2.2.3 第1课时 两条直线的相交、平行与重合-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 2.2　直线及其方程 2.2.3　两条直线的位置关系 第1课时　两条直线的相交、平行与 重合 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 4 2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 5 3．[多选]下列说法正确的是(　　) A．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 B．若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等或都不存在 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 6 解析　若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以A不正确；若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等或都不存在，所以B正确；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，所以C正确；若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行或重合，所以D不正确．故选BC． 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 7 4．经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程为____________． 答案 解析 2x－y＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 8 5．已知直线px＋10y＝2与3x＋(q－1)y＝－1重合，则p＝________，q＝________． 答案 解析 －6 －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 9 6．已知直线l1：mx＋3y＋m＋3＝0，直线l2：x＋(m－2)y＋2＝0，求：当m为何值时，直线l1与l2分别有如下位置关系：相交、平行、重合． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 7．直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 11 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 12 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 13 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 14 30分钟综合练 答案 解析 一、选择题 1．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是(　　) A．－24 B．6 C．±6 D．以上都不对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 2．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 解析　平行于直线4x＋3y－3＝0的直线具有形式4x＋3y＋C＝0，故排除A，D．但选项C中直线在x轴、y轴上的截距均为正，直线过第一象限，不符合条件．故选B． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 3．直线ax－2y－1＝0与直线2y－3x＋b＝0平行，则直线y＝ax＋b与直线y＝3x＋1的位置关系是(　　) A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交 解析　因为直线ax－2y－1＝0和直线2y－3x＋b＝0平行，所以a＝3，b≠1，故直线y＝ax＋b即y＝3x＋b(b≠1)，与直线y＝3x＋1平行．故选B． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 4．[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(　　) A．l1的斜率为2，l2过点A(1，2)，B(4，8)，且l1不经过点A B．l1经过点C(3，3)，D(－5，3)，l2平行于x轴，但不经过点C C．l1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0，5) D．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6) 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 5．已知两点A(1，3)，B(4，2)，直线l：kx＋y－3k－1＝0与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 二、填空题 6．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0平行，则实数a＝________． 解析　由直线l1与l2平行，得2×3－a(a－1)＝0，且a×1－2×(－1)≠0，解得a＝3． 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 7．过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于直线l3：x＋2y－5＝0的直线的方程为__________________． 答案 解析 8x＋16y＋21＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 8．不论m取何值，直线(2＋m)x－(1＋2m)y＋(1＋5m)＝0恒过定点________． 答案 解析 (1，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 三、解答题 9．已知在平行四边形ABCD中，A(1，1)，B(7，1)，D(4，6)，M是边AB的中点，CM与BD交于点P． (1)求直线CM的方程； (2)求点P的坐标． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 10．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0． (1)若直线l1，l2，l3交于一点，求实数m的值； (2)若直线l1，l2，l3不能围成三角形，求实数m的值． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 28 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　两条直线的相交、平行与重合 1．(2023·广东东莞中学校考期末)已知过A(1，a)，B(－a，－4)两点的直线与直线y＝2x＋1平行，则a＝(　　) A．－7 B．－3 C．－2 D．2 解析　因为过A(1，a)，B(－a，－4)两点的直线与直线y＝2x＋1平行，所以直线AB的斜率为kAB＝eq \f(a＋4,1＋a)＝2，解得a＝2．故选D． 解析　过点(1，0)且斜率为eq \f(1,2)的直线方程为y＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0．故选A． 解析　解法一：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))∴直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)．又直线l经过原点，∴直线l的方程为eq \f(y－0,－2－0)＝eq \f(x－0,－1－0)，即2x－y＝0． 解法二：设直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，∵直线l过原点(0，0)，∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线l的方程为2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0，即2x－y＝0． 解析　因为直线px＋10y＝2与3x＋(q－1)y＝－1重合，所以有eq \f(p,3)＝eq \f(10,q－1)＝eq \f(2,－1)⇒p＝－6，q＝－4． 解　当m＝2时，l1：2x＋3y＋5＝0，l2：x＋2＝0，l1与l2相交； 当m≠2时，两直线的斜截式方程为l1：y＝－eq \f(m,3)x－eq \f(m＋3,3)，l2：y＝－eq \f(1,m－2)x－eq \f(2,m－2)． ①当－eq \f(m,3)≠－eq \f(1,m－2)，即m≠3，m≠－1且m≠2时，两直线相交； ②当－eq \f(m,3)＝－eq \f(1,m－2)，且－eq \f(m＋3,3)≠－eq \f(2,m－2)，即m＝－1时，两直线平行； ③当－eq \f(m,3)＝－eq \f(1,m－2)，且－eq \f(m＋3,3)＝－eq \f(2,m－2)，即m＝3时，两直线重合． 综上，当m≠3，m≠－1时，两直线相交； 当m＝－1时，两直线平行；当m＝3时，两直线重合． 解　由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋4y－2m－1＝0，,2x＋3y－m＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2m＋3,7)，,y＝\f(m－2,7).)) ∴两条直线的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m＋3,7)，\f(m－2,7)))． ∵交点在第四象限，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2m＋3,7)>0，,\f(m－2,7)<0，))解得－eq \f(3,2)<m<2． 故m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))． 知识点二　过定点的直线系 8．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　直线(a－3)x＋2ay＋6＝0可化为a(x＋2y)－3x＋6＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,－3x＋6＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))因为点(2，－1)在第四象限，所以直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第四象限．故选D． 9．(2023·江苏无锡第一中学校考期末)已知直线l1：y＝kx＋3k＋2，直线l2：y＝eq \f(1,k2)x＋eq \f(3,k2)＋2，其中k>1，若直线l1，l2与两坐标轴围成一个凸四边形，求此四边形面积的取值范围． 解　直线l1：k(x＋3)＋(2－y)＝0过定点P(－3，2)，与x轴、y轴的交点分别为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3k－2,k)，0))，B(0，3k＋2)， 直线l2：eq \f(1,k2)(x＋3)＋(2－y)＝0过定点P(－3，2)，与x轴、y轴的交点分别为C(－3－2k2，0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,k2)＋2))． 当k>1时，A在C的右侧，B在D的上方，直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形是四边形OAPD，如图所示， S△OAP＝eq \f(1,2)|AO|·|yP|＝eq \f(1,2)×eq \f(3k＋2,k)×2＝eq \f(2,k)＋3， S△ODP＝eq \f(1,2)|OD|·|xP|＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k2)＋2))×3＝eq \f(9,2k2)＋3， 则四边形OAPD的面积为S＝S△OAP＋S△ODP＝eq \f(2,k)＋eq \f(9,2k2)＋6＝eq \f(9,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)＋\f(2,9))) eq \s\up12(2)＋eq \f(52,9)， 因为k>1，所以eq \f(1,k)∈(0，1)，则S∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(25,2)))． 综上，直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形面积的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(25,2)))． 解析　联立两条直线的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－k＝0，,x－ky＋12＝0，))解得x＝eq \f(k2－36,3＋2k)．∵两直线的交点在y轴上，∴eq \f(k2－36,3＋2k)＝0，∴k＝±6(经检验知符合题意)．故选C． 解析　由斜率公式，对于A，直线l2的斜率也为2，且l1与l2不重合，故l1∥l2；对于B，直线l1的斜率也为0，且l1与l2不重合，故l1∥l2；对于C，两条直线的斜率均为eq \f(1,2)，且l1与l2不重合，故l1∥l2；对于D，直线l1的斜率为tan135°＝－1，直线l2的斜率为eq \f(－6－（－1）,3－（－2）)＝－1，所以直线l1与l2平行或重合．故选ABC． 解析　如图所示，直线l：kx＋y－3k－1＝0即k(x－3)＋y－1＝0，恒过C(3，1)，而kAC＝eq \f(3－1,1－3)＝－1，kBC＝eq \f(1－2,3－4)＝1，因为直线l与线段AB相交，结合图形，得k的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．故选B． 解析　由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－5y－10＝0，,x＋y＋1＝0，))得交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，－\f(13,8)))．又直线l3的斜率为－eq \f(1,2)，所以所求直线的方程为y＋eq \f(13,8)＝－eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,8)))，即8x＋16y＋21＝0． 解析　原方程变形为(2x－y＋1)＋m(x－2y＋5)＝0， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1＝0，,x－2y＋5＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))∴无论m取何值，该直线恒过定点(1，3)． 解　(1)设点C的坐标为(x，y)． 因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， 所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－1,7－1)＝\f(y－6,x－4)，,\f(6－1,4－1)＝\f(y－1,x－7)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝6，))即C(10，6)． 又M是边AB的中点，所以M(4，1)， 所以直线CM的方程为eq \f(y－1,6－1)＝eq \f(x－4,10－4)， 即5x－6y－14＝0． (2)因为B(7，1)，D(4，6)， 所以直线BD的方程为eq \f(y－1,6－1)＝eq \f(x－7,4－7)， 即5x＋3y－38＝0． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－6y－14＝0，,5x＋3y－38＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝\f(8,3)，)) 即点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(8,3)))． 解　(1)因为直线l1，l2，l3交于一点，所以l1与l2不平行．所以m≠4， 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx＋y＝0，,4x＋y－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,4－m)，,y＝\f(4m,m－4)，)) 所以l1与l2的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,4－m)，\f(4m,m－4)))， 将该点代入直线l3的方程有2·eq \f(4,4－m)－3m·eq \f(4m,m－4)－4＝0， 整理得3m2＋m－2＝0，解得m＝eq \f(2,3)或－1． (2)因为l1，l2，l3不能围成三角形， ①当l1，l2，l3交于一点时， 由(1)知m＝eq \f(2,3)或－1． ②当l1∥l2时，4－m＝0，解得m＝4． ③当l1∥l3时，由题意得，－12m－2＝0，解得m＝－eq \f(1,6)． ④当l2∥l3时，由题意得，－3m2－2＝0，无解． 综上，实数m的值为－1，－eq \f(1,6)，eq \f(2,3)，4． $$