1.1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 1．3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 知识点一　直线方程的点斜式 1．经过点(－3，2)且倾斜角为60°的直线方程是(　　) A．y＋2＝(x－3) B．y－2＝(x＋3) C．y－2＝(x＋3) D．y＋2＝(x－3) 答案　C 解析　直线的斜率k＝tan60°＝，由点斜式可得直线的方程为y－2＝(x＋3)．故选C． 2．已知直线的方程是y＋4＝2x－6，则(　　) A．直线经过点(－3，4)，且斜率为2 B．直线经过点(4，－3)，且斜率为2 C．直线经过点(3，－4)，且斜率为2 D．直线经过点(－4，3)，且斜率为－2 答案　C 解析　直线方程y＋4＝2x－6可化为y－(－4)＝2(x－3)，故直线经过点(3，－4)，且斜率为2． 3．已知直线l：y＝ax－a＋，求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限． 证明　直线l的方程y＝ax－a＋可化为y－＝a，∴直线l过定点． ∵点在第一象限， ∴不论a为何值，直线l总经过第一象限． 知识点二　直线方程的斜截式 4．经过点A(－1，4)且在y轴上的截距为3的直线方程是(　　) A．y＝－x－3 B．y＝x＋3 C．y＝－x＋3 D．y＝x－3 答案　C 解析　在y轴上的截距为3的直线方程可以设为y＝kx＋3．将点A(－1，4)代入方程，得4＝－k＋3，解得k＝－1，即所求直线方程为y＝－x＋3． 5．在同一平面直角坐标系中，表示l1：y＝ax＋b与l2：y＝bx－a的直线可能正确的是(　　) 答案　C 解析　对于A，由图可知直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而直线l2的斜率b<0，矛盾，故A错误；对于B，由图可知直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而直线l2的斜率b<0，矛盾，故B错误；对于C，由图可知直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，而直线l2的斜率b>0，在y轴上的截距－a>0，即a<0，故C正确；对于D，由图可知直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，而直线l2的斜率b>0，矛盾，故D错误．故选C． 6．[多选]下列叙述中正确的是(　　) A．直线方程的点斜式y－y1＝k(x－x1)适用于过点(x1，y1)且不垂直于x轴的任何直线 B．＝k表示过点P(x1，y1)且斜率为k的直线方程 C．直线方程的斜截式y＝kx＋b适用于不垂直于x轴的任何直线 D．直线y＝kx＋b与y轴交于点B(0，b)，其中截距b＝|OB| 答案　AC 解析　对于A，直线方程的点斜式y－y1＝k(x－x1)适用于过点(x1，y1)且不垂直于x轴的任何直线，所以A正确；对于B，显然P(x1，y1)不满足方程，所以B不正确；对于C，直线方程的斜截式y＝kx＋b适用于不垂直于x轴的任何直线，所以C正确；对于D，直线y＝kx＋b与y轴交于点B(0，b)，其中截距是b，其值可正、可负、可为零，所以D不正确．故选AC． 7．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则b的取值范围是________． 答案　[－2，2] 解析　b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值，所以b的取值范围是[－2，2]． 8．求斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6的直线l的方程． 解　设直线l的方程为y＝x＋b，易求与x，y轴的交点分别为A，B(0，b)， ∴··|b|＝6， ∴b＝±3， ∴直线l的方程为y＝x±3． 一、选择题 1．过点(－1，2)且斜率为2的直线方程的点斜式是(　　) A．y－2＝2(x－1) B．y＋2＝2(x－1) C．y－2＝2(x＋1) D．y＋2＝2(x＋1) 答案　C 解析　因为直线过点(－1，2)且斜率为2，所以该直线方程的点斜式为y－2＝2(x＋1)．故选C． 2．直线l的方程为y＋2＝2(x－1)，则(　　) A．直线l过点(2，－2)，且斜率为 B．直线l过点(－2，2)，且斜率为 C．直线l过点(1，－2)，且斜率为2 D．直线l过点(－1，2)，且斜率为2 答案　C 解析　∵直线l的方程为y＋2＝2(x－1)，∴直线的斜率为2，且经过定点(1，－2)．故选C． 3．在y轴上的截距为－1，且斜率是直线x－y－＝0的斜率的2倍的直线方程是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝－2x－1 D．y＝2x－1 答案　D 解析　由x－y－＝0得y＝x－，其斜率为，所以所求直线的斜率为2，其方程为y＝2x－1．故选D． 4．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m的值为(　　) A．1 B．2 C．－ D．－或2 答案　D 解析　由题意知直线过点(1，0)，所以2m2＋m－3＝4m－1，则m＝－或m＝2． 5．[多选]已知过定点(4，5)的直线m的一个法向量是d＝(2，－3t)，t∈N＋，则直线m的方程可以为(　　) A．y＝x＋9 B．y＝x－1 C．y＝x＋ D．y＝x＋ 答案　CD 解析　∵直线m的一个法向量是d＝(2，－3t)，∴直线的一个方向向量为(3t，2)，又t∈N＋，∴直线的斜率为，又直线过点(4，5)，∴直线的方程为y－5＝(x－4)，即y＝x－＋5．当t＝2时，直线方程为y＝x＋；当t＝1时，直线方程为y＝x＋．故选CD． 二、填空题 6．若直线y＝(3－2t)x－6不经过第一象限，则t的取值范围为________． 答案　 解析　由题意可得3－2t≤0，解得t≥． 7．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必经过的定点坐标为________． 答案　(3，2) 解析　因为y＝ax－3a＋2可化为y－2＝a(x－3)，所以直线必经过定点(3，2)． 8．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________． 答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析　令y＝0，则x＝－2k．令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2．由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k≥1或k≤－1．故实数k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 三、解答题 9．直线l1过点P(－1，)，斜率为，把l1绕点P按逆时针方向旋转60°角得到直线l2，求直线l1和l2的方程． 解　直线l1的方程是y－＝(x＋1)， 即y＝x＋2． ∵k1＝＝tanα1，∴α1＝60°． 如图，l1绕点P按逆时针方向旋转60°，得到直线l2，则l2的倾斜角α2＝60°＋60°＝120°，∴k2＝tan120°＝－， ∴直线l2的方程为y－＝－(x＋1)，即y＝－x． 10．直线l的方程为y＝ax＋， (1)证明：直线l恒经过第一象限； (2)若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围． 解　(1)证明：直线l：y＝ax＋， 可化为y－＝a， 所以直线l过定点P， 又点P在第一象限， 故直线l恒经过第一象限． (2)因为直线l过点P且点P在第一象限， 故只需l在y轴上的截距大于0即可， 即>0，得a<3． 故a的取值范围是(－∞，3)． 5 学科网（北京）股份有限公司 $$