2.2.2 第2课时 直线的两点式方程、截距式方程与一般式方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 第2课时　直线的两点式方程、截距式方程与一般式方程 知识点一　直线的两点式方程、截距式方程 1．若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(91，b)在直线l上，则b的值为(　　) A．183 B．182 C．181 D．180 答案　A 解析　因为直线l过点(－1，－1)和(2，5)，由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝，即y＝2x＋1．由于点(91，b)在直线l上，所以b＝2×91＋1，解得b＝183．故选A． 2．一条光线从A处射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝x－ D．y＝－x－ 答案　B 解析　因为点A关于y轴的对称点是M，由题意知M在反射光线所在的直线上．又因为点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，所以反射光线所在直线的方程为＝，即y＝－2x＋1．故选B． 3．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍的直线方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1或y＝x C．x－＝1 D．x－＝1或y＝x 答案　B 解析　当直线过原点时满足题意，所求方程为y＝x；当直线不过原点时，可设其截距式为＋＝1，由该直线过点(5，2)，解得a＝6，对应的方程为＋＝1．故选B． 4．已知线段BC的中点为D．若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，则BC所在直线的方程为________． 答案　＋＝1或＋＝1 解析　由已知得直线BC的斜率存在且不为0．设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则直线BC的截距式方程为＋＝1．由题意得a＋b＝9　①，又点D在直线BC上，∴＋＝1，∴6b＋3a＝2ab　②，由①②联立得2a2－21a＋54＝0，即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝或a＝6．∴或故BC所在直线的方程为＋＝1或＋＝1． 知识点二　直线的一般式方程 5．(2023·湖南湘潭高二统考期末)直线l：x＋y＋2022＝0的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　D 解析　因为直线l：x＋y＋2022＝0，所以直线的斜率为k＝－，设直线的倾斜角为α，则tanα＝－，因为0°≤α<180°，所以α＝150°． 6．已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)与两坐标轴都相交，则系数A，B，C满足的条件是(　　) A．A≠0 B．A≠0且B≠0 C．C≠0 D．B≠0 答案　B 解析　因为直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)与两坐标轴都相交，所以直线与x轴不垂直且不平行，即直线的斜率存在且不等于0，所以A≠0且B≠0，故选B． 7．如果AC<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　∵直线的斜率k＝－<0，纵截距b＝－>0，∴直线不经过第三象限． 8．过点(2，－1)且一个法向量为(－3，1)的直线方程是(　　) A．x＋3y＋1＝0 B．x－3y－5＝0 C．3x－y－7＝0 D．3x－y－1＝0 答案　C 解析　因为直线的一个法向量为(－3，1)，设直线方程为3x－y＋C＝0，将(2，－1)代入，得6＋1＋C＝0，即C＝－7，故所求直线方程为3x－y－7＝0． 9．不论m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(　　) A． B．(－2，1) C．(2，－1) D． 答案　B 解析　直线方程可变形为y－1＝m(x＋2)，所以直线恒过定点(－2，1)． 10．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)． (1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值． 解　(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝． 所以若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为{m|m≠－1}． (2)由(1)，易知当m＝时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝． (3)依题意，得＝－3，解得m＝－． (4)因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1， 所以－＝1，解得m＝． 一、选择题 1．过(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 答案　B 解析　因为所求直线过点(1，2)，(5，3)，所以直线方程为＝．故选B． 2．若直线－＝1经过第一、二、三象限，则实数a，b满足(　　) A．a>0，b>0 B．a<0，b>0 C．a<0，b<0 D．a>0，b<0 答案　C 解析　将直线－＝1化为＋＝1，又直线经过第一、二、三象限，所以它在x轴上的截距为负，在y轴上的截距为正，所以a<0，－b>0，所以a<0，b<0．故选C． 3．下列说法正确的是(　　) A．过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程都可以写成＝ B．直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为－1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 答案　C 解析　当x1＝x2或y1＝y2时，直线方程不能写成＝，故A错误；当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为－1，故B错误；设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b．令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误．故选C． 4．直线l：ax＋(1－a)y＋1＝0经过第一象限的充要条件是(　　) A．0<a<1 B．a<0或a>1 C．a>0 D．a<1 答案　B 解析　ax＋(1－a)y＋1＝0即a(x－y)＋y＋1＝0，令解得故ax＋(1－a)y＋1＝0过定点(－1，－1)，故若直线l经过第一象限，则直线l的斜率大于0，即－>0，即a(a－1)>0，解得a<0或a>1．故选B． 5．[多选]直线l：mx－m2y＋3＝0经过点P(2，1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角且过点P的直线的方程可以是(　　) A．x－y－1＝0 B．3x－y－5＝0 C．x＋y－3＝0 D．x＋3y－5＝0 答案　AD 解析　将点(2，1)代入直线方程有m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝3时，直线l的方程为x－3y＋1＝0，即y＝x＋，斜率为，故所求直线的斜率k＝－，方程为y－1＝－(x－2)，即x＋3y－5＝0．当m＝－1时，直线l的方程为x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，斜率为－1，故所求直线的斜率为k＝1，方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0．故选AD． 二、填空题 6．已知直线方程为5x＋4y－20＝0，则此直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 答案　4　5 解析　将方程5x＋4y－20＝0化为截距式为＋＝1，所以此直线在x轴、y轴上的截距分别为4，5． 7．过点(－1，2)，且以直线2x－3y－7＝0的一个法向量为方向向量的直线的一般式方程是________． 答案　3x＋2y－1＝0 解析　由题意可得所求直线的一个方向向量为(2，－3)，所以所求直线的斜率为－，所以所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0． 8．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点分别为B(1，4)，D(5，0)，则直线l的方程为________． 答案　2x－3y＝0 解析　由平面几何知识知，若直线l平分平行四边形ABCD的面积，则直线l过平行四边形对角线的交点，即过BD的中点(3，2)，又直线l过原点，由两点式，得直线l的方程为2x－3y＝0． 三、解答题 9．已知直线l经过点P(－5，－4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程． 解　由题意，设直线l的方程为＋＝1， 则 即或 ∴或 ∴直线l的方程为－＝1或－＋＝1， 即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0． 10．在平面直角坐标系中，过点P(3，1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B． (1)若＝，求直线l的一般式方程； (2)求当·取得最小值时，直线l的方程． 解　设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0． (1)∵＝，∴(3－a，1)＝(－3，b－1)， 即解得 ∴直线l的方程为＋＝1， 即2x＋3y－9＝0． (2)∵A，P，B三点共线， ∴＝，整理得＋＝1， ∴·＝(3－a，1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b)－10＝＋≥2＝6， 当且仅当＝，即a＝b＝4时等号成立， ∴当·取得最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$