5.2.2 排列数公式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第五章　计数原理 §2　排列问题 2.2　排列数公式 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 5 答案 解析 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 6 知识点二　无限制条件的排列问题 4．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36 B．120 C．720 D．240 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 7 5．某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有________种． 答案 解析 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 8 6．某公司有5艘远洋货轮，现在要派遣3艘执行运输任务，若派遣的先后有次序之分，共有________种不同的派遣方法． 答案 解析 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 9 知识点三　有限制条件的排列问题 7．6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有(　　) A．720种 B．360种 C．240种 D．120种 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 10 8．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不相邻，则不同排法的种数是(　　) A．1800 B．3600 C．4320 D．5040 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 11 9．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　) A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 10．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么这6项工程的不同排法种数是________． 答案 解析 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 13 知识点四　数字问题 11．用0，1，2，3，4这五个数字： (1)可以组成多少个五位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的五位数？ (3)可以组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？ (4)可以组成多少个无重复数字的五位奇数？ (5)在没有重复数字的五位数中，比42130小的数有几个？按从小到大排列，则第61个数是多少？ (6)可以组成多少个无重复数字且奇数在奇数位上的五位数？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 14 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 15 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 16 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 17 30分钟综合练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 2．一排6个座位坐了2个三口之家，若同一家人座位相邻，则不同的坐法种数为(　　) A．144 B．18 C．36 D．72 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 3．某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都有，则不同的选派方案共有(　　) A．210种 B．420种 C．630种 D．840种 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 4．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　) A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 二、填空题 6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 答案 解析 96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 7．在某场视频会议中，甲、乙、丙、丁四位专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家的不同发言顺序共有________种． 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 8．现有2名学生代表、2名教师代表和3名家长代表合影，则同类代表互不相邻的排法共有________种． 答案 解析 912 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 28 10．有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法数． (1)选5人排成一排； (2)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边； (3)男生顺序已定，女生顺序不定； (4)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置； (5)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻； (6)7名同学坐圆桌吃饭． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 29 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 30 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 31 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　排列数计算问题 1．5Aeq \o\al(3,5)＋4Aeq \o\al(2,4)＝(　　) A．107 B．323 C．320 D．348 解析　5Aeq \o\al(3,5)＋4Aeq \o\al(2,4)＝5×5×4×3＋4×4×3＝348．故选D． 2．若M＝Aeq \o\al(1,1)＋Aeq \o\al(2,2)＋Aeq \o\al(3,3)＋…＋Aeq \o\al(2024,2024)，则M的个位数字是(　　) A．3 B．8 C．0 D．5 解析　∵当n≥5时，Aeq \o\al(n,n)＝1×2×3×4×5×6×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时，Aeq \o\al(n,n)的个位数字为0．又Aeq \o\al(1,1)＋Aeq \o\al(2,2)＋Aeq \o\al(3,3)＋Aeq \o\al(4,4)＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字是3． 3．已知Aeq \o\al(2,n)＝7Aeq \o\al(2,n－4)，则n＝________． 解析　原方程可化为n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，解得n＝7eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝\f(10,3)∉N＋，舍去))． 解析　由于6人排两排，没有特殊要求的元素，故不同的排法种数为Aeq \o\al(6,6)＝720． 解析　由题意可知，不同的报名方法数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数，所以不同的报名方法有Aeq \o\al(4,5)＝120种． 解析　依题意，不同的派遣方法有Aeq \o\al(3,5)＝5×4×3＝60种． 解析　将甲、乙两人视为一人，则有Aeq \o\al(5,5)种排法，再将甲、乙两人排序，则共有Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(5,5)＝240种排法． 解析　先排4个音乐节目和1个曲艺节目有Aeq \o\al(5,5)种方法，这5个节目之间以及两端共有6个空位，从中选两个放入舞蹈节目，共有Aeq \o\al(2,6)种方法．所以两个舞蹈节目不相邻的排法共有Aeq \o\al(5,5)Aeq \o\al(2,6)＝3600种． 解析　因为丙必须排在最后一位，所以只需考虑其余五个节目在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有Aeq \o\al(4,4)＝24种排法；当甲排在第二位时，有Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(3,3)＝18种排法．所以编排方案共有24＋18＝42种．故选B． 解析　解法一：依题意知，只需将剩余2项工程插入由甲、乙、丙、丁这4项工程形成的5个空中(插1个或2个)，可得有Aeq \o\al(2,5)＋Aeq \o\al(1,5)Aeq \o\al(2,2)＝30种不同排法． 解法二：符合题中要求的排法种数占全排列种数的4,4)eq \f(1,A) ，故有6,6)eq \f(A,Aeq \o\al(4,4)) ＝30种不同排法，即安排这6项工程的不同排法种数是30． 解　(1)各数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理可知，可以组成4×5×5×5×5＝2500个五位数． (2)解法一：考虑特殊位置“万位”，从1，2，3，4中任选一个填入万位，有Aeq \o\al(1,4)种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上排列，有Aeq \o\al(4,4)种排法，故共有Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(4,4)＝96个符合条件的五位数． 解法二：考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有Aeq \o\al(1,4)种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上排列，有Aeq \o\al(4,4)种排法，故共有Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(4,4)＝96个符合条件的五位数． (3)构成3的倍数的三位数，各数位上数字之和是3的倍数，将0，1，2，3，4按除以3的余数分成3类，按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有Aeq \o\al(1,2)种填法，再填其余位有Aeq \o\al(2,2)种排法，故有2Aeq \o\al(1,2)Aeq \o\al(2,2)个；不取0，则必取3，从1和4中任取一数，再取2，然后进行排列，故有2Aeq \o\al(3,3)种排法．所以共有2Aeq \o\al(1,2)Aeq \o\al(2,2)＋2Aeq \o\al(3,3)＝8＋12＝20个符合条件的三位数． (4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1，3中选一个填入个位，有Aeq \o\al(1,2)种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有Aeq \o\al(1,3)种填法，最后将包含0在内的剩余3个数在中间三个位置上排列，有Aeq \o\al(3,3)种填法，故共有Aeq \o\al(1,2)Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(3,3)＝36个符合条件的五位数． (5)按分类加法计数原理，当万位数字为1，2，3时均可以，共有Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(4,4)个数；当万位数字为4，千位数字为0，1时均满足，共有Aeq \o\al(1,2)Aeq \o\al(3,3)个数；当万位数字为4，千位数字为2，百位数字为0，1时，除了42130均满足，共有(Aeq \o\al(1,2)Aeq \o\al(2,2)－1)个数．所以比42130小的数有Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(4,4)＋Aeq \o\al(1,2)Aeq \o\al(3,3)＋Aeq \o\al(1,2)Aeq \o\al(2,2)－1＝87个．万位是1，2的各有Aeq \o\al(4,4)个，万位是3，千位是0，1的各有Aeq \o\al(3,3)个，所以共有2Aeq \o\al(4,4)＋2Aeq \o\al(3,3)＝60个，故第61个数为32014． (6)运用排除法，先将1，3在奇数位上排列，有Aeq \o\al(2,3)种排法，再将其余3个偶数在剩余3个位置上排列，有Aeq \o\al(3,3)种排法，而其中1，3在个位和百位上，0在万位上的排法不符合题意，有Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(2,2)种排法．所以符合条件的五位数共有Aeq \o\al(2,3)Aeq \o\al(3,3)－Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(2,2)＝32个． 一、选择题 1．已知Aeq \o\al(2,n)＝132，则n＝(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析　Aeq \o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)． 解析　由题可知，同一家人座位相邻，将6个座位分成两组，每组3个座位，同一家人相邻的不同坐法种数为2Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(3,3)＝72． 解析　从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教，则有Aeq \o\al(3,9)种选派方案，3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有Aeq \o\al(3,5)＋Aeq \o\al(3,4)种，故符合条件的选派方案有Aeq \o\al(3,9)－(Aeq \o\al(3,5)＋Aeq \o\al(3,4))＝420种． 解析　因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看作一个元素，连同乙、戊看成三个元素排列，有Aeq \o\al(3,3)种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插入方式；注意到丙、丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有Aeq \o\al(3,3)×2×2＝24种不同的排列方式．故选B． 5．[多选]由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的是(　　) A．(Aeq \o\al(1,9))2Aeq \o\al(3,8) B．Aeq \o\al(4,9)＋(Aeq \o\al(1,8))2Aeq \o\al(3,8) C．Aeq \o\al(5,10)－2Aeq \o\al(4,9)＋Aeq \o\al(3,8) D．Aeq \o\al(4,9)＋Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(3,8)＋Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(4,8) 解析　0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则求这样的五位数的个数可以用以下方法：(特殊位置优先法)①若1在第一位，共有Aeq \o\al(4,9)种；②若1不在第一位，则第一位有Aeq \o\al(1,8)种，再排个位，不能为1，有Aeq \o\al(1,8)种，剩下的有Aeq \o\al(3,8)种，故共有Aeq \o\al(4,9)＋Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(3,8)种．(排除法)从这十个数字中任意选五个无重复的数字全排列，共有Aeq \o\al(5,10)种排法，减去1在个位或0在第一位的2Aeq \o\al(4,9)种排法，加上0在第一位且1在个位的Aeq \o\al(3,8)种排法，共有Aeq \o\al(5,10)－2Aeq \o\al(4,9)＋Aeq \o\al(3,8)种．(特殊元素优先法)若有1，①若1在第一位，共有Aeq \o\al(4,9)种；②若1在第二、第三、第四位，共有Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(3,8)种．若没有1，第一位有Aeq \o\al(1,8)种，剩下的有Aeq \o\al(4,8)种，共有Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(4,8)种，故共有Aeq \o\al(4,9)＋Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(3,8)＋Aeq \o\al(1,8)Aeq \o\al(4,8)种．故选BCD． 解析　5张参观券全部分给4人，同一人分到的2张参观券连号，共有1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×Aeq \o\al(4,4)＝96种 分法． 解析　当甲排在第一位时，有Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(2,2)＝4种发言顺序；当甲排在第二位时，有Aeq \o\al(2,2)＝2种发言顺序，所以共有4＋2＝6种不同的发言顺序． 解析　由题意，设AA表示两名学生位置，BB表示两名教师位置，CCC表示三名家长位置，第1步，先排学生有Aeq \o\al(2,2)种排法；第2步，再排两名教师，有①ABAB与BABA，②AABB与BBAA，③ABBA与BAAB三种情况，对于①，教师有2Aeq \o\al(2,2)种排法，然后再将三名家长排入五个空中，共有Aeq \o\al(3,5)种排法；对于②，教师有2Aeq \o\al(2,2)种排法，然后A与A之间和B与B之间的两个空各选一名家长排入，剩余一名家长排在剩余三个空中的一个，有Aeq \o\al(2,3)Aeq \o\al(1,3)种排法；对于③，教师有2Aeq \o\al(2,2)种排法，然后选一名家长排在最中间一个空中，再将剩余两名家长排在剩余的四个空中，有3Aeq \o\al(2,4)种排法．综上，共有Aeq \o\al(2,2)×2Aeq \o\al(2,2)×(Aeq \o\al(3,5)＋Aeq \o\al(2,3)Aeq \o\al(1,3)＋3Aeq \o\al(2,4))＝912种排法． 三、解答题 9．求证：Aeq \o\al(m,n)＋mAeq \o\al(m－1,n)＝Aeq \o\al(m,n＋1)(m，n为大于1的自然数)． 证明　Aeq \o\al(m,n)＋mAeq \o\al(m－1,n)＝n(n－1)…(n－m＋1)＋mn(n－1)·…·(n－m＋1＋1) ＝n(n－1)…(n－m＋2)[(n－m＋1)＋m] ＝(n＋1)n(n－1)…(n＋1－m＋1) ＝Aeq \o\al(m,n＋1)． 解　(1)从7人中选5人排列，排法共有Aeq \o\al(5,7)＝2520种． (2)解法一：分两类：第1类，甲在最右边，有Aeq \o\al(6,6)种排法；第2类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩下的5个位置中任选一个，有5种选法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选一个，有5种选法，其余人排列，有Aeq \o\al(5,5)种排法．故排法共有Aeq \o\al(6,6)＋5×5×Aeq \o\al(5,5)＝3720种． 解法二：7名学生排列，有Aeq \o\al(7,7)种排法，其中甲在最左边时，有Aeq \o\al(6,6)种排法，乙在最右边时，有Aeq \o\al(6,6)种排法，甲在最左边、乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有Aeq \o\al(5,5)种排法，故排法共有Aeq \o\al(7,7)－2Aeq \o\al(6,6)＋Aeq \o\al(5,5)＝3720种． (3)7名学生站成一排，有Aeq \o\al(7,7)种排法，其中3名男生的排法有Aeq \o\al(3,3)种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，故排法共有7,7)eq \f(A,Aeq \o\al(3,3)) ＝840种． (4)把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的排列，故排法共有Aeq \o\al(6,6)＝720种． (5)先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有Aeq \o\al(4,4)种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有Aeq \o\al(2,2)种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有Aeq \o\al(2,5)种排法．故排法共有Aeq \o\al(4,4)Aeq \o\al(2,2)Aeq \o\al(2,5)＝960种． (6)7名同学坐圆桌吃饭，排法共有eq \f(1,7)Aeq \o\al(7,7)＝720种． $$