2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第二章　平面解析几何 2.2　直线及其方程 2.2.1　直线的倾斜角与斜率 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 1．给出下列命题： ①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④按照直线的倾斜角概念，直线集合与集合{α|0°≤α<180°}建立了一一对应的关系； ⑤若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 4 解析　利用直线的倾斜角概念可知倾斜角α满足0°≤α<180°，则sinα∈[0，1]，因此命题②⑤不正确．又每一条直线有唯一倾斜角，但倾斜角为α的直线有无数条，因此命题③④不正确，命题①正确．故选A． 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 5 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 6 3．如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 解析　由题图知直线l1的倾斜角为钝角，∴k1<0．又直线l2，l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角较大，∴0<k3<k2，∴k1<k3<k2． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 7 4．[多选]已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1)，则下列说法正确的是(　　) A．当m∈(－∞，－5)∪(1，＋∞)时，直线MN的倾斜角为锐角 B．当m∈(－5，1)时，直线MN的倾斜角为钝角 C．当m＝1时，直线MN的倾斜角为直角 D．当m＝－5时，直线MN的倾斜角为零 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 8 答案 解析 　2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 9 6．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为_______________________． 答案 解析 (2，0)或(0，－8) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 7．已知直线l经过点P(1，1)，且与线段MN相交，且点M，N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)． (1)求直线PM与PN的斜率； (2)求直线l的斜率k的取值范围． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 11 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 13 答案 解析 150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 30分钟综合练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 5．[多选]若直线经过(－n，2m)，(2n，－3m)两点，且m，n∈[0，1]，则下列可能为直线的法向量的是(　　) A．(－3，0) B．(5，3) C．(－10，3) D．(5，－6) 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 二、填空题 6．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为______________，斜率为______________． 答案 解析 30°或150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 7．若已知直线l的一个法向量为a＝(2，3)，则直线l的斜率为________． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 8．若(0，1)，(m，－1)，(2，n)三点在斜率为－3的直线上，则m＝________，n＝________． 答案 解析 －5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 三、解答题 9．如图所示，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，求梯形各边所在直线的斜率． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　直线的倾斜角与斜率 2．已知直线PQ的斜率为－eq \r(3)，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的斜率是(　　) A．0 B．eq \f(\r(3),3) C．eq \r(3) D．－eq \r(3) 解析　由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为eq \r(3)． 解析　当倾斜角为锐角时，斜率kMN＝eq \f(m－1,m＋5)>0，则m<－5或m>1；当倾斜角为钝角时，斜率kMN＝eq \f(m－1,m＋5)<0，则－5<m<1；当倾斜角为直角时，两点横坐标相等，即2m＋3＝m－2，解得m＝－5；当倾斜角为零时，两点纵坐标相等，即m＝1．故选AB． 5．已知M(eq \r(3)，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\r(3)))，A(a，eq \r(2a))三点共线，则a＝________． 解析　易知直线MB的斜率kMB存在，又A，B，M三点共线，所以直线MA的斜率kMA存在，且kMA＝kMB，即eq \f(0－\r(2a),\r(3)－a)＝eq \f(0＋\r(3),\r(3)－\f(3,2))，eq \f(\r(2a),a－\r(3))＝eq \f(2,2－\r(3))，所以a＝2． 解析　设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝eq \f(4,3－x)或kAB＝eq \f(4－y,3)，∴eq \f(4,3－x)＝4或eq \f(4－y,3)＝4，∴x＝2或y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8)． 解　(1)由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为kPM＝eq \f(－3－1,2－1)＝－4，kPN＝eq \f(－2－1,－3－1)＝eq \f(3,4)． (2)如图所示，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°， 又kPN＝eq \f(3,4)，∴k≥eq \f(3,4)． 当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°， 又kPM＝－4，∴k≤－4． 综上所述，k的取值范围为(－∞，－4]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))． 知识点二　直线的方向向量与法向量 8．若直线l的一个方向向量是e＝(1，eq \r(3))，则直线l的倾斜角为(　　) A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6) 解析　由直线l的一个方向向量是e＝(1，eq \r(3))，得直线l的斜率为eq \r(3)，设直线l的倾斜角是α(0≤α<π)，则tanα＝eq \r(3)⇒α＝eq \f(π,3)．故选B． 9．若直线l的一个方向向量为v＝(3m，－eq \r(3)m)，m≠0，则直线l的斜率为________，倾斜角为________；直线l的一个法向量为______________________． 解析　设直线l的倾斜角为θ，k＝tanθ＝－eq \f(\r(3)m,3m)＝－eq \f(\r(3),3)，则θ＝150°．法向量与方向向量垂直，故直线l的一个法向量为(eq \r(3)m，3m)，m≠0，可取m＝－1，得(－eq \r(3)，－3)(答案不唯一)． －eq \f(\r(3),3) (－eq \r(3)，－3)(答案不唯一) 一、选择题 1．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是(　　) A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D．[0，π) 解析　因为直线经过第二、四象限，则直线斜率为负，因此倾斜角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))． 2．下列各项中，三点共线的是(　　) A．P(－2，3)，Q(3，－2)，Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))) B．P(－2，3)，Q(3，－3)，Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2))) C．P(0，0)，Q(1，1)，R(1，－1) D．P(1，1)，Q(2，－1)，R(3，2) 解析　对于A，kPQ＝eq \f(－2－3,3－（－2）)＝－1，kQR＝eq \f(\f(1,2)－（－2）,\f(1,2)－3)＝－1，所以三点共线；对于B，kPQ＝eq \f(－3－3,3－（－2）)＝－eq \f(6,5)，kQR＝eq \f(－\f(1,2)－（－3）,\f(1,2)－3)＝－1，故三点不共线；对于C，kPQ＝1，直线QR的斜率不存在，故三点不共线；对于D，kPQ＝eq \f(－1－1,2－1)＝－2，kQR＝eq \f(2－（－1）,3－2)＝3，故三点不共线． 3．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为(　　) A．－2eq \r(3) B．0 C．eq \r(3) D．2eq \r(3) 解析　由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60°，120°，如图，可得AB，AC所在直线的斜率分别为eq \r(3)，－eq \r(3)，∴AC，AB所在直线的斜率之和为eq \r(3)＋(－eq \r(3))＝0．故选B． 4．若直线经过两点A(2，m)，B(m，1－2m)，且其倾斜角为45°，则m的值为(　　) A．0 B．－eq \f(1,2) C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,4) 解析　经过两点A(2，m)，B(m，1－2m)的直线的斜率为k＝eq \f(m－（1－2m）,2－m)＝eq \f(3m－1,2－m)，又直线的倾斜角为45°，∴eq \f(3m－1,2－m)＝1，解得m＝eq \f(3,4)．故选D． 解析　由题意知直线的一个方向向量为(3n，－5m)，故该直线的一个法向量为(5m，3n)，则对于任意的实数λ≠0，(5λm，3λn)是直线的一个法向量，当λ＝－1，n＝0，m＝eq \f(3,5)时，直线的一个法向量为(－3，0)，故A正确；当λ＝1，n＝m＝1时，直线的一个法向量为(5，3)，故B正确；因为5λm·3λn＝15λ2mn≥0，而－10×3<0，5×(－6)<0，故C，D错误．故选AB． 解析　如图，直线AB的倾斜角为30°或150°，其斜率为eq \f(\r(3),3)或－eq \f(\r(3),3)． eq \f(\r(3),3)或－eq \f(\r(3),3) 解析　因为直线l的一个法向量为a＝(2，3)，所以直线l的一个方向向量为(－3，2)，所以直线l的斜率k＝－eq \f(2,3)． －eq \f(2,3) 解析　已知三点(0，1)，(m，－1)，(2，n)在斜率为－3的直线上，根据斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)知，－3＝eq \f(1－（－1）,0－m)，－3＝eq \f(1－n,0－2)，解得m＝eq \f(2,3)，n＝－5． eq \f(2,3) 解　如图，分别过B，C作x轴的垂线，垂足为D，E， 则有|OE|＝|ED|＝|DA|＝1， |CE|＝|BD|＝1， ∴C(1，1)，B(2，1)，A(3，0)， ∴kOC＝eq \f(1,1)＝1，kAB＝eq \f(1－0,2－3)＝－1， kOA＝kBC＝0． 10．已知A(2，4)，B(3，2)，P(x，y)是线段AB上的点，试求eq \f(y,x)的最值． 解　eq \f(y,x)＝eq \f(y－0,x－0)表示点P(x，y)与坐标原点O连线的斜率，当点P在线段AB上变化时，直线OP的斜率k＝eq \f(y,x)也随之变化，由图可知， 当点P在点B时斜率最小，当点P在点A时斜率最大，因为kOB＝eq \f(2,3)，kOA＝eq \f(4,2)＝2，所以eq \f(2,3)≤eq \f(y,x)≤2，因此eq \f(y,x)的最大值为2，最小值为eq \f(2,3)． $$