2.2.2 第2课时 直线的两点式方程、截距式方程与一般式方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 2.2　直线及其方程 2.2.2　直线的方程 第2课时　直线的两点式方程、截距式方程与一般式方程 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 5 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 7 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 8 6．已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)与两坐标轴都相交，则系数A，B，C满足的条件是(　　) A．A≠0 B．A≠0且B≠0 C．C≠0 D．B≠0 解析　因为直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)与两坐标轴都相交，所以直线与x轴不垂直且不平行，即直线的斜率存在且不等于0，所以A≠0且B≠0，故选B． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 9 7．如果AC<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 10 8．过点(2，－1)且一个法向量为(－3，1)的直线方程是(　　) A．x＋3y＋1＝0 B．x－3y－5＝0 C．3x－y－7＝0 D．3x－y－1＝0 解析　因为直线的一个法向量为(－3，1)，设直线方程为3x－y＋C＝0，将(2，－1)代入，得6＋1＋C＝0，即C＝－7，故所求直线方程为3x－y－7＝0． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 解析　直线方程可变形为y－1＝m(x＋2)，所以直线恒过定点(－2，1)． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 12 10．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)． (1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 13 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 14 30分钟综合练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 4．直线l：ax＋(1－a)y＋1＝0经过第一象限的充要条件是(　　) A．0<a<1 B．a<0或a>1 C．a>0 D．a<1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 5．[多选]直线l：mx－m2y＋3＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角且过点P的直线的方程可以是(　　) A．x－y－1＝0 B．3x－y－5＝0 C．x＋y－3＝0 D．x＋3y－5＝0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 二、填空题 6．已知直线方程为5x＋4y－20＝0，则此直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 答案 解析 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 7．过点(－1，2)，且以直线2x－3y－7＝0的一个法向量为方向向量的直线的一般式方程是__________________． 答案 解析 3x＋2y－1＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 8．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点分别为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为______________． 解析　由平面几何知识知，若直线l平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过平行四边形对角线的交点，即过BD的中点(3，2)，又直线l过原点，由两点式，得直线l的方程为2x－3y＝0． 答案 解析 2x－3y＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 三、解答题 9．已知直线l经过点P(－5，－4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　直线的两点式方程、截距式方程 1．若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(91，b)在直线l上，则b的值为(　　) A．183 B．182 C．181 D．180 解析　因为直线l过点(－1，－1)和(2，5)，由直线的两点式方程，得直线l的方程为eq \f(y－（－1）,5－（－1）)＝eq \f(x－（－1）,2－（－1）)，即y＝2x＋1．由于点(91，b)在直线l上，所以b＝2×91＋1，解得b＝183．故选A． 2．一条光线从Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))处射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2) D．y＝－eq \f(1,2)x－eq \f(1,2) 解析　因为点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))关于y轴的对称点是Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，由题意知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))在反射光线所在的直线上．又因为点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，所以反射光线所在直线的方程为eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－\f(1,2),0－\f(1,2))，即y＝－2x＋1．故选B． 3．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程是(　　) A．eq \f(x,6)＋eq \f(y,12)＝1 B．eq \f(x,6)＋eq \f(y,12)＝1或y＝eq \f(2,5)x C．x－eq \f(y,2)＝1 D．x－eq \f(y,2)＝1或y＝eq \f(2,5)x 解析　当直线过原点时满足题意，所求方程为y＝eq \f(2,5)x；当直线不过原点时，可设其截距式为eq \f(x,a)＋eq \f(y,2a)＝1，由该直线过点(5，2)，解得a＝6，对应的方程为eq \f(x,6)＋eq \f(y,12)＝1．故选B． 4．已知线段BC的中点为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))．若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，则BC所在直线的方程为______________________． 解析　由已知得直线BC的斜率存在且不为0．设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则直线BC的截距式方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1．由题意得a＋b＝9　①，又点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))在直线BC上，∴eq \f(3,a)＋eq \f(3,2b)＝1，∴6b＋3a＝2ab　②，由①②联立得2a2－21a＋54＝0，即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝eq \f(9,2)或a＝6．∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,2)，,b＝\f(9,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝3.))故BC所在直线的方程为eq \f(2x,9)＋eq \f(2y,9)＝1或eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1． eq \f(2x,9)＋eq \f(2y,9)＝1或eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1 知识点二　直线的一般式方程 5．(2023·湖南湘潭高二统考期末)直线l：x＋eq \r(3)y＋2022＝0的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　因为直线l：x＋eq \r(3)y＋2022＝0，所以直线的斜率为k＝－eq \f(\r(3),3)，设直线的倾斜角为α，则tanα＝－eq \f(\r(3),3)，因为0°≤α<180°，所以α＝150°． 解析　∵直线的斜率k＝－eq \f(A,B)<0，纵截距b＝－eq \f(C,B)>0，∴直线不经过第三象限． 9．不论m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))) B．(－2，1) C．(2，－1) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))) 解　(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝eq \f(1,2)． 所以若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为{m|m≠－1}． (2)由(1)，易知当m＝eq \f(1,2)时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝eq \f(4,3)． (3)依题意，得eq \f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，解得m＝－eq \f(5,3)． (4)因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1， 所以－eq \f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，解得m＝eq \f(4,3)． 一、选择题 1．过(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A．eq \f(y－2,5－1)＝eq \f(x－1,3－1) B．eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1) C．eq \f(y－2,5－1)＝eq \f(x－3,5－3) D．eq \f(x－2,5－2)＝eq \f(y－3,2－3) 解析　因为所求直线过点(1，2)，(5，3)，所以直线方程为eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－1,5－1)．故选B． 2．若直线eq \f(x,a)－eq \f(y,b)＝1经过第一、二、三象限，则实数a，b满足(　　) A．a>0，b>0 B．a<0，b>0 C．a<0，b<0 D．a>0，b<0 解析　将直线eq \f(x,a)－eq \f(y,b)＝1化为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－b)＝1，又直线经过第一、二、三象限，所以它在x轴上的截距为负，在y轴上的截距为正，所以a<0，－b>0，所以a<0，b<0．故选C． 3．下列说法正确的是(　　) A．过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程都可以写成eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) B．直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为－1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 解析　当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)，故A错误；当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b．令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误．故选C． 解析　ax＋(1－a)y＋1＝0即a(x－y)＋y＋1＝0，令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))故ax＋(1－a)y＋1＝0过定点(－1，－1)，故若直线l经过第一象限，则直线l的斜率大于0，即－eq \f(a,1－a)>0，即a(a－1)>0，解得a<0或a>1．故选B． 解析　将点(2，1)代入直线方程有m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝3时，直线l的方程为x－3y＋1＝0，即y＝eq \f(1,3)x＋eq \f(1,3)，斜率为eq \f(1,3)，故所求直线的斜率k＝－eq \f(1,3)，方程为y－1＝－eq \f(1,3)(x－2)，即x＋3y－5＝0．当m＝－1时，直线l的方程为x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，斜率为－1，故所求直线的斜率为k＝1，方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0．故选AD． 解析　将方程5x＋4y－20＝0化为截距式为eq \f(x,4)＋eq \f(y,5)＝1，所以此直线在x轴、y轴上的截距分别为4，5． 解析　由题意可得所求直线的一个方向向量为(2，－3)，所以所求直线的斜率为 －eq \f(3,2)，所以所求直线的方程为y－2＝－eq \f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0． 解　由题意，设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(－5,a)＋\f(－4,b)＝1，,\f(1,2)|ab|＝5，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5b－4a＝ab，,ab＝10))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5b－4a＝ab，,ab＝－10.)) ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(5,2)，,b＝4.))∴直线l的方程为eq \f(x,5)－eq \f(y,2)＝1或－eq \f(2x,5)＋eq \f(y,4)＝1， 即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0． 10．在平面直角坐标系中，过点P(3，1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B． (1)若eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(PB,\s\up16(→))，求直线l的一般式方程； (2)求当eq \o(AP,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))取得最小值时，直线l的方程． 解　设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0． (1)∵eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(PB,\s\up16(→))，∴(3－a，1)＝eq \f(1,2)(－3，b－1)， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－a＝－\f(3,2)，,1＝\f(b－1,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,2)，,b＝3，))∴直线l的方程为eq \f(x,\f(9,2))＋eq \f(y,3)＝1，即2x＋3y－9＝0． (2)∵A，P，B三点共线， ∴eq \f(1,3－a)＝eq \f(1－b,3)，整理得eq \f(3,a)＋eq \f(1,b)＝1， ∴eq \o(AP,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))＝(3－a，1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(1,b)))－10＝eq \f(3b,a)＋eq \f(3a,b)≥2eq \r(\f(3b,a)·\f(3a,b))＝6， 当且仅当eq \f(3b,a)＝eq \f(3a,b)，即a＝b＝4时等号成立， ∴当eq \o(AP,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))取得最小值时，直线l的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,4)＝1，即x＋y－4＝0． $$