5.2.3简单复合函数的导数课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

主讲教师： 5.2.3 简单复合函数的导数 学 校： 册 别：选择性必修二 学 科：高中数学 复习回顾 基本初等函数的导数公式： 导数的四则运算法则 导数的加、减运算法则 导数的乘法运算法则 导数的除法运算法则 问题1：用现有知识试求下列函数的导数 （2）现有方法无法求出它的导数. ①用定义不能求出极限； ②不是基本初等函数，没有求导公式； ③不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题. 学习新知 若设 ，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和 复合而成的一个复合函数. 如果把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为： y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1) 思考：函数 可以用哪些基本初等函数表示？ 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)) 复合函数： 例如，函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成. 是 不是 不是 是 不是 是 是 不是 例1、判断下列函数哪些是复合函数 问题2：如何求复合函数的导数呢? 我们先来研究y=sin2x的导数. 设y=sinu，u=2x 以表示y对x的导数，表示y对u的导数，表示u对x的导数. 我们再换一个函数试试，例如y=ln2x的导数. 以表示y对x的导数，表示y对u的导数，表示u对x的导数. 设y=lnu，u=2x,而 ， 我们可以发现： 复合函数的导数法则： 一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积. 问题3：请用复合函数的导数法则，求函数 的导数 函数 可以看作函数 和 的复合函数 所以 例2.求下列函数的导数: 解： 例3.某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为 求函数y在t=3时的导数，并解释它的实际意义. 课堂小结： 复合函数求导的步骤： 同学们，再见 $$