1.2.3 直线与圆的位置关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 2．3　直线与圆的位置关系 知识点一　直线与圆位置关系的判断 1．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判定 答案　B 解析　由圆的方程可得圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，所以圆心到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝＝1＝r，则直线与圆相切．故选B． 2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 答案　C 解析　将直线方程ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2，0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C． 3．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离． 解　圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4， 故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，圆的半径r＝2． (1)若相交，则d<r，即<2， 所以m∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)． (2)若相切，则d＝r，即＝2，所以m＝±2． (3)若相离，则d>r，即>2，所以m∈(－2，2)． 知识点二　圆的切线问题 4．[多选]与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程可能为(　　) A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x＋y－4＝0 D．x－y－4＝0 答案　ABC 解析　圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种情况讨论：①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1，故A，B正确；②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)，故C正确，D错误．故选ABC． 5．已知圆x2＋y2＝25，求： (1)过点A(4，－3)的切线方程； (2)过点B(－5，2)的切线方程． 解　(1)∵点A(4，－3)在圆x2＋y2＝25上， 圆心为O(0，0)，半径为r＝5，∴kOA＝－， ∵切线过点A(4，－3)， ∴切线的斜率k＝－＝， ∴过点A的切线方程为4x－3y－25＝0． (2)∵点B(－5，2)不在圆x2＋y2＝25上， 当过点B(－5，2)的切线斜率存在时， 设所求切线方程为y－2＝k(x＋5)，即kx－y＋5k＋2＝0． 由＝5，得k＝． ∴此时切线方程为21x－20y＋145＝0． 当过点B(－5，2)的切线斜率不存在时， 结合图形可知，直线x＝－5也是切线． 综上所述，所求切线方程为21x－20y＋145＝0或x＝－5． 知识点三　圆的弦及弦长问题 6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　) A． B．2 C． D．2 答案　D 解析　过原点且倾斜角为60°的直线方程为y＝x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0，2)到直线的距离d＝＝1，由垂径定理知所求弦长为l＝2＝2．故选D． 7．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．－1或 B．1或3 C．－2或6 D．0或4 答案　D 解析　圆的半径r＝2，圆心(a，0)到直线x－y－2＝0的距离d＝，由＋()2＝22，得a＝0或a＝4．故选D． 8．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　) A． B．± C． D．± 答案　D 解析　因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以圆心C(2，3)到直线的距离为d＝＝1，所以＝＝1，解得k＝±．故选D． 9．直线l与圆M：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为________． 答案　x－y＋5＝0 解析　由圆的一般方程可得圆心M(－1，2)．由圆的性质易知M，C两点的连线与弦AB垂直，故有kAB·kMC＝－1⇒kAB＝1，故直线l的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0． 10．已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程． 解　(1)由题意设圆心为C(a，0)(a>0)， 由题意，得＝， 解得a＝－6(舍去)或a＝2， 所以圆C的半径为r＝＝， 则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2． (2)若直线l的斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为，则|AB|＝2＝2，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线方程为y－3＝k(x－1)， 即kx－y－k＋3＝0． 由弦心距d＝， 得|AB|＝2＝2， 解得k＝－，直线方程为y＝－x＋． 综上所述，直线l的方程为x＝1或y＝－x＋． 一、选择题 1．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r>0)的外部，则直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是(　　) A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 答案　C 解析　由已知，得a2＋b2>r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d<r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交． 2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，－1] B．[－1，3] C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．[－3，1] 答案　D 解析　将直线的方程与圆的方程联立，得消去y，得2x2＋(2－2a)x＋a2－1＝0．因为直线与圆有公共点，所以Δ≥0，解得－3≤a≤1．故选D． 3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 答案　B 解析　如图所示，设圆的圆心为M，则M(3，4)，半径r＝5．当过点P的直线过圆心M时，对应的弦AC是最长的，此时|AC|＝2r＝10；过点P的直线与MP垂直时，对应的弦BD最短，此时在Rt△MPD中，|MD|＝r＝5，|MP|＝1，故|BD|＝2＝4．所以四边形ABCD的面积为S＝|AC||BD|＝20． 4．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　C 解析　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径为2，所以圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为＝<2，结合图形知满足条件的点有3个． 5．[多选]如图，A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W．则下列结论正确的是(　　) A．曲线W与x轴围成的面积等于2π B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点) C．所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1 D．过点(，1)的的切线方程为x＋y＝＋1 答案　BCD 解析　曲线W与x轴围成的图形由以(0，1)为圆心，1为半径的半圆，加上以(1，0)为圆心，1为半径的圆，加上以(－1，0)为圆心，1为半径的圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为π＋π＋2＝2＋π≠2π，故A错误；曲线W上有(－2，0)，(－1，1)，(0，2)，(1，1)，(2，0)共5个整点，故B正确；是以(0，1)为圆心，1为半径的圆上一段圆弧，其所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；易知过点(，1)的的切线的斜率存在．设过点(，1)的的切线方程为y＝k(x－)＋1(k<0)，由直线和圆相切的条件可得＝1，解得k＝－1(k＝1舍去)，则其切线方程为y＝－(x－)＋1，即x＋y＝＋1，故D正确．故选BCD． 二、填空题 6．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则直线l的斜率为________． 答案　± 解析　由题意知直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx，代入圆的方程化简得(1＋k2)x2－6x＋5＝0，Δ＝36－20(1＋k2)＝0，解得k＝±． 7．已知直线x＋y＋＝0与圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0相交于A，B两点，则∠ACB＝________． 答案　60° 解析　圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0的圆心为C(－1，1)，半径r＝2．圆心C到直线x＋y＋＝0的距离d＝＝，∴|AB|＝2＝2，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°． 8．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1，2)，则过点A且与圆O相切的直线方程为________，切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________． 答案　x＋2y－5＝0　 解析　由题意可直接求出切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0，切线在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求三角形的面积为××5＝． 三、解答题 9．已知两平行直线4x－2y＋7＝0与2x－y＋1＝0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x－2y＋m＝0(m>0)的距离的一半． (1)求m的值； (2)判断直线l与圆C：x2＋(y－2)2＝的位置关系． 解　(1)2x－y＋1＝0可化为4x－2y＋2＝0， 则两平行直线4x－2y＋7＝0与2x－y＋1＝0之间的距离为＝， 则点O到直线l：x－2y＋m＝0(m>0)的距离为＝，∴m＝5． (2)圆C：x2＋(y－2)2＝的圆心为C(0，2)，半径r＝， ∵点C到直线l的距离为＝， ∴直线l与圆C相切． 10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)． (1)求证：直线l过定点A(3，1)，且与圆C相交； (2)求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程． 解　(1)证明：将点A(3，1)代入直线l的方程，得左边＝3(2m＋1)＋(m＋1)＝7m＋4＝右边，所以直线l过定点A(3，1)． 因为|AC|＝＝＜5，所以点A在圆C内，所以对任意的实数m，直线l与圆C恒相交． (2)由平面几何知识可得，直线l与直径AC垂直时被圆C截得的弦长最短，因为kAC＝＝－，所以此时直线l的斜率为kl＝2，所以直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$