1.2.3 直线与圆的位置关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第一章　直线与圆 §2　圆与圆的方程 2.3　直线与圆的位置关系 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　直线与圆位置关系的判断 1．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判定 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 4 2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 解析　将直线方程ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点 (－2，0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 5 3．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 6 知识点二　圆的切线问题 4．[多选]与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程可能为(　　) A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x＋y－4＝0 D．x－y－4＝0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 7 5．已知圆x2＋y2＝25，求： (1)过点A(4，－3)的切线方程； (2)过点B(－5，2)的切线方程． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 8 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 9 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 10 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 12 9．直线l与圆M：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为_______________． 解析　由圆的一般方程可得圆心M(－1，2)．由圆的性质易知M，C两点的连线与弦AB垂直，故有kAB·kMC＝－1⇒kAB＝1，故直线l的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0． 答案 解析 x－y＋5＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 13 10．已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 14 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 15 30分钟综合练 一、选择题 1．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r>0)的外部，则直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是(　　) A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 解析　由已知，得a2＋b2>r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d<r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 (　　) A．[－3，－1] B．[－1，3] C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．[－3，1] 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 二、填空题 6．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则直线l的斜率为________． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 答案 解析 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 8．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1，2)，则过点A且与圆O相切的直线方程为_______________，切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________． 答案 解析 x＋2y－5＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 28 10．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)． (1)求证：直线l过定点A(3，1)，且与圆C相交； (2)求直线l被圆C截得的弦长最短时的方程． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 29 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 30 　　　　　　　　　　　　　 R 解析　由圆的方程可得圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，所以圆心到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝eq \f(|6＋12－13|,5)＝1＝r，则直线与圆相切．故选B． 解　圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4， 故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝eq \f(6,\r(m2＋1))，圆的半径r＝2． (1)若相交，则d<r，即eq \f(6,\r(m2＋1))<2， 所以m∈(－∞，－2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)． (2)若相切，则d＝r，即eq \f(6,\r(m2＋1))＝2，所以m＝±2eq \r(2)． (3)若相离，则d>r，即eq \f(6,\r(m2＋1))>2，所以m∈(－2eq \r(2)，2eq \r(2))． 解析　圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种情况讨论：①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则eq \f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq \r(2)，解得k＝±1，故A，B正确；②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则eq \f(|2－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝4(a＝0舍去)，故C正确，D错误．故选ABC． 解　(1)∵点A(4，－3)在圆x2＋y2＝25上， 圆心为O(0，0)，半径为r＝5，∴kOA＝－eq \f(3,4)， ∵切线过点A(4，－3)， ∴切线的斜率k＝－eq \f(1,kOA)＝eq \f(4,3)， ∴过点A的切线方程为4x－3y－25＝0． (2)∵点B(－5，2)不在圆x2＋y2＝25上， 当过点B(－5，2)的切线斜率存在时， 设所求切线方程为y－2＝k(x＋5)，即kx－y＋5k＋2＝0． 由eq \f(|5k＋2|,\r(k2＋1))＝5，得k＝eq \f(21,20)． ∴此时切线方程为21x－20y＋145＝0． 当过点B(－5，2)的切线斜率不存在时， 结合图形可知，直线x＝－5也是切线． 综上所述，所求切线方程为21x－20y＋145＝0或x＝－5． 知识点三　圆的弦及弦长问题 6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为(　　) A．eq \r(3) B．2 C．eq \r(6) D．2eq \r(3) 解析　过原点且倾斜角为60°的直线方程为y＝eq \r(3)x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0，2)到直线的距离d＝eq \f(|\r(3)×0－2|,\r(（\r(3)）2＋（－1）2))＝1，由垂径定理知所求弦长为l＝2eq \r(22－12)＝2eq \r(3)．故选D． 7．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq \r(2)，则实数a的值为(　　) A．－1或eq \r(3) B．1或3 C．－2或6 D．0或4 解析　圆的半径r＝2，圆心(a，0)到直线x－y－2＝0的距离d＝eq \f(|a－2|,\r(2))，由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－2|,\r(2)))) eq \s\up12(2)＋(eq \r(2))2＝22，得a＝0或a＝4．故选D． 8．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2eq \r(3)，则直线的斜率为(　　) A．eq \r(3) B．±eq \r(3) C．eq \f(\r(3),3) D．±eq \f(\r(3),3) 解析　因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2eq \r(3)，所以圆心C(2，3)到直线的距离为d＝eq \r(4－（\r(3)）2)＝1，所以eq \f(|2k－3＋3|,\r(k2＋1))＝eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq \f(\r(3),3)．故选D． 解　(1)由题意设圆心为C(a，0)(a>0)， 由题意，得eq \r(（a－1）2＋（0－1）2)＝eq \f(|a－4|,\r(2))， 解得a＝－6(舍去)或a＝2， 所以圆C的半径为r＝eq \f(|2－4|,\r(2))＝eq \r(2)， 则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2． (2)若直线l的斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为eq \r(2)，则|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线方程为y－3＝k(x－1)， 即kx－y－k＋3＝0． 由弦心距d＝eq \f(|k＋3|,\r(1＋k2))， 得|AB|＝2eq \r(2－\f(（k＋3）2,1＋k2))＝2， 解得k＝－eq \f(4,3)，直线方程为y＝－eq \f(4,3)x＋eq \f(13,3)． 综上所述，直线l的方程为x＝1或y＝－eq \f(4,3)x＋eq \f(13,3)． 解析　将直线的方程与圆的方程联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,（x－a）2＋y2＝2，))消去y，得2x2＋(2－2a)x＋a2－1＝0．因为直线与圆有公共点，所以Δ≥0，解得－3≤a≤1．故选D． 3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　) A．10eq \r(6) B．20eq \r(6) C．30eq \r(6) D．40eq \r(6) 解析　如图所示，设圆的圆心为M，则M(3，4)，半径r＝5．当过点P的直线过圆心M时，对应的弦AC是最长的，此时|AC|＝2r＝10；过点P的直线与MP垂直时，对应的弦BD最短，此时在Rt△MPD中，|MD|＝r＝5，|MP|＝1，故|BD|＝2eq \r(|MD|2－|MP|2)＝4eq \r(6)．所以四边形ABCD的面积为S＝eq \f(1,2)|AC||BD|＝20eq \r(6)． 4．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)的点共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径为2eq \r(2)，所以圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为eq \f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq \r(2)<2eq \r(2)，结合图形知满足条件的点有3个． 5．[多选]如图，A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，eq \o(CD,\s\up18(︵))是以OD为直径的圆上一段圆弧，eq \o(CB,\s\up18(︵))是以BC为直径的圆上一段圆弧，eq \o(BA,\s\up18(︵))是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W．则下列结论正确的是(　　) A．曲线W与x轴围成的面积等于2π B．曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点) C．eq \o(CB,\s\up18(︵))所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1 D．过点(eq \r(2)，1)的eq \o(CB,\s\up18(︵))的切线方程为x＋y＝eq \r(2)＋1 解析　曲线W与x轴围成的图形由以(0，1)为圆心，1为半径的半圆，加上以(1，0)为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆，加上以(－1，0)为圆心，1为半径的eq \f(1,4)圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为eq \f(1,2)π＋eq \f(1,2)π＋2＝2＋π≠2π，故A错误；曲线W上有(－2，0)，(－1，1)，(0，2)，(1，1)，(2，0)共5个整点，故B正确；eq \o(CB,\s\up18(︵))是以(0，1)为圆心，1为半径的圆上一段圆弧，其所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故C正确；易知过点(eq \r(2)，1)的eq \o(CB,\s\up18(︵))的切线的斜率存在．设过点(eq \r(2)，1)的eq \o(CB,\s\up18(︵))的切线方程为y＝k(x－eq \r(2))＋1(k<0)， 由直线和圆相切的条件可得eq \f(|－\r(2)k＋1－1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－1(k＝1舍去)，则其切线方程为y＝－(x－eq \r(2))＋1，即x＋y＝eq \r(2)＋1，故D正确．故选BCD． 解析　由题意知直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx，代入圆的方程化简得(1＋k2)x2－6x＋5＝0，Δ＝36－20(1＋k2)＝0，解得k＝±eq \f(2\r(5),5)． ±eq \f(2\r(5),5) 7．已知直线x＋y＋eq \r(6)＝0与圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0相交于A，B两点，则∠ACB＝________． 解析　圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0的圆心为C(－1，1)，半径r＝2．圆心C到直线x＋y＋eq \r(6)＝0的距离d＝eq \f(|－1＋1＋\r(6)|,\r(2))＝eq \r(3)，∴|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°． 解析　由题意可直接求出切线方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0，切线在两坐标轴上的截距分别是5和eq \f(5,2)，所以所求三角形的面积为eq \f(1,2)×eq \f(5,2)×5＝eq \f(25,4)． eq \f(25,4) 三、解答题 9．已知两平行直线4x－2y＋7＝0与2x－y＋1＝0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x－2y＋m＝0(m>0)的距离的一半． (1)求m的值； (2)判断直线l与圆C：x2＋(y－2)2＝eq \f(1,5)的位置关系． 解　(1)2x－y＋1＝0可化为4x－2y＋2＝0， 则两平行直线4x－2y＋7＝0与2x－y＋1＝0之间的距离为eq \f(|7－2|,\r(42＋（－2）2))＝eq \f(\r(5),2)， 则点O到直线l：x－2y＋m＝0(m>0)的距离为eq \f(|m|,\r(5))＝eq \r(5)，∴m＝5． (2)圆C：x2＋(y－2)2＝eq \f(1,5)的圆心为C(0，2)，半径r＝eq \f(\r(5),5)， ∵点C到直线l的距离为eq \f(|0－4＋5|,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)， ∴直线l与圆C相切． 解　(1)证明：将点A(3，1)代入直线l的方程，得左边＝3(2m＋1)＋(m＋1)＝7m＋4＝右边，所以直线l过定点A(3，1)． 因为|AC|＝eq \r(（1－3）2＋（2－1）2)＝eq \r(5)＜5，所以点A在圆C内，所以对任意的实数m，直线l与圆C恒相交． (2)由平面几何知识可得，直线l与直径AC垂直时被圆C截得的弦长最短，因为kAC＝eq \f(2－1,1－3)＝－eq \f(1,2)，所以此时直线l的斜率为kl＝2，所以直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0． $$