1.2.4 二面角-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．2．4　二面角 知识点一　二面角及其度量 1．(2023·安徽安庆市外国语学校阶段考试)下列说法正确的是(　　) A．两个相交平面所成角的大小范围是(0，π) B．二面角的大小范围是[0，π] C．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角 D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的补角 答案　B 解析　两个相交平面所成角的大小不大于，A错误；二面角的大小范围是[0，π]，B正确；两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角或补角，C错误；二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角或补角，D错误．故选B． 2．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，将△ABD沿AD翻折后，BC＝a，此时二面角B－AD－C的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　由题意可得∠BDC就是二面角B－AD－C的平面角．∵在△BCD中，BC＝BD＝CD＝a，∴△BCD为正三角形，∴∠BDC＝60°．故选C． 3．正三棱锥P－ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则二面角P－AB－C的正切值是________． 答案　2 解析　作PO⊥底面ABC，交底面ABC于点O，连接BO并延长交AC于点D，取AB的中点E，连接PE，CE，则点O在CE上，PE⊥AB，CE⊥AB，∴∠PEO是二面角P－AB－C的平面角，∵正三棱锥P－ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，∴PO＝2，∠PBO＝45°，∠POB＝90°，∴BO＝CO＝2，EO＝1，∴二面角P－AB－C的正切值为tan∠PEO＝＝2． 4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为3，D，E分别是侧棱CC1和BB1上的点，且CD＝1，AD⊥DE，求截面ADE与底面ABC所成角的余弦值． 解　如图，设BE＝y，由已知可得，在Rt△ADE中， AE2＝AD2＋DE2，即 12＋y2＝(12＋12)＋[12＋(y－1)2]， 解得y＝．∴S△ADE＝××＝，S△ABC＝×1×1×＝．设截面ADE与底面ABC所成角的大小为θ，则cosθ＝＝． ∴截面ADE与底面ABC所成角的余弦值为． 知识点二　用空间向量求二面角的大小 5．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为(　　) A． B． C．或 D．或 答案　C 解析　二面角的范围是[0，π]，并且二面角的大小与两个半平面的法向量的夹角相等或互补．故选C． 6．在一个二面角的两个面内与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．以上都不对 答案　D 解析　∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－．故选D． 7．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，∠EBD＝60°，则二面角F－BE－D的余弦值为________． 答案　 解析　∵DA，DC，DE两两垂直，∴可建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．∵∠EBD＝60°，∴＝，由AD＝3，知BD＝3，DE＝3，AF＝．则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，∴＝(0，－3，)，＝(3，0，－2)．设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝，则n＝(4，2，)为平面BEF的一个法向量． 连接AC，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE，∴平面BDE的一个法向量为＝(3，－3，0)，∴cos〈n，〉＝＝＝．由图可知二面角F－BE－D为锐角，∴二面角F－BE－D的余弦值为． 8．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB＝，求平面ASD与平面BSC所成角的大小． 解　以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，连接BD，易知BD＝，SD＝1， ∴D(0，0，0)，S(0，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)， ∴＝(0，1，－1)，＝(1，1，－1)，＝(0，1，0)． 设n＝(x，y，z)是平面BSC的一个法向量， 由得 令y＝－1，则z＝－1，x＝0， ∴n＝(0，－1，－1)． 又＝(0，1，0)为平面ASD的一个法向量， ∴cos〈，n〉＝＝＝－． 设平面ASD与平面BSC所成的角为θ， ∴cosθ＝|cos〈，n〉|＝，∴θ＝45°， 即平面ASD与平面BSC所成角的大小为45°． 一、选择题 1．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A－BD－P的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 答案　A 解析　如图，过A作AE⊥BD于点E，连接PE，则∠PEA就是二面角A－BD－P的平面角，AE＝＝＝，在Rt△PAE中，tan∠PEA＝＝＝．所以∠PEA＝30°．故选A． 2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的棱长为a，则A(a，a，0)，B(a，0，0)，D1(0，a，a)，B1(a，0，a)，∴＝(0，a，0)，＝(－a，a，a)，＝(0，0，a)，设平面ABD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝(x，y，z)·(0，a，0)＝ay＝0，n·＝(x，y，z)·(－a，a，a)＝－ax＋ay＋az＝0，∵a≠0，∴y＝0，x＝z，令z＝1，则n＝(1，0，1)，同理，平面B1BD1的一个法向量为m＝(－1，－1，0)，cos〈n，m〉＝＝－，而二面角A－BD1－B1为钝角，故其大小为120°．故选C． 3．如图所示，已知P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，F为PC的中点，则二面角C－BF－D的正切值为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　如图所示，设AC∩BD＝O，连接OF．以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝．所以B，F，C，D．结合图形可知，＝为平面BFD的一个法向量，由＝，＝，可求得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝．因为所求二面角为锐角，所以正切值为．故选D． 4．如图，已知边长为2的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，将此三角形沿DE折成二面角A1－DE－B，点A1不在平面BCED内，设二面角A1－DE－B的大小为θ，则当异面直线A1E与BD的夹角为60°时，cosθ的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　D 解析　∵△ABC为等边三角形，AF为中线，∴AF⊥BC．∵DE为中位线，∴BC∥DE，∴AF⊥DE，即DE⊥AG，且DE⊥GF．∵沿着DE翻折，∴A1G⊥DE，∴∠A1GF是二面角A1－DE－B的平面角，即∠A1GF＝θ．∵正三角形ABC的边长为2，∴AE＝BD＝1，A1G＝GF＝AF＝，连接EF，∵AE＝EC＝1，BF＝FC＝1，∴EF∥BD，EF＝BD＝1，∵异面直线A1E与BD的夹角为60°，∴∠A1EF＝60°，∴△A1EF是边长为1的等边三角形，∴A1F＝1，∴cosθ＝＝＝．故选D． 5．[多选](2023·辽宁实验中学高二校考阶段考试)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝，AB＝2AD＝2PD，PD⊥底面ABCD，则(　　) A．PA⊥BD B．PB与平面ABCD所成的角为 C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为 D．平面PAB与平面ABCD所成的二面角的大小为45° 答案　AC 解析　设AD＝a，因为∠DAB＝，AB＝2AD＝2PD＝2a，由余弦定理可得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos＝3a2, 即BD＝a，从而BD2＋AD2＝AB2，即BD⊥AD，由PD⊥底面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，a，0)，D(0，0，0)，P(0，0，a)，故＝(a，0，－a)，＝(0，－a，0)，＝(0，a，－a)，＝(－a，a，0)，＝(－a，a，－a)，所以·＝a×0＋0×(－a)＋(－a)×0＝0，所以⊥，即PA⊥BD，故A正确；设PB与平面ABCD所成的角为θ，易知平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，则sinθ＝|cos〈，m〉|＝＝，即PB与平面ABCD所成的角为，故B错误；cos〈，〉＝＝，故C正确；设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得令y＝1，则x＝，z＝，即n＝(，1，)，所以cos〈m，n〉＝＝，故D错误．故选AC． 二、填空题 6．(2023·河北省省级联测高二联考)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面所成角的大小为________． 答案　60° 解析　设正四棱锥如图所示，AC∩BD＝O，四边形ABCD为正方形，OE⊥平面ABCD，F为AB的中点，EF⊥AB，OF⊥AB，所以∠EFO的大小为侧面与底面所成角的大小，因为正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以△ABE的面积是△ABO面积的2倍，因为△ABE和△ABO同底，所以EF＝2FO，所以∠EFO＝60°，所以侧面与底面所成角的大小为60°． 7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝AA1＝2BC＝2，D为AA1上一点．若二面角B1－DC－C1的大小为30°，则AD的长为________． 答案　 解析　如图，以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，B1(0，1，2)，B(0，1，0)，∴＝(0，1，2)，＝(0，1，0)．设AD＝a(0≤a≤2)，则点D的坐标为(2，0，a)，＝(2，0，a)．设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)，则⇒令z＝－1，得m＝．又平面C1DC的一个法向量为＝(0，1，0)，则由cos30°＝＝＝，解得a＝(负值舍去)，故AD＝． 8．如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成锐二面角的正弦值为________． 答案　 解析　以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1，0，0)，E，D1(0，0，1)，∴＝(－1，0，1)，＝．设平面AEFD1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即取y＝1，则n＝(2，1，2)为平面AEFD1的一个法向量．又平面ABCD的一个法向量为u＝(0，0，1)，∴cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝． 三、解答题 9．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD． (1)求异面直线BF与DE所成角的大小； (2)证明：平面AMD⊥平面CDE； (3)求二面角A－CD－E的余弦值． 解　(1)如图所示，建立空间直角坐标系Axyz． 设AB＝1，依题意得B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，M． ＝(－1，0，1)，＝(0，－1，1)， 于是cos〈，〉＝＝＝， 所以异面直线BF与DE所成角的大小为60°． (2)证明：由＝，＝(－1，0，1)，＝(0，2，0)，可得·＝0，·＝0． 因此，CE⊥AM，CE⊥AD． 又AD∩AM＝A，AD，AM⊂平面AMD， 故CE⊥平面AMD． 而CE⊂平面CDE， 所以平面AMD⊥平面CDE． (3)设平面CDE的一个法向量为u＝(x，y，z)，则 于是 令x＝1，可得u＝(1，1，1)． 又由题意，得平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1)． 所以cos〈u，v〉＝＝＝． 因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为． 10．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点，P是上的一点，且AP⊥BE． (1)求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小． 解　(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A， 所以BE⊥平面ABP， 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP， 则∠EBP＝90°， 又∠EBC＝120°，因此∠CBP＝30°． (2)以B为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，，3)，C(－1，，0)， 故＝(2，0，－3)，＝(1，，0)，＝(2，0，3)． 设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量， 由可得 取z1＝2， 可得平面AEG的一个法向量为m＝(3，－，2)． 设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量， 由可得 取z2＝－2， 可得平面ACG的一个法向量为n＝(3，－，－2)． 所以cos〈m，n〉＝＝． 又二面角E－AG－C为锐角，因此其大小为60°． 11．在平面四边形ACPE中(如图1)，D为AC的中点，AD＝DC＝PD＝2，AE＝1，且AE⊥AC，PD⊥AC，现将此平面四边形沿PD折起，使二面角A－PD－C为直二面角，得到立体图形(如图2)．已知B为平面ADC内一点，并且四边形ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点． (1)求证：平面FGH∥平面ADPE； (2)在线段PC上是否存在一点M，使得平面FGM与平面PEB所成角的余弦值为？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由． 解　(1)证明：∵F，G，H分别为PB，EB，PC的中点， ∴FH，FG分别为△PBC，△PBE的中位线， ∴FH∥BC，FG∥PE， ∵PE⊂平面ADPE，FG⊄平面ADPE， ∴FG∥平面ADPE． 在正方形ABCD中， ∵BC∥AD，∴FH∥AD， ∵AD⊂平面ADPE，FH⊄平面ADPE， ∴FH∥平面ADPE． 又FH∩FG＝F，FH，FG⊂平面FGH， ∴平面FGH∥平面ADPE． (2)由条件，知DA，DC，DP两两垂直，以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，2)，E(2，0，1)，B(2，2，0)，F(1，1，1)，G， 则＝(2，0，－1)，＝(2，2，－2)． 设平面PEB的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1，1，2)． 设M(0，m，2－m)，m∈[0，2]， 则＝，＝(－1，m－1，1－m)． 当m＝1，即M为线段PC的中点时，平面FGM的一个法向量为m1＝(0，－1，0)． ∵＝≠，∴m＝1不符合题意． 当m≠1时，设平面FGM的一个法向量为m2＝(a，b，c)， 则 取a＝1，得m2＝为平面FGM的一个法向量， 由平面FGM与平面PEB所成角的余弦值为， 得＝ ＝， 令t＝，解得t＝0或，令＝0，解得m＝； 令＝，解得m＝3(舍去)． ∴在线段PC上存在一点M，使得平面FGM与平面PEB所成角的余弦值为，此时PM＝． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$