1.2.1 圆的标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第一章　直线与圆 §2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 5 解析　因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1<a<1．故选A． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 6 4．若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是 (　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，5) C．(0，5) D．[0，5] 解析　由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，∴0<m<5．故选C． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 7 知识点三　求圆的标准方程 5．若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为_____________________． 解析　由点(1，0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0，1)，得所求圆的圆心为(0，1)，又圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1． 答案 解析 x2＋(y－1)2＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 8 6．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的标准方程为__________________________． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 9 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 8．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且经过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 11 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 12 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 13 9．在平面直角坐标系xOy中，已知四点A(0，1)，B(0，3)，C(3，0)，D(1，4)，这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的标准方程；如果不是，请说明 理由． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 14 30分钟综合练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 解析　圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆心C(2，－1)，故圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 3．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半径为3.6 m的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　) A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 5．[多选]以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20 C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20 解析　令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝2，即直线与两坐标轴的交点为A(0，4)和B(2，0)．以点A为圆心，过点B的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20；以点B为圆心，过点A的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20．故选AD． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 二、填空题 6．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为________________． 答案 解析 (x－2)2＋y2＝10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 8．过A(1，0)，B(2，1)两点，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是_________________________． 答案 解析 (x－1)2＋(y－1)2＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 三、解答题 9．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在的直线上． (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程． 解　 (1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0， 且AD与AB垂直，所以AD边所在直线的斜率为－3． 又点T(－1，1)在AD边所在的直线上， 所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 10．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求a的值； (2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　圆的标准方程 1．已知一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心坐标与半径分别为(　　) A．(1，0)，4 B．(－1，0)，2eq \r(2) C．(0，1)，4 D．(0，－1)，2eq \r(2) 解析　由圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，知圆心坐标为(0，－1)，半径为2eq \r(2)．故选D． 2．方程(x－1)eq \r(x2＋y2－3)＝0所表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．一个圆和两条射线 C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆 解析　(x－1)eq \r(x2＋y2－3)＝0可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x2＋y2≥3))或x2＋y2＝3，因此该方程表示一个圆和两条射线． 知识点二　点与圆的位置关系 3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，1)) 解析　不妨设直线3x－4y＋12＝0与x轴和y轴的交点分别为A，B，令y＝0，得x＝－4，即A(－4，0)，再令x＝0，得y＝3，即B(0，3)，从而线段AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,2)))，且为所求圆的圆心，又因为|AB|＝eq \r(（－4－0）2＋（0－3）2)＝5，所以所求圆的半径为eq \f(5,2)，从而以线段AB为直径的圆的标准方程为(x＋2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2))) eq \s\up22(2)＝eq \f(25,4)． (x＋2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2))) eq \s\up22(2)＝eq \f(25,4) 7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，求圆C的标准方程． 解　设圆心C的坐标为(a，0)(a>0)， 由题意知，eq \f(|2a|,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)， 解得a＝2，∴C(2，0)， 则圆C的半径为r＝|CM|＝eq \r(22＋（－\r(5)）2)＝3． ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9． 解　解法一：设点C为圆心， ∵点C在直线x－2y－3＝0上， ∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)． ∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|， 即eq \r(（2a＋3－2）2＋（a＋3）2) ＝eq \r(（2a＋3＋2）2＋（a＋5）2)， 解得a＝－2， ∴圆心坐标为(－1，－2)，半径为r＝eq \r(10)． 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10． 解法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题设条件知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2＋（－3－b）2＝r2，,（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，,a－2b－3＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，)) 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10． 解法三：∵线段AB的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB的斜率kAB＝eq \f(－3－（－5）,2－（－2）)＝eq \f(1,2)， ∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2， ∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x， 即y＝－2x－4． 又圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x－4，,x－2y－3＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，)) ∴圆心坐标为(－1，－2)， ∴圆的半径为r＝eq \r(（－1－2）2＋（－2＋3）2)＝eq \r(10)， 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10． 解　设经过A，C，D三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（0－a）2＋（1－b）2＝r2，,（3－a）2＋（0－b）2＝r2，,（1－a）2＋（4－b）2＝r2，)) 解得a＝2，b＝2，r2＝5． 所以经过A，C，D三点的圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5． 由于(0－2)2＋(3－2)2＝5，故点B也在这个圆上， 因此A(0，1)，B(0，3)，C(3，0)，D(1，4)四点都在圆(x－2)2＋(y－2)2＝5上． 一、选择题 1．点(sin30°，cos30°)与圆x2＋y2＝eq \f(1,2)的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定 解析　∵sin230°＋cos230°＝1>eq \f(1,2)，∴点(sin30°，cos30°)在圆外． 解析　如图所示为隧道与卡车的横截面，以半圆的直径为x轴，圆心为原点建立平面直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝3．62(y≥0)，点A的坐标为(0．8，h)．设M(0．8，t)在半圆上，则t＝eq \r(3.62－0.82)≈3．5，∴h≤t≈3．5(m)． 4．方程|x－1|＝eq \r(1－（y＋1）2)表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆 解析　方程|x－1|＝eq \r(1－（y＋1）2)两边平方得|x－1|2＝[eq \r(1－（y＋1）2)]2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，所以方程表示的曲线为一个圆．故选A． 解析　设圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（5－a）2＋1＝r2，,（1－a）2＋9＝r2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,r2＝10，))所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10． 7．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)的最大值为________． 解析　eq \r(（x－1）2＋（y－1）2)的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1，1)的距离，因此最大值为圆心(0，0)到点(1，1)的距离加上半径，即eq \r(2)＋1． eq \r(2)＋1 解析　线段AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，A，B所在直线的斜率为1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，化简得y＝－x＋2，与x－y＝0联立，解得圆心坐标为(1，1)，半径r＝eq \r(0＋1)＝1，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1． (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y－6＝0，,3x＋y＋2＝0，)) 解得点A的坐标为(0，－2)， 因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2，0)， 所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心， 又半径r＝|AM|＝eq \r(（2－0）2＋（0＋2）2)＝2eq \r(2)， 所以矩形ABCD外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝8． 解　(1)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2， 又a>0，可得a＝eq \r(10)． (2)由两点间距离公式可得 |PN|＝eq \r(（3－5）2＋（3－6）2)＝eq \r(13)， |QN|＝eq \r(（5－5）2＋（3－6）2)＝3． 因为线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点， 所以P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外， 又3<eq \r(13)，所以3<a<eq \r(13)， 即a的取值范围是(3，eq \r(13))． $$