6.2 离散型随机变量及其分布列-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §2　离散型随机变量及其分布列 知识点一　离散型随机变量 1．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　) A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球或一个黑球 答案　B 解析　A中叙述的结果是确定的，不是随机变量；B中叙述的结果可能是0，1，2，所以是随机变量；C和D中叙述的均表示一个事件，故不是随机变量． 2．[多选]下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．某景点一天的游客数ξ B．某报警台一天内收到的报警电话次数ξ C．水文站观测到江水的水位数ξ D．某超市5月份每天的销售额ξ 答案　ABD 解析　由离散型随机变量的概念可知，A，B，D中的随机变量ξ的所有可能取值都可以一一列出，故是离散型随机变量．C中的随机变量ξ是连续型随机变量．故选ABD． 3．一个袋中有大小相同的5个钢球，分别标有号码1，2，3，4，5，从中任意抽取2个球，设2个球的号码之和为X，则X的所有可能取值的个数为(　　) A．5 B．7 C．6 D．9 答案　B 解析　任取2个球，计算其号码之和，X的所有可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝2＋3＝5，1＋5＝2＋4＝6，2＋5＝3＋4＝7，3＋5＝8，4＋5＝9，共7个． 4．某人射击命中率为p(0<p<1)，他向一目标射击，当第一次射中目标时，则停止射击，射击次数的取值是(　　) A．1，2，3，…，n B．1，2，3，…，n，… C．0，1，2，…，n D．0，1，2，…，n，… 答案　B 解析　射击次数至少1次，由于命中率0<p<1，所以此人可能永远不会击中目标． 知识点二　离散型随机变量的分布列 5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 0．5 1－2q q2 则q＝________． 答案　1－ 解析　由分布列的性质得0．5＋1－2q＋q2＝1，整理得q2－2q＋0．5＝0，解得q＝1±．当q＝1＋时，1－2q<0，q2>1，不符合题意，舍去，所以q＝1－． 6．假设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0．2，则P(X＝1)＝________． 答案　0．6 解析　随机变量X服从两点分布，则P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，又P(X＝1)－P(X＝0)＝0．2，联立解得P(X＝1)＝0．6． 7．若随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为________． 答案　 解析　∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝a＝1，∴a＝，∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝×＝． 8．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为ξ，求ξ的分布列． 解　记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，ξ的所有可能取值为0，1，2． P(ξ＝0)＝P()P()＝＝， P(ξ＝1)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝， P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝×＝， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 9．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题，设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 解　由题意，知X的所有可能取值为0，1，2，3． P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝C×××＋×＝， P(X＝2)＝C××＋C×××＝， P(X＝3)＝×＝． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 一、选择题 1．6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是(　　) A．取到产品的件数 B．取到正品的件数 C．取到正品的概率 D．取到次品的概率 答案　B 解析　由题意知，此试验所有可能结果为2件正品、1件正品和1件次品、2件次品．因此取到正品的件数可作为随机变量．故选B． 2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示(　　) A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局二次 D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 答案　D 解析　因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选D． 3．随机变量X的所有可能取值为1，2，3，…，10，且P(X＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为(　　) A． B． C．110 D．55 答案　B 解析　∵随机变量X的所有可能取值为1，2，3，…，10，且P(X＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝． 4．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为(　　) X 0 1 2 3 P a b A． B． C． D． 答案　C 解析　由分布列的性质可知a＋b＝，而a2＋b2≥＝．故选C． 5．[多选]已知随机变量X的分布列如下表所示，且2b＝a＋c，则(　　) X －1 0 1 P a b c A．a＝ B．b＝ C．c＝ D．P(|X|＝1)＝ 答案　BD 解析　由分布列的性质，得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝．∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－＝．故选BD． 二、填空题 6．掷一个质地均匀的骰子，设朝上的点数为随机变量X，则P(X≥4)＝________． 答案　 解析　事件X≥4表示朝上的点数为4点、5点或6点，所以P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝． 7．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0．20 0．□5 0．10 0．10 0．1□ 0．20 根据该表可知X取奇数值的概率是________． 答案　0．45 解析　由离散型随机变量的分布列的性质可求得P(X＝2)＝0．25，P(X＝5)＝0．15，故X取奇数值的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0．20＋0．10＋0．15＝0．45． 8．一批产品分为一、二、三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝ ________． 答案　 解析　设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为，则随机变量ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P P＝P(ξ＝1)＝． 三、解答题 9．某校10名学生组成该校科技创新周志愿服务队(简称科服队)，他们参加活动的有关数据统计如下： 参加活动次数 1 2 3 人数 2 3 5 (1)从科服队中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率； (2)从科服队中任选2人，用X表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求X的分布列． 解　(1)这3人参加活动次数各不相同的概率 P＝＝． (2)由题意知X的所有可能取值为0，1，2． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝． 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 10．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2，3，4，5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3，4，5，6．现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量X＝x＋y，求X的分布列． 解　依题意，X的可能取值是5，6，7，8，9，10，11． 则P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝， P(X＝8)＝＝，P(X＝9)＝， P(X＝10)＝＝，P(X＝11)＝． 所以X的分布列为 X 5 6 7 8 9 10 11 P 6 学科网（北京）股份有限公司 $$