1.1.3 第2课时 直线方程的两点式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

第一章　直线与圆 §1　直线与直线的方程 1.3　直线的方程 第2课时　直线方程的两点式 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 4 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 5 2．已知A(3，0)，B(0，2)，C(2，6)，则△ABC的BC边上的中线所在直线的方程为(　　) A．y＝－2x－6 B．y＝－2x＋6 C．y＝2x－6 D．y＝2x－1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 7 4．一束光线经过点A(－1，2)由x轴反射后，经过点B(2，1)射出，则反射光线所在直线的方程是________． 答案 解析 y＝x－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 8 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 9 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 11 8．过点(1，3)作直线l，若l经过点(a，0)和(0，b)，且a，b∈N＋，则可作出这样的直线l的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．多于3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 12 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 13 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 14 30分钟综合练 解析　因为直线经过第一、二、三象限，所以结合图形可知a＜0，b＞0． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 3．过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程是(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0 C．x＋y－5＝0 D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 4．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 解析　两直线的斜率异号，故选ACD． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 二、填空题 6．已知直线l经过点A(－4，－2)，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为__________________． 答案 解析 x＋2y＋8＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 7．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为___________________． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 8．过点P(3，2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________，此时直线l在两坐标轴上的截距之和为________． 答案 解析 12 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 三、解答题 9．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)． 求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式； (2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　直线方程的两点式 1．[多选]有关直线方程，下列说法正确的是(　　) A．直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程 B．直线方程eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)也可写成eq \f(y－y2,y1－y2)＝eq \f(x－x2,x1－x2) C．过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1) D．过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)表示 解析　A正确，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程；B正确，方程eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)与eq \f(y－y2,y1－y2)＝eq \f(x－x2,x1－x2)的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线；C显然正确；由A知，D错误．故选ABC． 解析　设BC的中点为D(x，y)，则x＝eq \f(0＋2,2)＝1，y＝eq \f(2＋6,2)＝4，所以D(1，4)，所以BC边上的中线所在直线的方程为eq \f(y－0,4－0)＝eq \f(x－3,1－3)，即y＝－2x＋6．故选B． 3．已知直线方程的两点式为eq \f(y－0,－3－0)＝eq \f(x－（－5）,3－（－5）)，则直线的斜率为(　　) A．－eq \f(3,8) B．eq \f(3,8) C．－eq \f(3,2) D．eq \f(3,2) 解析　由直线方程的两点式eq \f(y－0,－3－0)＝eq \f(x－（－5）,3－（－5）)，知直线过点(－5，0)，(3，－3)，所以直线的斜率为eq \f(0－（－3）,（－5）－3)＝－eq \f(3,8)． 解析　首先求点A(－1，2)关于x轴对称的点A′(－1，－2)，所以反射光线经过B(2，1)和A′(－1，－2)两点，故直线方程为eq \f(y－1,－2－1)＝eq \f(x－2,－1－2)，即y＝x－1． 知识点二　直线方程的截距式 5．在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为(　　) A．eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝1 B．eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝1 C．eq \f(y,3)－eq \f(x,2)＝1 D．eq \f(x,2)＋eq \f(y,3)＝0 解析　根据直线方程的截距式eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(其中a，b分别为直线在x轴和y轴上的截距)，得所求直线方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,－3)＝1，即eq \f(x,2)－eq \f(y,3)＝1．故选A． 6．已知直线eq \f(2x,7)＋eq \f(y,7)＝－1在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则a，b的值分别为(　　) A．eq \f(2,7)，eq \f(1,7) B．－eq \f(2,7)，－eq \f(1,7) C．eq \f(7,2)，7 D．－eq \f(7,2)，－7 解析　将eq \f(2x,7)＋eq \f(y,7)＝－1化为eq \f(x,－\f(7,2))＋eq \f(y,－7)＝1，可知a＝－eq \f(7,2)，b＝－7． 7．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程是(　　) A．eq \f(x,6)＋eq \f(y,12)＝1 B．eq \f(x,6)＋eq \f(y,12)＝1或y＝eq \f(2,5)x C．x－eq \f(y,2)＝1 D．x－eq \f(y,2)＝1或y＝eq \f(2,5)x 解析　当直线过原点时满足题意，直线方程为y＝eq \f(2,5)x；当直线不过原点时，可设其截距式为eq \f(x,a)＋eq \f(y,2a)＝1，由该直线过点(5，2)，解得a＝6，直线方程为eq \f(x,6)＋eq \f(y,12)＝1．故选B． 解析　∵l经过点(a，0)和(0，b)，且a，b∈N＋，∴可设l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，又l过点(1，3)，∴eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1，整理，得eq \f(3,b)＝eq \f(a－1,a)，当a＝1，b∈N＋时，等式显然不成立；当a≥2且a∈N＋时，b＝eq \f(3a,a－1)＝eq \f(3（a－1）＋3,a－1)＝3＋eq \f(3,a－1)，∵b∈N＋，∴a－1＝1或a－1＝3，解得a＝2或a＝4，∴满足题意的直线l的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)＝1或eq \f(x,4)＋eq \f(y,4)＝1，∴满足题意的直线l有2条． 9．已知线段BC的中点为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))．若线段BC所在的直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC所在直线的方程． 解　由已知得直线BC的斜率存在且不为0． 设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b． 则直线BC方程的截距式为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1． 由题意得a＋b＝9，① 又点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))在直线BC上，∴eq \f(3,a)＋eq \f(3,2b)＝1， ∴6b＋3a＝2ab，② 由①②联立得2a2－21a＋54＝0， 即(2a－9)(a－6)＝0， 解得a＝eq \f(9,2)或a＝6． ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,2)，,b＝\f(9,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝3.)) 故BC所在直线的方程为eq \f(2x,9)＋eq \f(2y,9)＝1或eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1． 一、选择题 1．若直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1经过第一、二、三象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 2．一条光线从点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))处射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2) D．y＝－eq \f(1,2)x－eq \f(1,2) 解析　由光的反射定律可得，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))关于y轴的对称点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在直线的方程为eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－\f(1,2),0－\f(1,2))，即y＝－2x＋1． 解析　若直线l过原点，则方程为y＝eq \f(3,2)x，即3x－2y＝0；若直线l不过原点，则设直线方程为eq \f(x,a)－eq \f(y,a)＝1，将(2，3)代入方程，得a＝－1，故直线l的方程为x－y＋1＝0．所以直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0．故选B． 解析　设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，eq \f(1,2)|ab|＝2，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2\r(2)－2，,b＝2\r(2)－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)－2，,b＝－2\r(2)－2.))∴满足条件的直线有3条． 5．[多选]两直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝1与eq \f(x,n)＋eq \f(y,m)＝1的图象可能是图中的(　　) 解析　设直线l与两坐标轴的交点的坐标为(a，0)，(0，b)，由题意知eq \f(a＋0,2)＝－4，eq \f(b＋0,2)＝－2，∴a＝－8，b＝－4．∴直线l的方程为eq \f(x,－8)＋eq \f(y,－4)＝1，即x＋2y＋8＝0． 解析　点A(1，－2)，B(5，6)的中点M的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y＝eq \f(2,3)x；当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，把中点M的坐标(3，2)代入直线方程，得a＝5，故所求的直线方程是eq \f(x,5)＋eq \f(y,5)＝1．综上，所求的直线方程为y＝eq \f(2,3)x或eq \f(x,5)＋eq \f(y,5)＝1． y＝eq \f(2,3)x或eq \f(x,5)＋eq \f(y,5)＝1 解析　设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，把点P(3，2)代入，得eq \f(3,a)＋eq \f(2,b)＝1，∴1≥2eq \r(\f(3,a)×\f(2,b))，得ab≥24，当且仅当a＝6，b＝4时取等号，∴S△AOB＝eq \f(1,2)ab≥12，即△AOB面积的最小值为12，此时a＋b＝6＋4＝10． 解　(1)平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线． 因为线段AB，AC的中点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))， 所以这条直线的方程为eq \f(y＋2,1＋2)＝eq \f(x＋\f(1,2),\f(7,2)＋\f(1,2))，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式为eq \f(x,\f(13,6))＋eq \f(y,－\f(13,8))＝1． (2)因为BC的中点坐标为(2，3)， 所以BC边的中线所在直线的方程为eq \f(y＋4,3＋4)＝eq \f(x－1,2－1)， 即7x－y－11＝0，化为截距式为eq \f(x,\f(11,7))＋eq \f(y,－11)＝1． 10．已知直线l：eq \f(x,m)＋eq \f(y,3－m)＝1． (1)若直线l的斜率等于4，求实数m的值； (2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点A，B，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程． 解　(1)直线l过点(m，0)，(0，3－m)， 则k＝eq \f(3－m,－m)＝4，则m＝－1． (2)由m＞0，3－m＞0，得0＜m＜3， 则S△AOB＝eq \f(m（3－m）,2)＝－eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(3,2))) eq \s\up22(2)＋eq \f(9,8)， 易知当m＝eq \f(3,2)时，S△AOB有最大值eq \f(9,8)， 此时直线l的方程为y＝－x＋eq \f(3,2)． $$