2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 2．2．2　直线的方程 第1课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 知识点一　直线的点斜式方程 1．下列说法正确的是(　　) A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示 B．过点P(1，2)，且斜率为4的直线方程为＝4 C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1) D．直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0 答案　D 解析　对于A，点斜式方程适用斜率存在的直线，故A错误；对于B，该方程不包括点P(1，2)，故B错误；对于C，当倾斜角θ＝时，tanθ无意义，故C错误；对于D，直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0，故D正确． 2．已知直线的方程是y＋4＝2x－6，则(　　) A．直线经过点(－3，4)，斜率为2 B．直线经过点(4，－3)，斜率为2 C．直线经过点(3，－4)，斜率为2 D．直线经过点(－4，3)，斜率为－2 答案　C 解析　直线方程y＋4＝2x－6可化为y－(－4)＝2(x－3)，故直线经过点(3，－4)，斜率为2． 3．在平面直角坐标系中，过点A(2，1)且倾斜角为45°的直线l的点斜式方程是________． 答案　y－1＝x－2 解析　由题意知，直线l的斜率k＝tan45°＝1，∴直线l的点斜式方程为y－1＝x－2． 4．已知直线l经过点A(－2，3)，且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________． 答案　x＝－2 解析　直线y＝x的倾斜角为，所以直线l的倾斜角为，所以直线l的方程为x＝－2． 5．已知直线l的倾斜角为α，sinα＝，且这条直线经过点P(3，5)，求直线l的点斜式方程． 解　直线l的倾斜角为α，sinα＝，当α为锐角时，cosα＝，直线l的斜率k＝tanα＝，所以直线l的点斜式方程为y－5＝(x－3)；当α为钝角时，cosα＝－，直线l的斜率k＝tanα＝－，所以直线l的点斜式方程为y－5＝－(x－3)．综上，直线l的点斜式方程为y－5＝(x－3)或y－5＝－(x－3)． 知识点二　直线的斜截式方程 6．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则直线l的方程为(　　) A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2 C．y＝－x－2 D．y＝x－2 答案　D 解析　∵直线l的倾斜角为60°，∴其斜率为．又直线l在y轴上的截距为－2，∴直线l的方程为y＝x－2．故选D． 7．[多选]直线l1：y＝ax＋b与l2：y＝－bx＋a的图象可能为(　　) 答案　AB 解析　对于A，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，－b<0，a>0，可能成立；对于B，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知，－b>0，a>0，可能成立；对于C，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象可知，－b<0，a>0，不成立；对于D，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象可知，－b>0，a>0，不成立．故选AB． 8．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，那么(　　) A．kb<0 B．kb≤0 C．kb>0 D．kb≥0 答案　B 解析　当k≠0时，∵直线l不经过第三象限，∴k<0，b>0，∴kb<0；当k＝0，b>0时，l也不过第三象限，∴kb＝0．综上，kb≤0． 9．已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为____________． 答案　y＝－2x＋6 解析　由题意知，直线l在y轴上的截距为6，其斜率为－2，故直线l的方程为y＝－2x＋6． 10．已知直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直线l的方程为________． 答案　y＝x±5 解析　由直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x＋b．令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b．由题意得|b|＋＋＝30，∴|b|＋|b|＋|b|＝30，∴b＝±5，∴直线l的方程为y＝x±5． 一、选择题 1．过点(－1，2)且斜率为2的直线的点斜式方程是(　　) A．y－2＝2(x－1) B．y＋2＝2(x－1) C．y－2＝2(x＋1) D．y＋2＝2(x＋1) 答案　C 解析　因为直线过点(－1，2)，且斜率为2，所以该直线的点斜式方程为y－2＝2(x＋1)．故选C． 2．直线l的方程为y＋2＝2(x－1)，则(　　) A．直线l过点(2，－2)，斜率为 B．直线l过点(－2，2)，斜率为 C．直线l过点(1，－2)，斜率为2 D．直线l过点(－1，2)，斜率为2 答案　C 解析　∵直线l的方程为y＋2＝2(x－1)，∴直线的斜率为2，且经过定点(1，－2)．故选C． 3．直线l过点P(0，)，且倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，则直线l的方程为(　　) A．y＝x－ B．y＝x＋ C．y＝x＋ D．y＝－x＋ 答案　B 解析　设直线y＝x＋的倾斜角为θ，则θ∈[0，π)，则tanθ＝，∴θ＝，故直线l的倾斜角为，斜率k＝tan＝，又直线l过点P(0，)，故直线l的方程为y＝x＋．故选B． 4．若直线y＝x＋在x轴上的截距为1，则实数m的值为(　　) A．1 B．2 C．－ D．2或－ 答案　D 解析　由题意知直线过点(1，0)，∴＋＝0，则m＝－或m＝2． 5．[多选]已知过定点(4，5)的直线m的一个法向量是d＝(2，－3t)，t∈N＋，则直线m的方程可以为(　　) A．y＝x＋9 B．y＝x－1 C．y＝x＋ D．y＝x＋ 答案　CD 解析　∵直线m的一个法向量是d＝(2，－3t)，∴直线的一个方向向量为(3t，2)，又t∈N＋，∴直线的斜率为，又直线过点(4，5)，∴直线m的方程为y－5＝(x－4)，即y＝x－＋5．当t＝2时，直线m的方程为y＝x＋，故C正确；当t＝1时，直线m的方程为y＝x＋，故D正确．故选CD． 二、填空题 6．若直线y＝(3－2t)x－6不经过第一象限，则t的取值范围为________． 答案　 解析　由题意可得3－2t≤0，解得t≥． 7．直线y＝kx＋2k－3(k∈R)经过的定点是________． 答案　(－2，－3) 解析　因为y＝kx＋2k－3，即y＋3＝k(x＋2)，所以直线过定点(－2，－3)． 8．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________． 答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析　令y＝0，则x＝－2k．令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2．由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k≥1或k≤－1．故实数k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 三、解答题 9．已知直线l经过点P(t，t)，Q(t－1，2t)，t≠0，则直线l能否同时经过点A(－1，15)和点B(2，－2)？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 解　假设直线l同时经过点A(－1，15)和点B(2，－2)，可设直线l的方程为y＝kx＋b，代入点A，B的坐标有解得 所以直线l的方程为y＝－x＋． 直线l经过点P(t，t)，则有t＝－t＋，解得t＝． 直线l经过点Q(t－1，2t)， 则有2t＝－(t－1)＋， 解得t＝． 因为≠，与题意矛盾， 所以直线l不能同时经过点A和点B． 10．直线l的方程为y＝ax＋， (1)证明：直线l恒经过第一象限； (2)若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围． 解　(1)证明：直线l：y＝ax＋， 可化为y－＝a， 所以直线l过定点P， 又点P在第一象限， 故直线l恒经过第一象限． (2)因为直线l过点P且点P在第一象限， 故只需l在y轴上的截距大于0即可， 即>0，得a<3． 故a的取值范围是(－∞，3)． 5 学科网（北京）股份有限公司 $$