1.1.1-1.1.2 一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角、斜率及其关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §1　直线与直线的方程 1．1　一次函数的图象与直线的方程 1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系 知识点一　直线的倾斜角 1．给出下列说法： ①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝，则α＝45°． 其中正确说法的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　任意一条直线有唯一的倾斜角，故①正确；直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，故②错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故③错误；④中α＝0°时，sinα＝0，故④错误；⑤中α有可能为135°，故⑤错误．故选A． 知识点二　直线的斜率 2．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k3<k2 B．k3<k1<k2 C．k1<k2<k3 D．k3<k2<k1 答案　A 解析　令直线l1，l2，l3的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，由图象可得0°<θ3<θ2<90°<θ1<180°，所以tanθ1<0<tanθ3<tanθ2，即k1<0<k3<k2，所以k1<k3<k2． 3．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为________． 答案　(2，0)或(0，－8) 解析　设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4，∴x＝2或y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8)． 4．已知点A(2，4)，B(3，2)，P(x，y)是线段AB上的点．试求的最值． 解　＝表示点P(x，y)与坐标原点O连线的斜率，当点P在线段AB上变化时，直线OP的斜率k＝也随之变化，由图可知，当点P在点B时斜率最小，当点P在点A时斜率最大，因为kOB＝，kOA＝＝2，所以≤≤2，因此的最大值为2，最小值为． 知识点三　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 5．若直线过点(1，3)，(4，3＋)，则此直线的倾斜角是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　直线过点(1，3)，(4，3＋)，则直线的斜率k＝＝，所以此直线的倾斜角是．故选A． 6．过A(0，y)，B(2，－3)两点的直线的倾斜角为60°，则y＝(　　) A．－9 B．－3 C．5 D．6 答案　A 解析　k＝tan60°＝＝，解得y＝－9． 7．在四边形ABCD中，已知A(2，3)，B(5，3)，C(6，6)，且kAB＝kCD，kBC＝kAD，则点D的坐标为________． 答案　(3，6) 解析　设D(x，y)，∵kAB＝kCD，kBC＝kAD，∴∴∴D(3，6)． 8．若直线l的一个方向向量为v＝(3m，－m)，m≠0，则直线l的斜率为________，倾斜角为________． 答案　－　150° 解析　设直线l的倾斜角为θ，k＝tanθ＝－＝－，则θ＝150°． 知识点四　三点共线问题 9．下列各选项中，三点共线的是(　　) A．P(－2，3)，Q(3，－2)，R B．P(－2，3)，Q(3，－3)，R C．P(0，0)，Q(1，1)，R(1，－1) D．P(1，1)，Q(2，－1)，R(3，2) 答案　A 解析　对于A，kPQ＝＝－1，kQR＝＝－1，故三点共线；对于B，kPQ＝＝－，kQR＝＝－1，故三点不共线；对于C，kPQ＝1，直线QR的斜率不存在，故三点不共线；对于D，kPQ＝＝－2，kQR＝＝3，故三点不共线． 10．若三点(0，1)，(m，－1)，(2，n)在斜率为－3的直线上，则m＝________，n＝________． 答案　　－5 解析　已知三点(0，1)，(m，－1)，(2，n)在斜率为－3的直线上，根据斜率公式k＝知，－3＝，－3＝，解得m＝，n＝－5． 11．已知M(，0)，B，A(a，)三点共线，则a＝________． 答案　2 解析　易知直线MB的斜率kMB存在，又A，B，M三点共线，所以直线MA的斜率kMA存在，且kMA＝kMB，即＝，解得a＝2． 一、选择题 1．已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是(　　) A．0°≤β＜180° B．15°＜β＜180° C．15°≤β＜180° D．15°≤β＜195° 答案　D 解析　因为直线l的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°＜180°，即15°≤β＜195°． 2．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　B 解析　设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b＋2)，于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1．故选B． 3．若直线l的斜率为k，且二次函数y＝x2－2kx＋1的图象与x轴没有交点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．{α|0°<α<90°} B．{α|135°<α<180°} C．{α|0°≤α<45°}∪{α|135°<α<180°} D．{α|0°≤α<180°} 答案　C 解析　由二次函数y＝x2－2kx＋1的图象与x轴没有交点，得(－2k)2－4＜0，解得－1<k<1，所以直线l的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<45°}∪{α|135°<α<180°}．故选C． 4．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k满足(　　) A．k≥或k≤－4 B．k≥或k≤－ C．－4≤k≤ D．≤k≤4 答案　A 解析　如图所示，过点P作直线PC⊥x轴交线段AB于点C，作出直线PA，PB．①直线l与线段AB的交点在线段AC(除去点C)上时，直线l的倾斜角为钝角，斜率的范围是k≤kPA．②直线l与线段AB的交点在线段BC(除去点C)上时，直线l的倾斜角为锐角，斜率的范围是k≥kPB．因为kPA＝＝－4，kPB＝＝，所以直线l的斜率k满足k≥或k≤－4． 5．[多选]已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1)，则下列说法正确的是(　　) A．当m∈(－∞，－5)∪(1，＋∞)时，直线MN的倾斜角为锐角 B．当m∈(－5，1)时，直线MN的倾斜角为钝角 C．当m＝1时，直线MN的倾斜角为直角 D．当m＝－5时，直线MN的倾斜角为零 答案　AB 解析　当倾斜角为锐角时，斜率kMN＝>0，则m<－5或m>1；当倾斜角为钝角时，斜率kMN＝<0，则－5<m<1；当倾斜角为直角时，两点横坐标相等，即2m＋3＝m－2，解得m＝－5；当倾斜角为零时，两点纵坐标相等，即m＝1．故选AB． 二、填空题 6．若v＝(－3，)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角的大小为________． 答案　 解析　设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＝－，又θ∈[0，π)，所以θ＝． 7．若A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则＋＝________． 答案　－ 解析　由题意得＝，ab＋2(a＋b)＝0，＋＝－． 8．若经过点P(1－a，1)和Q(2a，3)的直线的斜率不存在，则实数a＝____________；若经过点P(1－a，1)和Q(2a，3)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 答案　　 解析　若经过点P(1－a，1)和Q(2a，3)的直线的斜率不存在，则1－a＝2a，故a＝．若直线PQ的倾斜角为钝角，则直线PQ的斜率k＝＝<0，解得a<． 三、解答题 9．已知点A(1，2)，在坐标轴上有一点P，使得直线PA的倾斜角为60°，求点P的坐标． 解　①当点P在x轴上时，设点P(a，0)． ∵A(1，2)，∴kPA＝＝． 又直线PA的倾斜角为60°， ∴＝，解得a＝1－， ∴点P的坐标为． ②当点P在y轴上时，设点P(0，b)． 同理可得b＝2－， ∴点P的坐标为(0，2－)． 综上，点P的坐标为或(0，2－)． 10．已知点M(x，y)在函数y＝－x＋3的图象上，当1≤x≤3且x≠2时，求的取值范围． 解　的几何意义是过M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率． 因为点M在函数y＝－x＋3的图象上，且1≤x≤3， 所以可设该线段为AB，其中A，B． 由于kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是∪． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$