1.2.1 圆的标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程 知识点一　圆的标准方程 1．已知一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心坐标与半径分别为(　　) A．(1，0)，4 B．(－1，0)，2 C．(0，1)，4 D．(0，－1)，2 答案　D 解析　由圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，知圆心坐标为(0，－1)，半径为2．故选D． 2．方程(x－1)＝0所表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．一个圆和两条射线 C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆 答案　B 解析　(x－1)＝0可化为或x2＋y2＝3，因此该方程表示一个圆和两条射线． 知识点二　点与圆的位置关系 3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C． D． 答案　A 解析　因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1<a<1．故选A． 4．若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，5) C．(0，5) D．[0，5] 答案　C 解析　由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，∴0<m<5．故选C． 知识点三　求圆的标准方程 5．若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________． 答案　x2＋(y－1)2＝1 解析　由点(1，0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0，1)，得所求圆的圆心为(0，1)，又圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1． 6．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的标准方程为________． 答案　(x＋2)2＋＝ 解析　不妨设直线3x－4y＋12＝0与x轴和y轴的交点分别为A，B，令y＝0，得x＝－4，即A(－4，0)，再令x＝0，得y＝3，即B(0，3)，从而线段AB的中点为，且为所求圆的圆心，又因为|AB|＝＝5，所以所求圆的半径为，从而以线段AB为直径的圆的标准方程为(x＋2)2＋＝． 7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，求圆C的标准方程． 解　设圆心C的坐标为(a，0)(a>0)， 由题意知，＝， 解得a＝2，∴C(2，0)， 则圆C的半径为r＝|CM|＝＝3． ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9． 8．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且经过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程． 解　解法一：设点C为圆心， ∵点C在直线x－2y－3＝0上， ∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)． ∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|， 即 ＝， 解得a＝－2， ∴圆心坐标为(－1，－2)，半径为r＝． 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10． 解法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题设条件知 解得 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10． 解法三：∵线段AB的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB的斜率kAB＝＝， ∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2， ∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x， 即y＝－2x－4． 又圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点， 由得 ∴圆心坐标为(－1，－2)， ∴圆的半径为r＝＝， 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知四点A(0，1)，B(0，3)，C(3，0)，D(1，4)，这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的标准方程；如果不是，请说明理由． 解　设经过A，C，D三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 所以 解得a＝2，b＝2，r2＝5． 所以经过A，C，D三点的圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5． 由于(0－2)2＋(3－2)2＝5，故点B也在这个圆上， 因此A(0，1)，B(0，3)，C(3，0)，D(1，4)四点都在圆(x－2)2＋(y－2)2＝5上． 一、选择题 1．点(sin30°，cos30°)与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定 答案　C 解析　∵sin230°＋cos230°＝1>，∴点(sin30°，cos30°)在圆外． 2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 答案　A 解析　圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆心C(2，－1)，故圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1． 3．一辆卡车宽1．6 m，要经过一个半径为3．6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　) A．1．4 m B．3．5 m C．3．6 m D．2．0 m 答案　B 解析　如图所示为隧道与卡车的横截面，以半圆的直径为x轴，圆心为原点建立平面直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝3．62(y≥0)，点A的坐标为(0．8，h)．设M(0．8，t)在半圆上，则t＝≈3．5，∴h≤t≈3．5(m)． 4．方程|x－1|＝表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆 答案　A 解析　方程|x－1|＝两边平方得|x－1|2＝[]2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，所以方程表示的曲线为一个圆．故选A． 5．[多选]以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20 C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20 答案　AD 解析　令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝2，即直线与两坐标轴的交点为A(0，4)和B(2，0)．以点A为圆心，过点B的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20；以点B为圆心，过点A的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20．故选AD． 二、填空题 6．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________． 答案　(x－2)2＋y2＝10 解析　设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2， 则解得所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10． 7．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为________． 答案　＋1 解析　的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1，1)的距离，因此最大值为圆心(0，0)到点(1，1)的距离加上半径，即＋1． 8．过A(1，0)，B(2，1)两点，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是________． 答案　(x－1)2＋(y－1)2＝1 解析　线段AB的中点为，A，B所在直线的斜率为1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－，化简得y＝－x＋2，与x－y＝0联立，解得圆心坐标为(1，1)，半径r＝＝1，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1． 三、解答题 9．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在的直线上． (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程． 解　(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0， 且AD与AB垂直，所以AD边所在直线的斜率为－3． 又点T(－1，1)在AD边所在的直线上， 所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0． (2)由 解得点A的坐标为(0，－2)， 因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2，0)， 所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心， 又半径r＝|AM|＝＝2， 所以矩形ABCD外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝8． 10．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求a的值； (2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围． 解　(1)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2， 又a>0，可得a＝． (2)由两点间距离公式可得 |PN|＝＝， |QN|＝＝3． 因为线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点， 所以P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外， 又3<，所以3<a<， 即a的取值范围是(3，)． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$