1.2.2 圆的一般方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 2．2　圆的一般方程 知识点一　圆的一般方程 1．若圆的方程是x2＋y2－2x＋10y＋23＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(－1，5)， B．(1，－5)， C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3 答案　B 解析　解法一(化为标准方程)：(x－1)2＋(y＋5)2＝3． 解法二(利用一般方程)：为圆心，半径r＝，易得－＝1，－＝－5，r＝． 2．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C． D．(－2，0) 答案　A 解析　当a2＋4a2－4>0时，该方程表示圆，故－a＋1>0，解得a<1．故选A． 3．已知直线l：x－2y－1＝0经过圆C：x2＋y2＋Dx－2y－3＝0的圆心，则D＝(　　) A．－6 B．－2 C．2 D．6 答案　A 解析　因为圆C：x2＋y2＋Dx－2y－3＝0的圆心为，直线l：x－2y－1＝0经过圆心，所以有－－2×1－1＝0⇒D＝－6，此时圆的方程为x2＋y2－6x－2y－3＝0，(－6)2＋(－2)2＋12＝52>0，符合题意．故选A． 4．若过点(1，2)的直线平分圆x2＋y2＋4x＋3＝0，则该直线的方程是(　　) A．3x－2y＋4＝0 B．x＝1 C．2x－3y＋4＝0 D．y＝2 答案　C 解析　由于直线平分圆，把圆的方程化为标准方程得圆心(－2，0)，则直线过圆心(－2，0)．又直线过点(1，2)，由两点式得直线的方程为2x－3y＋4＝0． 5．当圆x2＋y2＋2x＋2ky＋2k2＝0的面积最大时，圆心坐标是(　　) A．(0，－1) B．(－1，0) C．(1，－1) D．(－1，1) 答案　B 解析　将圆x2＋y2＋2x＋2ky＋2k2＝0化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋k)2＝1－k2，∴该圆的圆心C(－1，－k)，半径r＝，当且仅当k＝0时，半径r取得最大值1，此时圆心坐标为(－1，0)． 知识点二　求圆的一般方程 6．过A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点的圆的一般方程是(　　) A．x2＋y2＋8x＋6y＝0 B．x2＋y2－8x－6y＝0 C．x2＋y2＋8x－6y＝0 D．x2＋y2－8x＋6y＝0 答案　D 解析　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，所以解得于是所求圆的一般方程是x2＋y2－8x＋6y＝0． 7．过原点且与x轴、y轴的交点分别为A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)的圆的方程为(　　) A．x2＋y2＋ax＋by＝0 B．x2＋y2－ax－by＝0 C．x2＋y2＋ax－by＝0 D．x2＋y2－ax＋by＝0 答案　B 解析　因为圆过O(0，0)，A(a，0)，B(0，b)三点，所以将三点坐标代入圆的一般方程求解即可．本题也可以采用验证法． 8．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且到直线3x＋4y＋4＝0的距离为2，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0 答案　D 解析　设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0．故D正确． 9．[多选]已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，则圆的方程为(　　) A．x2＋y2－4x－8y－20＝0 B．x2＋y2－2x－12＝0 C．x2＋y2－10x－8y＋4＝0 D．x2＋y2＋x＋3y－18＝0 答案　BC 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆与y轴的交点为A(0，m)，B(0，n)，令x＝0，则y2＋Ey＋F＝0，所以m，n是这个方程的根，且m＋n＝－E，mn＝F，所以|AB|2＝(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝E2－4F＝(4)2，故E2－4F＝48　①．又点P(4，－2)，Q(－1，3)在这个圆上，所以16＋4＋4D－2E＋F＝0，且1＋9－D＋3E＋F＝0，即4D－2E＋F＋20＝0　②，－D＋3E＋F＋10＝0　③．解①②③得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4．因此圆的方程是x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0．故选BC． 10．已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，y1)，D(0，y2)，且x1＋x2＋y1＋y2＝－2，求圆的一般方程． 解　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)， 将两点的坐标代入圆的一般方程， 得 因为x1，x2是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，所以x1＋x2＝－D． 因为y1，y2是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，所以y1＋y2＝－E． 由已知，得－D＋(－E)＝－2， 即D＋E－2＝0．　③ 联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20． 所以所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0． 一、选择题 1．方程x2＋y2－2x＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，2) C． D．(－∞，1] 答案　A 解析　由圆的一般方程可知(－2)2－4m＞0，∴m＜1． 2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A．－2或2 B．或 C．2或0 D．－2或0 答案　C 解析　将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心(1，2)到直线的距离d＝＝，解得a＝0或a＝2． 3．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，则a<0，b>0．直线x＋ay＋b＝0化为y＝－x－，则斜率k＝－>0，在y轴上的截距－>0，所以直线x＋ay＋b＝0一定不经过第四象限． 4．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程是(　　) A．(x＋3)2＋(y－2)2＝ B．(x－3)2＋(y＋2)2＝ C．(x＋3)2＋(y－2)2＝2 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝2 答案　C 解析　已知圆的圆心为(1，0)，半径为，圆心关于直线2x－y＋3＝0对称的点为(－3，2)，此点即为对称圆的圆心，两圆的半径相等．故选C． 5．[多选]已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则满足条件的m的值可能为(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 答案　BCD 解析　把x2＋y2－6x－8y＋24＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝1，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m．根据题意，画出示意图，如图所示，连接OP，因为∠APB＝90°，则|OP|＝|AB|＝m．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6．|OP|min＝|OC|－r＝4，即m的最小值为4．所以m的取值范围为[4，6]．故选BCD． 二、填空题 6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋2y－5＝0，则圆C的圆心坐标为________，圆的半径为________． 答案　(－1，－)　3 解析　将圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋)2＝9，故圆C的圆心坐标为(－1，－)，半径为3． 7．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，点P关于直线2x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________． 答案　－10 解析　由题意知圆心应在直线2x＋y－1＝0上，代入解得a＝－10，符合D2＋E2－4F>0的条件． 8．已知圆：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为________． 答案　2 解析　将原点坐标(0，0)代入圆的方程，得2m2－6m＋4＝0，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2．当m＝1时，原方程为x2＋y2＝0，不表示圆，故舍去；当m＝2时，原方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，表示圆．故所求的实数m的值为2． 三、解答题 9．试判断A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)四点是否在同一个圆上． 解　解法一：线段AB，BC的斜率分别是kAB＝1，kBC＝－1，得kAB≠kBC，则A，B，C三点不共线，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 因为A，B，C三点在圆上， 所以解得 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－8x＋4y－5＝0，将点D的坐标(4，3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D在圆上，故A，B，C，D四点在同一个圆上． 解法二：因为kAB·kBC＝×＝－1， 所以AB⊥BC， 所以AC是过A，B，C三点的圆的直径， |AC|＝＝10， 线段AC的中点M即为圆心M(4，－2)． 因为|DM|＝＝5＝|AC|， 所以点D在圆M上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上． 10．已知△ABC的三个顶点分别为A(1，3)，B(4，2)，C(3，－1)． (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)求△ABC外接圆的方程． 解　(1)因为kBC＝＝3，设BC边上的高所在直线的斜率为k，则kBC·k＝－1⇒k＝－， 因为点A(1，3)在高线上， 所以y－3＝－(x－1)，即x＋3y－10＝0． (2)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则解得 故△ABC外接圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$