1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第一章　空间向量与 立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 解析　共线的单位向量是相等向量或相反向量．故选D． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 5 3．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等 B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等 C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量 D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同 解析　零向量的方向是任意的，且长度为0．两个单位向量的模相等，但方向不一定相同．故选C． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 7 解析　B中向量的和应该是零向量，而不是数0．故选B． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 8 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 9 解析　根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．故选D． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 10 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 11 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 14 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 15 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15分钟对点练 10 11 12 16 30分钟综合练 一、选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．所有的单位向量都是相等向量 B．两个向量相等的充要条件是它们的模相等 C．若两个非零向量的模不相等，则它们可能是相反向量 D．空间向量的模的取值范围是[0，＋∞) 解析　因为所有的单位向量的模都是1，但是方向不一定相同，所以A错误；因为两个向量的模相等，方向不同，这两个向量也不是相等向量，所以B错误；因为两个相反向量的模相等，所以若两个非零向量的模不相等，则这两个向量一定不是相反向量，所以C错误；因为所有的空间向量的模都不小于零，所以D正确． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 18 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 19 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 20 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 21 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 22 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 23 二、填空题 6．给出下列四个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若空间向量a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任何空间向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|． 其中正确命题的序号为________． ④ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 24 解析　对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；对于④，当向量a，b不共线时，由向量加法法则并根据三角形两边之和大于第三边知|a＋b|≤|a|＋|b|成立，当向量a，b共线时，若a与b同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a与b异向，则|a＋b|<|a|＋|b|，故④正确． 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 25 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 26 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 28 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 29 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 30 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 31 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 11 32 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　空间向量的有关概念 1．下列命题中为假命题的是(　　) A．向量eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BA,\s\up16(→))是平行向量 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2．[多选](2023·北京首都师范大学附属密云中学高二阶段考试)下列命题中为真命题的是(　　) A．若向量a与任一向量b平行，则a＝0 B．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b C．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(A1C1,\s\up16(→)) D．若空间向量a，b，c满足a＝b，b＝c，则a＝c 解析　对于A，因为零向量与空间中任一向量平行，故A为真命题；对于B，向量相等即模相等和方向相同，故B为假命题；对于C，根据正方体的定义，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \o(AC,\s\up16(→))与eq \o(A1C1,\s\up16(→))的方向相同，模也相等，所以eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(A1C1,\s\up16(→))，故C为真命题；对于D，根据向量相等的定义，明显成立，故D为真命题．故选ACD． 知识点二　空间向量的加减运算 4．已知空间中任意四点A，B，C，D，则eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝(　　) A．eq \o(DB,\s\up16(→)) B．eq \o(AB,\s\up16(→)) C．eq \o(AC,\s\up16(→)) D．eq \o(BA,\s\up16(→)) 解析　eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝(eq \o(CD,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→)))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→))．故选D． 5．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→)) B．eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))＝0 C．eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→)) D．eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \o(BA,\s\up16(→)) 6．在空间四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(BC,\s\up16(→))＝b，eq \o(AD,\s\up16(→))＝c，则eq \o(CD,\s\up16(→))＝(　　) A．a＋b＋c B．c－a－b C．a－b－c D．b－a＋c 解析　如图所示，eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝－b－a＋c．故选B． 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为eq \o(AC1,\s\up16(→))的共有(　　) ①(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→)))＋eq \o(CC1,\s\up16(→))；②(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→)))＋eq \o(D1C1,\s\up16(→))；③(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→)))＋eq \o(B1C1,\s\up16(→))；④(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1B1,\s\up16(→)))＋eq \o(B1C1,\s\up16(→))． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．[多选]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq \o(BD1,\s\up16(→))的是(　　) A．eq \o(A1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1A,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)) B．eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))－eq \o(D1C1,\s\up16(→)) C．eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(DD1,\s\up16(→)) D．eq \o(B1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \o(DD1,\s\up16(→)) 解析　对于A，eq \o(A1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1A,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AD1,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(BD1,\s\up16(→))；对于B，eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))－eq \o(D1C1,\s\up16(→))＝eq \o(BC1,\s\up16(→))＋eq \o(C1D1,\s\up16(→))＝eq \o(BD1,\s\up16(→))；对于C，eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(BB1,\s\up16(→))＝eq \o(B1D,\s\up16(→))≠eq \o(BD1,\s\up16(→))；对于D，eq \o(B1D1,\s\up16(→))－eq \o(A1A,\s\up16(→))＋eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(DD1,\s\up16(→))＝eq \o(BD1,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→))≠eq \o(BD1,\s\up16(→))．故选AB． 知识点三　空间向量的线性运算 9．如图所示，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，则eq \o(AG,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BE,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up16(→))的化简结果为(　　) A．eq \o(AF,\s\up16(→)) B．eq \o(AH,\s\up16(→)) C．eq \o(AE,\s\up16(→)) D．eq \o(CF,\s\up16(→)) 解析　∵点G为△BCD的重心，∴|eq \o(GE,\s\up16(→))|＝eq \f(1,3)|eq \o(BE,\s\up16(→))|，∴eq \o(GE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BE,\s\up16(→))，又eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up16(→))，∴eq \o(AG,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(AG,\s\up16(→))＋eq \o(GE,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))，又eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))，∴eq \o(AG,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BE,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(AF,\s\up16(→))．故选A． 10．(2023·山东烟台高二期末)如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若eq \o(AG,\s\up16(→))＝λeq \o(AM,\s\up16(→))与eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(OC,\s\up16(→))同时成立，则实数λ的值为________． 解析　eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \o(OG,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,4)(eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(OM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AM,\s\up16(→))，所以λ＝eq \f(1,2)． 　eq \f(1,2) 11．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量． (1)eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BA1,\s\up16(→))； (2)eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))； (3)eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(B1B,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))． 解　(1)eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BA1,\s\up16(→))＝eq \o(CA1,\s\up16(→))． (2)因为M是BB1的中点，所以eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BB1,\s\up16(→))． 又eq \o(AA1,\s\up16(→))＝eq \o(BB1,\s\up16(→))，所以eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \o(AM,\s\up16(→))． (3)eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(B1B,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2)(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→)))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2)(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→)) ＝eq \o(AA1,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(CA1,\s\up16(→))－eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \o(BA1,\s\up16(→))． 向量eq \o(CA1,\s\up16(→))，eq \o(AM,\s\up16(→))，eq \o(BA1,\s\up16(→))如图所示． 证明　连接EF，FB(图略)． ∵eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(A1F,\s\up16(→))－eq \o(A1E,\s\up16(→))＝eq \f(2,5) eq \o(A1C,\s\up16(→))－eq \f(2,3) eq \o(A1D1,\s\up16(→)) ＝eq \f(2,5)(eq \o(A1B1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→))＋eq \o(A1A,\s\up16(→)))－eq \f(2,3) eq \o(A1D1,\s\up16(→))＝eq \f(2,5) eq \o(A1B1,\s\up16(→))＋eq \f(2,5) eq \o(A1A,\s\up16(→))－eq \f(4,15) eq \o(A1D1,\s\up16(→))， eq \o(FB,\s\up16(→))＝eq \o(A1B,\s\up16(→))－eq \o(A1F,\s\up16(→))＝eq \o(A1B1,\s\up16(→))＋eq \o(A1A,\s\up16(→))－eq \f(2,5)(eq \o(A1B1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→))＋eq \o(A1A,\s\up16(→)))＝eq \f(3,5) eq \o(A1B1,\s\up16(→))＋eq \f(3,5) eq \o(A1A,\s\up16(→))－eq \f(2,5) eq \o(A1D1,\s\up16(→))， ∴eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(FB,\s\up16(→))，∴eq \o(EF,\s\up16(→))∥eq \o(FB,\s\up16(→))． 又EF∩FB＝F，∴E，F，B三点共线． 12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且eq \o(A1E,\s\up16(→))＝2eq \o(ED1,\s\up16(→))，点F在体对角线A1C上，且eq \o(A1F,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up16(→))．求证：E，F，B三点共线． 2．在四边形ABCD中，O为空间任意一点，且eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(DO,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 解析　∵eq \o(AO,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(DO,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))，∴eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))．∴AB∥DC且AB＝DC．∴四边形ABCD为平行四边形．故选A． 3．在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则eq \o(MG,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝(　　) A．3eq \o(DB,\s\up16(→)) B．3eq \o(MG,\s\up16(→)) C．3eq \o(GM,\s\up16(→)) D．2eq \o(MG,\s\up16(→)) 解析　连接BD，eq \o(MG,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(MG,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(MG,\s\up16(→))＋2eq \o(MG,\s\up16(→))＝3eq \o(MG,\s\up16(→))．故选B． 4．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1C1的中点，F是AE的一个三等分点，且AF＝eq \f(1,2)EF，则eq \o(AF,\s\up16(→))＝(　　) A．eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→)) B．eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→)) C．eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AD,\s\up16(→)) D．eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AD,\s\up16(→)) 解析　如图所示，因为AF＝eq \f(1,2)EF，所以eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1E,\s\up16(→)))．又eq \o(A1E,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(A1C1,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(A1B1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))，所以eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(AD,\s\up16(→))．故选D． 5．[多选](2023·江苏丹阳高级中学高二期末)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P为空间一点，且满足eq \o(BP,\s\up16(→))＝λeq \o(BC,\s\up16(→))＋μeq \o(BB1,\s\up16(→))，λ，μ∈[0，1]，则(　　) A．当λ＝1时，点P在棱BB1上 B．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 C．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 D．当λ＝μ时，点P在线段BC1上 解析　对于A，当λ＝1时，eq \o(BP,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋μeq \o(BB1,\s\up16(→))，所以eq \o(CP,\s\up16(→))＝μeq \o(BB1,\s\up16(→))，则eq \o(CP,\s\up16(→))∥eq \o(BB1,\s\up16(→))，即点P在棱CC1上，故A错误；对于B，当μ＝1时，则eq \o(B1P,\s\up16(→))∥eq \o(BC,\s\up16(→))，故点P在棱B1C1上，故B正确；对于C，λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以eq \o(BP,\s\up16(→))＝λeq \o(BC,\s\up16(→))＋(1－λ)eq \o(BB1,\s\up16(→))，即eq \o(B1P,\s\up16(→))＝λeq \o(B1C,\s\up16(→))，所以点P在线段B1C上，故C正确；对于D，当λ＝μ时，eq \o(BP,\s\up16(→))＝λ(eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(BB1,\s\up16(→)))＝λeq \o(BC1,\s\up16(→))，所以点P在线段BC1上，故D正确．故选BCD． 7．化简eq \f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________________． 解析　eq \f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝eq \f(1,2)a＋b－eq \f(3,2)c＋eq \f(10,3)a－eq \f(5,2)b＋eq \f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(10,3)－3))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)＋6))b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(10,3)－3))c＝eq \f(5,6)a＋eq \f(9,2)b－eq \f(7,6)c． eq \f(5,6)a＋eq \f(9,2)b－eq \f(7,6)c 8．(2023·山东新泰第一中学高二质量检测)已知三棱柱ABC－A1B1C1及空间中一点P，且eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))(m>0，且m为常数)，若三棱柱ABC－A1B1C1的体积为24，则三棱锥A1－ABP的体积为________． 解析　取AC的中点O，∵eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))，∴2eq \o(PO,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))⇒PO∥AB，∴P是△ABC所在平面内一点，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC＝2S△ABP，设三棱柱ABC－A1B1C1的高为h，则三棱锥A1－ABP的体积为eq \f(1,3)S△ABP×h＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)S△ABC×h＝eq \f(1,6)S△ABC×h＝eq \f(1,6)VABC－A1B1C1＝eq \f(1,6)×24＝4． 三、解答题 9．(2023·辽宁葫芦岛四校高二联考)如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB的中点，CF＝2FD，连接EF，CE，AF，BF，BD，AC．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))； (2)eq \o(AF,\s\up16(→))－eq \o(BF,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))； (3)eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))． 解　(1)eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))，如图． (2)eq \o(AF,\s\up16(→))－eq \o(BF,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(CB,\s\up16(→))，如图． (3)因为E是线段AB的中点，CF＝2FD，所以eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(EB,\s\up16(→))，eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(CF,\s\up16(→))， 所以eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(EB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))＝eq \o(EC,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))＝eq \o(EF,\s\up16(→))，如图． 10．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量eq \o(EF,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))是否共线？ 解　设AC的中点为G，连接EG，GF， 则eq \o(GF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(EG,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))， ∴eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(EG,\s\up16(→))＋eq \o(GF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→)))， ∴eq \o(EF,\s\up16(→))与eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))共线． 11．如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA′,\s\up16(→))＝c，E，F分别是AD′，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示eq \o(D′B,\s\up16(→))，eq \o(EF,\s\up16(→))； (2)化简eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BB′,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(C′D′,\s\up16(→))＋2eq \o(D′E,\s\up16(→))． 解　(1)eq \o(D′B,\s\up16(→))＝eq \o(D′A′,\s\up16(→))＋eq \o(A′B′,\s\up16(→))＋eq \o(B′B,\s\up16(→))＝－b＋a－c． eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(EA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(D′A,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(－b－c)＋a＋eq \f(1,2)(－a＋b)＝eq \f(1,2)(a－c)． (2)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BB′,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(C′D′,\s\up16(→))＋2eq \o(D′E,\s\up16(→))＝eq \o(AB′,\s\up16(→))＋eq \o(B′C′,\s\up16(→))＋eq \o(C′D′,\s\up16(→))＋2eq \o(D′E,\s\up16(→))＝eq \o(AD′,\s\up16(→))＋2eq \o(D′E,\s\up16(→))＝eq \o(AD′,\s\up16(→))＋eq \o(D′A,\s\up16(→))＝0． $$