的数字分类讨论 ，利用分类加法和乘法计数原理即可求解. 【解析】按顶点处标注的数字分类，有如下几种情况： 若处都标注的是4，则处的标注方法有（种）； 若处都标注的是3，则处的标注方法有（种）； 若处都标注的是2，则处的标注方法有1种； 若处标注的是4和3两个数字，则处的标注方法有（种），不同的标注方法共有（种）； 若处标注的是4和2两个数字，则处的标注方法有1种，不同的标注方法共有（种）； 若处标注的是3和2两个数字，则处的标注方法有1种，不同的标注方法共有（种）. 由分类加法计数原理可知，顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法共有（种）. 故选:D. 23．（2024高二·上海宝山·期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有 种不同选法 【答案】12 【分析】正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况. 【解析】 从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况， 所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次， 综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种. 故答案为：12 题型6：实际问题中的计数问题 24．（2024·江苏徐州模拟预测）中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】每人都有3种选法，结合分布计数原理即可求解. 【解析】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合. 故选：A 25．（2024高二·全国月考）某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？ 【答案】7 【分析】利用分类与分步计数原理计算即可. 【解析】按照选择的女同学人数分为两种情况，即2名都是女同学和只有1名女同学． 第1类：2名都是女同学的选法显然只有1种． 第2类：只有1名女同学的选法，可以分为两步完成：先从2名女同学中选出1人，有2种选法； 再从3位男同学中选出1人，有3种选法．依据分步乘法计数原理，共有不同的安排方法种． 依据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 26．（2024高三·河南许昌·期中）川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技，是揭示剧中人物内心思想感情的一种浪漫主义手法，王老师获得了川剧演出的7张连号的票，王老师自己留下了2张连号的票，其余的票赠送给4位朋友，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票连号，那么共有 种不同的分法.（用数字作答） 【答案】 【分析】先确定王老师留下2张连号票的情况，再对剩余5张连号票分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号的情况进行分析，通过列举和组合的方法来计算不同分法的总数. 【解析】设这7张连号票编号为号，王老师留下2张连号票的情况有： 、、、、、，共6种情况， 若王老师留下，剩下3、4、5、6、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、5、6、7；3、、6、7；3、4、、7； 34、5、这4种分法，此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、4、5、6、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、1、6、7；1、、4、7；1、4、、5；这3种分法， 此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、2、5、6、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、5、6、7；1、、2、7；1、2、、5；这3种分法， 此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、2、3、6、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、3、6、7；1、、6、7；1、2、、3；这3种分法， 此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、2、3、4、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、3、4、7；1、、4、7；1、2、、7；这3种分法， 此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、2、3、4、5号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、3、4、5；1、、4、5；1、2、、5；1、2、3、； 这4种分法，此时有种不同的分法； 故共有种不同的分法. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了分类加法原理和分组分配问题，解答此类问题的关键是分类时不重复不遗漏. 27．（2024高二·重庆北碚·期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 【答案】A 【分析】应用分类分步计数原理及排列组合数求不同的安排方法数. 【解析】若甲被选出，从其它3位同学选2位有种， 将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种， 所以共有种； 若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种， 综上，共有种. 故选：A 2025年2月27日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2024高二·甘肃白银·期末）甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（   ） A．6种 B．12种 C．3种 D．9种 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【解析】甲､乙两人从3门课程中各选修1门， 由乘法原理可得甲､乙所选的课程不相同的选法有（种）. 故选：A 2．（2024高二·安徽池州·期中）“声东击西”是游击战争的一种战术：声东可以击东、南、西、北中的任意一个方向，以此灵活地打击或消灭敌人.同样还有“声南击北”等不同的战术，由此可知这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为（    ） A．16 B．12 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，分析声和击的情况，再由分步乘法计数原理可得答案. 【解析】根据题意，声的情况有4种，击的情况也有4种，所以这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为. 故选：A. 3．（2024高二·福建泉州·期末）有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（    ） A．243 B．125 C．60 D．120 【答案】A 【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案. 【解析】每名学生都有种选择方法， 所以不同的报名方法的种数为. 故选：A 4．（2024高二·黑龙江大庆·期中）完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分类加法计数原理直接求解即可. 【解析】由分类加法计数原理得：. 故选：A. 5．（2006·上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【解析】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）. 故选：D 6．（2024高二·河北邯郸·期中）有序数对满足，且使关于的方程有实数解，则这样的有序数对的个数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．10 【答案】A 【分析】分情况讨论即可计算有序数对的个数. 【解析】（1）当时，有为实根，则有4种可能； （2）当时，方程有实根，所以，所以. 当时，有4种. 当时，有4种. 当时，有3种. 所以，有序数对的个数为. 故选：A. 7．（2024·全国模拟预测）在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．24种 D．26种 【答案】D 【分析】按顶点处标注的数字分类讨论 ，利用分类加法和乘法计数原理即可求解. 【解析】按顶点处标注的数字分类，有如下几种情况： 若处都标注的是4，则处的标注方法有（种）； 若处都标注的是3，则处的标注方法有（种）； 若处都标注的是2，则处的标注方法有1种； 若处标注的是4和3两个数字，则处的标注方法有（种），不同的标注方法共有（种）； 若处标注的是4和2两个数字，则处的标注方法有1种，不同的标注方法共有（种）； 若处标注的是3和2两个数字，则处的标注方法有1种，不同的标注方法共有（种）. 由分类加法计数原理可知，顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法共有（种）. 故选:D. 8．（2024高一·山东德州·期末）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出一共摆出的两位数的个数，再求出个位和十位上的算筹不一样多的两位数的个数，利用古典概型概率公式计算即可. 【解析】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式， 共可以摆出个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1有种， 个位和十位上的算筹都为2有种，个位和十位上的算筹都为3有种， 个位和十位上的算筹都为4有种，个位和十位上的算筹都为5有种， 共有种，所以个位和十位上的算筹不一样多的有种， 所以个位和十位上的算筹不一样多的概率为. 故选：B 9．（2024·山东济南模拟预测）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（    ） A．648个 B．720个 C．810个 D．891个 【答案】D 【分析】5位“回文数”的万位与个位相同，千位与十位相同，所以只需确定前3位即可. 【解析】根据“回文数”的特点，只需确定前3位即可，最高位即万位有9种排法，千位和百位各有10种排法，根据分步乘法计数原理，共有种排法，其中各位数字相同的共有9种，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有种. 故选：D. 10．（2024高二·全国月考）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分四种情况讨论：①个位拨动三枚；②十位拨动一枚，个位拨动两枚；③十位拨动两枚，个位拨动一枚；④十位拨动三枚.分别列举出每种情况下对应的数字，利用分类加法计数原理可得结果. 【解析】由题意，拨动三枚算珠，有种拨法： ①个位拨动三枚，有种结果：、； ②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有种结果：、、、； ③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有种结果：、、、； ④十位拨动三枚，有种结果：、． 综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为． 故选：C. 11．（2024·江苏南通模拟预测）四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，那么不同的涂法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先确定底面的涂色种数，然后依次确定侧面、平面的涂色方法种数，对侧面与侧面的所涂颜色是否相同进行分类讨论，确定侧面的涂色方法种数，利用分步和分类计数原理可得结果. 【解析】如下图所示： 底面的涂色有种选择，侧面有种选择，侧面有2种选择. ①若侧面与侧面所涂颜色相同，则侧面有种选择； ②若侧面与侧面所涂颜色不同，则侧面有种选择，侧面有种选择. 综上所述，不同的涂法种数为种. 故选：B. 12．（贵州省毕节市2025届高三第一次诊断性考试数学试题）某学校开设了6门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这10门课中选修3门课进行学习，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案种数是（    ） A．96 B．116 C．120 D．192 【答案】A 【分析】利用排列组合知识，结合分类加法计数原理求解． 【解析】由题意可知，选课方案分2类： ①选1门体育类选修课和2门艺术类选修课，有种方案， ②选2门体育类选修课和1门艺术类选修课，有种方案， 所以不同的选课方案种数是种． 故选：A． 13．（2024高三·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 【答案】C 【分析】分同一个数字出现3次和两个数字出现两次，第三个数字出现1次两种情况，求出各个情况数，相加得到答案. 【解析】同一个数字出现3次时，其他两个数字进行插空， 故有种情况， 有两个数字出现两次，第三个数字出现1次时，此时有种情况， 以两个1，两个2，一个3为例， 若两个1出现在万位和百位，此时2可以在千位和十位或千位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和十位，此时2可以在千位和个位或百位和个位，有2种情况， 若两个1出现在万位和个位，此时2只能在千位和十位，有1种情况， 若两个1出现在千位和十位，此时2可以在万位和百位或万位和个位或百位和个位，有3种情况， 若两个1出现在千位和个位，此时2可以在万位和百位或万位和十位，有2种情况， 若两个1出现在百位和个位，此时2可以在万位和十位或千位和十位，有2种情况， 故有种情况， 所以，共有种情况， 综上，这样的五位数共有种. 故选：C 14．（2025·山西模拟预测）定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（   ） A．35 B．32 C．29 D．20 【答案】A 【分析】根据“吉祥数”的定义，按首位数字分别计算，再由分类加法计数原理可得结果. 【解析】各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算， 当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个“吉祥数”； 当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个“吉祥数”； 当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1，1，0或2，0，0，共有个“吉祥数”； 当首位数字为2时，剩余三位数分别是2，1，0或3，0，0或1，1，1，共有个“吉祥数”； 当首位数字为1时，则剩余三位数分别是3，1，0或4，0，0或1，1，2或2，2，0，共有个“吉祥数”， 则共有个“吉祥数”． 故选：A． 二、多选题 15．（2024高二·辽宁营口·期末）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 【答案】ABD 【分析】利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误. 【解析】解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确； B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确； C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误； D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确. 故选：ABD 16．（2024高二·山东枣庄月考）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（    ） A．选1人为负责人的选法种数为30 B．每组选1名组长的选法种数为3024 C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 【答案】ABC 【分析】利用加法计数原理判断选项A；利用乘法计数原理判断选项B；利用乘法及加法计数原理判断选项C；利用间接法并结合乘法计数原理判断选项D. 【解析】对于A，选1人为负责人的选法种数：，故A正确； 对于B，每组选1名组长的选法：，故B正确； 对于C，2人需来自不同的小组的选法：，故C正确； 对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有种选择， 所以不同的选法有：，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 17．（2024高二·山东日照月考）某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行 （1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名； （2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场决出胜者）； （3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负． 则全部赛程共需比赛 场． 【答案】 【分析】分别计算出小组赛、半决赛、决赛需要比赛场数即可得. 【解析】小组赛中每组6队进行单循环比赛，则需比赛场， 半决赛中共需场， 决赛需场， 故共需场. 故答案为：. 18．（2024高二·江苏扬州·期中）已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是 ． 【答案】11 【分析】设倾斜角为，由，对分情况讨论，利用计数原理计算即可． 【解析】设倾斜角为，，则，不妨设，则， 若，a有2种取法，b有2种取法，排除1个重复(与)，故这样的直线有条； 若，a有2种取法，b有2种取法，c有2种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有条， 从而，符合要求的直线有条． 故答案为：11． 19．（2024·北京西城模拟预测）如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有 种. 【答案】32 【分析】先确定每档可取的整数，再根据公差分类讨论，最后根据分类计数原理得结果. 【解析】每档可取7到14中的每个整数， 若公差为0，共有8种； 若公差为±1，则共有12种； 若公差为±2，则共有8种； 若公差为±3，则共有4种； 所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种， 故答案为32 【点睛】本题考查分类计数原理，考查基本分析求解能力，属难题. 20．（2025·江西新余模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 【答案】192 【分析】法一：间隔元素分析法，分同色，同色；同色，不同色；不同色，同色；不同色，不同色，结合和的颜色相同和不同，分类讨论，得到情况数，相加即可； 法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到影响的元素最多，分各不同色， 和同色，结合同色，不同色，同色，不同色，共有类讨论，分类讨论，得到情况数，相加即可 【解析】法一：间隔元素分析法： ①同色，同色，则有两种上色方式，被确定，故有种； ②同色，不同色，则仅有1中上色方式，被确定，故有种； ③不同色，同色，则若与同色，则有1种上色方式； 若与不同色，则只有1种上色方式； 故有种； ④不同色，不同色， 1）同色，则有种；2）不同色，则有种. 综上，共有种方式. 法二：相邻最多元素优先分析法： 考虑到影响的元素最多： ①各不同色，1）同色，则有3种染色法，故共有种； 2）不同色，则有2种染色法，故共有：种； ②同色，1）同色，则只有1种染色法（4种颜色都要使用到）， 故有种；2）不同色，则有2种染色法，故有种. 综上：共有种染色方案. 故答案为：192. 21．（2024高三·天津月考）从4种不同颜色中选择若干种颜色，给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色，且共点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有 种． 【答案】96 【分析】根据所涂颜色的种数分类，结合排列，组合公式，即可求解. 【解析】若所有相对的棱涂同一种颜色，共用3种颜色，有种方法， 若所有相对的3对棱中有2对对棱涂同色，共用4种颜色，有种方法， 所以共有种方法. 故答案为： 22．（2024高二·天津滨海新月考）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】1560 【分析】分涂5种颜色、4种颜色、3种颜色三种情况，应用分步乘法及排列组合数求不同涂色方法数. 【解析】 用5种颜色，则共有种， 用4种颜色，选出4种颜色有种，选B和E、A和C中的一组区域涂一种颜色有种，其它三个区域有种，则共有种， 用3种颜色，选出3种颜色有种，其中B和E、A和C两组区域分别各涂一种颜色有种，剩下的一个区域有1种涂法，则共有种， 所以，共有种. 故答案为：1560 四、解答题 23．（2024高二·全国月考）已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，试问一共可以组成多少种HCl和NaOH的分子？ 【答案】一共可以组成6种HCl分子，和36种NaOH的分子 【分析】根据分步计数原理求解即可. 【解析】因为HCl由H和Cl组成，且H有3种同位素，Cl有2种同位素，故可以组成种HCl. 因为NaOH由Na和OH组成，且Na有3种同位素，O有4种同位素，H有3种同位素，故OH有种情况， 故可以组成种NaOH的分子. 24．（2024高二·江苏月考）用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.若允许同一种颜色多次使用，则该板报有多少种书写方案?    【答案】600 【分析】根据分步相乘计数原理求解即可. 【解析】第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法; 第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角相同，有5种不同的选法; 第三步，选理综世界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不相同，有4种不同的选法; 第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只要与理综世界不同即可，有5种不同的选法. 由分步乘法计数原理知，共有种不同的书写方案. 25．（2024高二·全国月考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数． 【答案】420 【分析】分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解 【解析】由题设，四棱锥S - ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不相同,它们共有种染色方法； 当染好时，不妨设所染颜色依次为1, 2, 3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S, A, B染好时，C, D还有7种染法. 故不同的染色方法有种. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第三册） 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理6题型分类 一、分类加法计数原理 1．分类加法计数原理的概念 完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 概念推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=+++种不同的方法. 2．分类加法计数原理的特点 分类加法计数原理又称分类计数原理或加法原理，其特点是各类中的每一种方法都可以完成要做的事情，我们可以用第一类有种方法，第二类有种方法，，第n类有种方法，来表示分类加法计数原理，即强调每一类中的任一种方法都可以完成要做的事，因此一共有+++种不同方法可以完成这件事. 3．分类的原则 分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏. 二、分步乘法计数原理 1．分步乘法计数原理的概念 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=×××种不同的方法. 2．分步乘法计数原理的特点 分步乘法计数原理的特点是在所有的各步之中，每一步都要使用一种方法才能完成要做的事，可以利用图形来表示分步乘法计数原理，图中的“”强调要依次完成各个步骤才能完成要做的事情，从而共有×××种不同的方法可以完成这件事. 3．分步的原则 ①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事； ②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤. ③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏. 三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别 1．联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决有关做一件事的不同方法种数的问题，它们都是把一个原始事件分解成若干个事件来完成． 2．区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 完成一件事，共有类办法，关键词是“分类” 完成一件事，共分步骤，关键词是“分步” 区别二 每类办法都能独立第完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步都只是中间过程，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步就不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 区别三 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 （一） 分类加法计数原理 应用分类计数原理，应注意： ①分类时，要按一个标准来分，最忌采用双重或多重标准分类； ②每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；它的起点、终点就是完成这件事情的开始和结束. 题型1：分类加法计数原理 1．（2024高二·全国月考）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．7种 B．9种 C．14种 D．70种 2．（2024高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（    ） A．6种 B．10种 C．4种 D．60种 3．（2024高二·全国月考）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，有 种不同的选法． 4．（2024高二·全国月考）如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中，只关闭一个开关，使电灯发光的方法种数是 ． （二） 分步乘法计数原理 使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各步的方法数，第三步是求积． 解决这类问题的关键是搞清分类还是分步．用分步乘法计数原理解决问题时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时才能使用分步乘法计数原理．同时，要弄清每一步骤中完成本步骤的方法种数． 题型2：分步乘法计数原理 5．（2024高二·山东月考）甲同学计划从3本不同的文学书和4本不同的科学书中各选1本阅读，则不同的选法共有（    ） A．81种 B．64种 C．12种 D．7种 6．（2024高二·江苏月考）某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人．从4种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为（　　） A．1200 B．600 C．300 D．26 7．（2024高二·江苏月考）在图中的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？    8．（2024高二·上海月考）有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为 . 9．（2024高二·广西柳州月考）有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有 . （三） 两个原理的综合应用 1．“类中有步”计数问题：完成一件事有几类方案，每一类方案中分若干步，利用分步乘法计数原理求出每一类方案中的方法数，再利用分类加法计数原理把各类方案的方法数相加，即可得出结果. 2．“步中有类”计数问题：完成一件事的过程分成若干步，完成每一步的方法分成若干类，利用分类加法计数原理求出完成每一步中的方法数，再利用分步乘法计数原理把每一步的方法数相乘，即可得出结果. 题型3：数字问题 10．（江苏省泰州市2025届高三第一次调研测试数学试题）将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记，则m的最小值为 ，m小于100的概率为 . 11．（2024高二·上海·期末）用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 12．（2024高二·北京西城·期末）从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 13．（2024高二·北京大兴·期末）用这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（    ） A． B． C． D． 题型4：涂色问题 14．（2024高二·全国月考）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．64种 C．96种 D．144种 15．（2024高二·山东月考）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（    ） A．48种 B．72种 C．64种 D．256种 16．（2024高二·全国月考）用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？ 1 2 3 4 17．（2024高二·河北石家庄·期中）在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有 种（用数字作答） 18．（2024·山西临汾模拟预测）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有 种不同的绿化方案（用数字作答）. A B D C 19．（2024·山西忻州模拟预测）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．120种 B．240种 C．420种 D．720种 20．（2024高三·重庆月考）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ） A．120 B．72 C．48 D．24 题型5：几何计数问题 21．（2024·上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 22．（2024·全国模拟预测）在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．24种 D．26种 23．（2024高二·上海宝山·期中）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有 种不同选法 题型6：实际问题中的计数问题 24．（2024·江苏徐州模拟预测）中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 25．（2024高二·全国月考）某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种？ 26．（2024高三·河南许昌·期中）川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技，是揭示剧中人物内心思想感情的一种浪漫主义手法，王老师获得了川剧演出的7张连号的票，王老师自己留下了2张连号的票，其余的票赠送给4位朋友，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票连号，那么共有 种不同的分法.（用数字作答） 27．（2024高二·重庆北碚·期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 2025年2月27日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2024高二·甘肃白银·期末）甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（   ） A．6种 B．12种 C．3种 D．9种 2．（2024高二·安徽池州·期中）“声东击西”是游击战争的一种战术：声东可以击东、南、西、北中的任意一个方向，以此灵活地打击或消灭敌人.同样还有“声南击北”等不同的战术，由此可知这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为（    ） A．16 B．12 C．4 D．3 3．（2024高二·福建泉州·期末）有5名学生报名参加3项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为（    ） A．243 B．125 C．60 D．120 4．（2024高二·黑龙江大庆·期中）完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，其中（    ） A． B． C． D． 5．（2006·上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 6．（2024高二·河北邯郸·期中）有序数对满足，且使关于的方程有实数解，则这样的有序数对的个数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．10 7．（2024·全国模拟预测）在正方形的每一个顶点处分别标上中的某一个数字（可以重复），则顶点处的数字都大于顶点处的数字的标注方法有（    ） A．36种 B．48种 C．24种 D．26种 8．（2024高一·山东德州·期末）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（    ）    A． B． C． D． 9．（2024·山东济南模拟预测）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读．比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142．则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（    ） A．648个 B．720个 C．810个 D．891个 10．（2024高二·全国月考）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·江苏南通模拟预测）四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，那么不同的涂法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 12．（贵州省毕节市2025届高三第一次诊断性考试数学试题）某学校开设了6门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这10门课中选修3门课进行学习，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案种数是（    ） A．96 B．116 C．120 D．192 13．（2024高三·广东深圳·期末）只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．30个 B．36个 C．42个 D．48个 14．（2025·山西模拟预测）定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（   ） A．35 B．32 C．29 D．20 二、多选题 15．（2024高二·辽宁营口·期末）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中任选1个球，有15种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 16．（2024高二·山东枣庄月考）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（    ） A．选1人为负责人的选法种数为30 B．每组选1名组长的选法种数为3024 C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 三、填空题 17．（2024高二·山东日照月考）某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行 （1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名； （2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场决出胜者）； （3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负． 则全部赛程共需比赛 场． 18．（2024高二·江苏扬州·期中）已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是 ． 19．（2024·北京西城模拟预测）如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有 种. 20．（2025·江西新余模拟预测）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的染色方案. 21．（2024高三·天津月考）从4种不同颜色中选择若干种颜色，给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色，且共点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有 种． 22．（2024高二·天津滨海新月考）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有 种. 四、解答题 23．（2024高二·全国月考）已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，试问一共可以组成多少种HCl和NaOH的分子？ 24．（2024高二·江苏月考）用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.若允许同一种颜色多次使用，则该板报有多少种书写方案?    25．（2024高二·全国月考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$