1.2.4 二面角-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

1．2．4　二面角

 

知识点一　二面角及其度量

1．(2023·安徽安庆市外国语学校阶段考试)下列说法正确的是(　　)

A．两个相交平面所成角的大小范围是(0，π)

B．二面角的大小范围是[0，π]

C．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角

D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的补角

答案　B

解析　两个相交平面所成角的大小不大于，A错误；二面角的大小范围是[0，π]，B正确；两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角或补角，C错误；二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角或补角，D错误．故选B．

2．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，将△ABD沿AD翻折后，BC＝a，此时二面角B－AD－C的大小为(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

答案　C

解析　由题意可得∠BDC就是二面角B－AD－C的平面角．∵在△BCD中，BC＝BD＝CD＝a，∴△BCD为正三角形，∴∠BDC＝60°．故选C．

3．正三棱锥P－ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则二面角P－AB－C的正切值是________．

答案　2

解析　作PO⊥底面ABC，交底面ABC于点O，连接BO并延长交AC于点D，取AB的中点E，连接PE，CE，则点O在CE上，PE⊥AB，CE⊥AB，∴∠PEO是二面角P－AB－C的平面角，∵正三棱锥P－ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，∴PO＝2，∠PBO＝45°，∠POB＝90°，∴BO＝CO＝2，EO＝1，∴二面角P－AB－C的正切值为tan∠PEO＝＝2．

4．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为3，D，E分别是侧棱CC1和BB1上的点，且CD＝1，AD⊥DE，求截面ADE与底面ABC所成角的余弦值．

解　如图，设BE＝y，由已知可得，在Rt△ADE中，

AE2＝AD2＋DE2，即

12＋y2＝(12＋12)＋[12＋(y－1)2]，

解得y＝．∴S△ADE＝××＝，S△ABC＝×1×1×＝．设截面ADE与底面ABC所成角的大小为θ，则cosθ＝＝．

∴截面ADE与底面ABC所成角的余弦值为．

知识点二　用空间向量求二面角的大小

5．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A－BD－C的大小为(　　)

A． B．

C．或 D．或

答案　C

解析　二面角的范围是[0，π]，并且二面角的大小与两个半平面的法向量的夹角相等或互

补．故选C．

6．在一个二面角的两个面内与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的余弦值为(　　)

A． B．－

C． D．以上都不对

答案　D

解析　∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－．故选D．

7．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，∠EBD＝60°，则二面角F－BE－D的余弦值为________．

答案　

解析　∵DA，DC，DE两两垂直，∴可建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．∵∠EBD＝60°，∴＝，由AD＝3，知BD＝3，DE＝3，AF＝．则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，∴＝(0，－3，)，＝(3，0，－2)．设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝，则n＝(4，2，)为平面BEF的一个法向量．

连接AC，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE，∴平面BDE的一个法向量为＝(3，－3，0)，∴cos〈n，〉＝＝＝．由图可知二面角F－BE－D为锐角，∴二