第一章 直线与圆 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 第一章　单元质量测评 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．经过点P(1，)，Q(4，0)两点的直线l的倾斜角α为(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° 答案　D 解析　因为直线l过点P(1，)，Q(4，0)，则直线l的斜率k＝＝－，直线l的倾斜角α满足0°≤α<180°，显然α≠90°，则有tanα＝－，解得α＝150°，所以直线l的倾斜角α为150°． 2．过点P(1，2)，且与直线x＋2y＋2＝0垂直的直线方程为(　　) A．2x－y＝0 B．x－2y＋3＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－5＝0 答案　A 解析　∵与直线x＋2y＋2＝0垂直的直线的斜率k＝2，∴过点P(1，2)与直线x＋2y＋2＝0垂直的直线方程为y－2＝2(x－1)，整理，得2x－y＝0． 3．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 答案　B 解析　由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1，0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝． 4．已知圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝50－a，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a＝(　　) A．14 B．34 C．14或45 D．34或14 答案　D 解析　圆C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心为C1(3，－2)，r1＝1，圆C2：(x－7)2＋(y－1)2＝50－a的圆心为C2(7，1)，r2＝，|C1C2|＝＝5，因为圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，故圆C1与圆C2内切或外切，故|1－r2|＝5或r2＋1＝5，从而r2＝6或r2＝4，所以r2＝＝6或r2＝＝4，解得a＝34或a＝14． 5．设圆C1：x2＋y2－2x＋4y＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＝0，则圆C1与C2的公切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　B 解析　由题意，得圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝32，圆心C1(1，－2)，圆C2：(x＋3)2＋(y－4)2＝52，圆心C2(－3，4)，∴5－3<|C1C2|＝2<5＋3，∴C1与C2相交，有2条公切线． 6．已知直线l：3x＋y－5＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的余弦值为(　　) A． B．－ C．－ D． 答案　C 解析　圆x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程为x2＋(y－1)2＝5，圆心为C(0，1)，半径r＝，圆心C(0，1)到直线3x＋y－5＝0的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2 ＝，在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ACB＝＝＝－． 7．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　) A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4) 答案　C 解析　设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)，则解得即A′(4，－2)．∴BC所在直线的方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0．联立解得可得C(2，4)． 8．若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则的最大值是(　　) A．＋3 B．6＋14 C．－＋3 D．－6＋14 答案　A 解析　∵x2＋y2＋4x－2y－4＝0，∴(x＋2)2＋(y－1)2＝32表示圆心为C(－2，1)，半径R＝3的圆．∵＝，∴表示圆C上的任意一点P(x，y)到O(0，0)的距离，∴的最大值即为|CO|＋R＝＋3＝＋3． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的是(　　) A．过点(，－2) B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1 答案　BC 解析　对于直线l：x－y－1＝0，当x＝时，y＝2，故A错误；当x＝0时，y＝－1，即直线在y轴上的截距为－1，故D错误；化直线方程为斜截式：y＝x－1，可得直线的斜率为，故B正确；设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，则tanθ＝，θ＝60°，故C正确． 10．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是(　　) A．的最大值为 B．的最小值为0 C．x2＋y2的最大值为＋1 D．x＋y的最大值为3＋ 答案　ABD 解析　由实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0可得点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上，作其图形如右图，因为表示点(x，y)与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为y＝kx，则＝1，解得k＝0或k＝，所以∈，所以＝，＝0，A，B正确；x2＋y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|＋1，所以x2＋y2的最大值为(|OC|＋1)2，又|OC|＝，所以x2＋y2的最大值为6＋2，C错误；因为x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故可设x＝2＋cosθ，y＝1＋sinθ，所以x＋y＝2＋cosθ＋1＋sinθ＝3＋sin，所以当θ＝，即x＝2＋，y＝1＋时，x＋y取得最大值3＋，D正确．故选ABD． 11．已知两圆方程为x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是(　　) A．若两圆外切，则r＝1 B．若两圆公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2 C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3 D．若两圆有三条公切线，则r＝2 答案　ABC 解析　由圆的方程可知，两圆圆心分别为(0，0)，(4，－3)，半径分别为4，r，所以圆心距为5，若两圆外切，则4＋r＝5，r＝1，故A正确；此时两圆有三条公切线，故D错误；当两圆相交时，两圆公共弦所在直线的方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在直线的方程为8x－6y－41＋r2＝0，所以－41＋r2＝－37，解得r＝2，故B正确；因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，所以两圆圆心距，两圆半径必构成一个直角三角形，故52＝42＋r2，解得r＝3，故C正确．故选ABC． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知点A(2，4)，B(3，3)，P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，则的取值范围是________． 答案　[1，2] 解析　设k＝，则k可以看成过点P(a，b)与坐标原点O的直线的斜率．当点P在线段AB上由B点运动到A点时，直线OP的斜率由kOB增大到kOA，如图所示．又kOB＝＝1，kOA＝＝2，所以1≤k≤2，即的取值范围是[1，2]． 13．已知P(a，b)是直线2(x＋1)－3(y＋1)＝0上任意一点，则直线ax＋by－5＝0恒过的定点的坐标为________． 答案　(10，－15) 解析　由题意可得2(a＋1)－3(b＋1)＝0，∴b＝a－，∴直线ax＋by－5＝0可化为ax＋y－5＝0，即a－y－5＝0，由可得x＝10，y＝－15，故直线ax＋by－5＝0恒过定点(10，－15)． 14．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋4y＋4＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0，M，N分别为圆C1和圆C2上的动点，P为直线l：y＝x＋2上的动点，则|MP|＋|NP|的最小值为________． 答案　2－3 解析　圆C1：x2＋y2＋2x＋4y＋4＝0，即(x＋1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(－1，－2)，半径R＝1，圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为(2，－1)，半径r＝2，设点(－1，－2)关于直线l：y＝x＋2对称的点为(a，b)，则解得圆C1关于直线l：y＝x＋2对称的圆为圆C′，其圆心为(－4，1)，半径R′＝1，则其方程为(x＋4)2＋(y－1)2＝1，设圆C′上的点M′与圆C1上的点M对称，则有|PM|＝|PM′|，原问题可以转化为P到圆C′和圆C2上的动点距离之和的最小值问题， 连接C2C′，与直线l交于点P，此时点P是满足|PN|＋|PM′|的值最小的点，此时|PN|＋|PM′|＝|C2C′|－3＝2－3，即|MP|＋|NP|的最小值为2－3． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)． (1)求圆心所在直线的方程； (2)求周长最小的圆的标准方程； (3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程； (4)若圆心的纵坐标为3，求圆的标准方程． 解　(1)由题意可知线段AB的中点坐标是(0，1)， ∵直线AB的斜率k＝＝－3，且圆心在线段AB的垂直平分线上， ∴圆心所在直线的方程为y－1＝x，即x－3y＋3＝0． (2)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即圆心为线段AB的中点(0，1)， 半径为|AB|＝． 则所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10． (3)由(1)可知，圆心所在直线的方程为x－3y＋3＝0， 又圆心也在直线2x－y－4＝0上， ∴圆心是这两条直线的交点， 联立解得 即圆心的坐标是(3，2)， ∴半径r＝＝2， ∴所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20． (4)设圆心的坐标为(m，3)， 由(1)知m－3×3＋3＝0，得m＝6， ∴圆的半径r＝＝5， ∴所求圆的标准方程为(x－6)2＋(y－3)2＝50． 16．(本小题满分15分)已知直线l过点P(0，1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分． (1)求直线l的方程； (2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积． 解　(1)∵点B在直线l1上， ∴可设B(a，8－2a)． 又P(0，1)是AB的中点，∴A(－a，2a－6)． ∵点A在直线l2上， ∴－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即B(4，0)． 故直线l的方程是x＋4y－4＝0． (2)由(1)知A(－4，2)． 又AD∥l1，∴kAD＝＝－2， ∴m＝－6． 点A到直线l1的距离 d＝＝， |AD|＝＝4， ∴S△ABD＝|AD|·d＝×4×＝28． 17．(本小题满分15分)已知圆C经过A(－1，0)，B(2，3)两点，且圆心C在直线2x－y－4＝0上． (1)求圆C的方程； (2)过点(3，2)的直线l与圆C交于P，Q两点，如果|PQ|＝4，求直线l的方程． 解　(1)由题意设圆心C(a，2a－4)， 设圆的半径为r，则r2＝|CA|2＝|CB|2， 即(a＋1)2＋(2a－4)2＝(a－2)2＋(2a－7)2，解得a＝2， 所以圆心C(2，0)，半径r＝|CA|＝＝3， 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9． (2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，代入圆的方程可得12＋y2＝9， 可得y＝±2，所以|PQ|＝2×2＝4，显然符合条件； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋t，因为点(3，2)在直线上，所以3k＋t＝2， 圆心C到直线l的距离d＝， 弦长|PQ|＝2＝2＝4，可得d＝1， 即＝1，即|2k＋2－3k|＝， 解得k＝，t＝2－3k＝－， 所以直线PQ的方程为y＝x－． 综上所述，直线l的方程为x＝3或y＝x－． 18．(本小题满分17分)在平面直角坐标系中，光线l过点A(－2，1)，经x轴反射后与圆D：(x－2)2＋(y－3)2＝4有交点． (1)若反射后光线经过圆心D，求光线l的方程； (2)若反射后光线与圆D相切，求光线l的方程． 解　(1)点A(－2，1)关于x轴的对称点为A′(－2，－1)，反射光线经过圆心D(2，3)，由光线的反射性质，得kl＝－kDA′，易知kDA′＝＝1，所以kl＝－1， 所以光线l的方程为x＋y＋1＝0． (2)设经过A′(－2，－1)的直线方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0，由于反射光线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝2，化简得3k2－8k＋3＝0， 解得k＝或， 所以光线l的方程为y－1＝－(x＋2)或y－1＝－(x＋2)，即(4－)x＋3y＋5－2＝0或(4＋)x＋3y＋5＋2＝0． 19．(本小题满分17分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A． (1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标； (2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 解　(1)由题意可知圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2． 设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线， 所以∠MAP＝90°． 在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2， 故|MP|＝＝4． 又|MP|＝ ＝， 所以＝4，解得b＝0或b＝， 所以点P的坐标为(0，0)或． (2)设点P的坐标为(2b，b)． 因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆， 且MP的中点坐标为， 所以圆N的方程为(x－b)2＋＝， 即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0． 由解得或 所以圆N过定点(0，4)和． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$