第一章 空间向向量与立体几何 体验真题 感悟高考-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

1．(2023·北京高考)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝．

(1)求证：BC⊥平面PAB；

(2)求二面角A－PC－B的大小．

解　(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以PA⊥BC，同理PA⊥AB，

所以△PAB为直角三角形，

又因为PB＝＝，BC＝1，PC＝，

所以PB2＋BC2＝PC2，则△PBC为直角三角形，

故BC⊥PB，

又因为PA⊥BC，PA∩PB＝P，

所以BC⊥平面PAB．

(2)由(1)知BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，则BC⊥AB，

以A为原点，AB所在直线为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，

所以＝(0，0，1)，＝(1，1，0)，＝(0，1，0)，＝(1，1，－1)，

设平面PAC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则即

令x1＝1，则y1＝－1，所以m＝(1，－1，0)，

设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，

则即

令x2＝1，则z2＝1，所以n＝(1，0，1)，

所以cos〈m，n〉＝＝＝，

又因为二面角A－PC－B为锐二面角，

所以二面角A－PC－B的大小为．

2．(2023·全国甲卷)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距离为1．

(1)求证：AC＝A1C；

(2)若直线AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．

解　(1)证明：如图，

∵A1C⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，

∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，

∴BC⊥平面ACC1A1，

又BC⊂平面BCC1B1，

∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1．

过A1作A1O⊥CC1于点O，又平面ACC1A1∩平面BCC1B1＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1，

∴A1O⊥平面BCC1B1．

∵A1到平面BCC1B1的距离为1，∴A1O＝1．

在Rt△A1CC1中，A1C⊥A1C1，CC1＝AA1＝2，A1O＝1，

∴O为CC1的中点，∴CO＝C1O＝1，

又A1O⊥CC1，

∴AC＝A1C＝A1C1＝，

∴AC＝A1C．

(2)连接A1B，AC1，∵AC＝A1C，BC⊥A1C，BC⊥AC，

∴Rt△ACB≌Rt△A1CB，

∴BA＝BA1．

过B作BD⊥AA1于点D，则D为AA1的中点，又AA1＝2，∴A1D＝AD＝1，

∵直线AA1与BB1的距离为2，∴BD＝2，

∴A1B＝AB＝，

在Rt△ABC中，BC＝＝．

以C为原点，CA，CB，CA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，

则C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)，B1(－，，)，C1(－，0，)，

∴＝(0，，0)，＝(－，0，)，＝(－2，，)，

设平面BCC1B1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即取x＝1，则y＝0，z＝1，

∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1)．