3.3.2 第2课时 直线与抛物线的位置关系-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 第2课时　直线与抛物线的位置关系 知识点一　直线与抛物线的公共点问题 1．过点(2，4)作直线，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　B 解析　由题意知，点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过点(2，4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．故选B. 2．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y<4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与抛物线C(　　) A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．可能有一个公共点也可能有两个公共点 D．没有公共点 答案　D 解析　C与l的方程联立得y0y＝2，即y2－2y0y＋4x0＝0，Δ＝4y－16x0，由题意y<4x0，故Δ<0，直线l与抛物线C没有公共点． 3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A. B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 答案　C 解析　准线方程为x＝－2，Q(－2，0)，设直线l：y＝k(x＋2)，由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，x＝0，即交点为(0，0)；当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k＜0或0＜k≤1.综上，直线l的斜率k的取值范围是[－1，1]． 4．已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C： (1)有一个公共点？ (2)有两个公共点？ (3)没有公共点？ 解　将直线l和抛物线C的方程联立得 消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，方程(*)只有一个解，为x＝，此时y＝1. 即直线l与抛物线C只有一个公共点. 当k≠0时，方程(*)为一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝－16k＋16， ①当Δ>0，即k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点； ②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点； ③当Δ<0，即k>1时，直线l与抛物线C没有公共点． 综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C有一个公共点； (2)当k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点； (3)当k>1时，直线l与抛物线C没有公共点． [名师点拨]　解决直线与抛物线公共点个数问题的方法是联立直线方程和抛物线方程，并消元，当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判断；当二次项系数等于0时，直线与抛物线交于一点． 知识点二　中点弦问题 5．(2024·江苏南京一中高二期中)过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|＝(　　) A．2 B． C．2 D． 答案　C 解析　由题意得直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.∵直线与抛物线交于A，B两点，∴k2≠0且Δ＝16(k＋2)2－16k2＞0，即k＞－1且k≠0.又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍去)．∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝2. 6．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C交于A，B两点，若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为__________． 答案　y＝x 解析　由题意知，抛物线C的方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得由①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．又y1＋y2＝4，∴＝＝1.∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x. [名师点拨]　涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． 注意：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． 知识点三　直线与抛物线位置关系的综合应用 7．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1＝(　　) A．45° B．90° C．60° D．120° 答案　B 解析　如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1.又∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO.同理∠BFB1＝∠B1FO.于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.故选B. 8．[多选]已知抛物线C：y2＝4px(p>0)的焦点为F，过焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点S，与准线l交于点T，且|AF|＝2|AS|，则(　　) A．|TS|＝2p B.＝2 C．|BF|＝p D．|AF|＝p 答案　ABD 解析　如图，过点A作准线的垂线，垂足为M，AM与y轴交于点N，因为|AF|＝2|AS|，所以＝，所以|AN|＝|OF|＝，所以|AM|＝p，根据抛物线的定义知|AF|＝p，因为|AS|＝|AF|＝p，所以|SF|＝2p，所以|TS|＝2p.根据抛物线的性质＋＝，所以＋＝，解得|BF|＝4p，所以＝＝2.故选ABD. 9．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程； (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值． 解　(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，有4x2－5px＋p2＝0， 所以x1＋x2＝. 由抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 所以p＝4， 从而抛物线的方程是y2＝8x. (2)因为p＝4，所以4x2－5px＋p2＝0可化简为x2－5x＋4＝0. 又x1<x2， 所以x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4， 所以A(1，－2)，B(4，4)． 设C(x3，y3)， 则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)． 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2. 一、选择题 1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　) A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 答案　B 解析　由题意，得|AB|＝5＋2＝7.因为|AB|min＝4，所以这样的直线有且仅有两条． 2．已知抛物线y2＝8x，过点P(3，2)引抛物线的一条弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在直线l的方程为(　　) A．2x－y－4＝0 B．2x＋y－4＝0 C．2x－y＋4＝0 D．2x＋y＋4＝0 答案　A 解析　设l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＝8x1，y＝8x2，两式相减，得(y1＋y2)·(y1－y2)＝8(x1－x2)．又P(3，2)是AB的中点，∴y1＋y2＝4.易知直线l的斜率存在，∴直线l的斜率k＝＝2，∴直线l的方程为2x－y－4＝0.故选A. 3．与直线2x－y＋4＝0平行且与抛物线y＝x2只有一个公共点的直线方程为(　　) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 答案　D 解析　设所求直线方程为2x－y＋m＝0，与y＝x2联立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1，即所求直线方程为2x－y－1＝0. 4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝(　　) A． B． C． D．2 答案　D 解析　由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则直线方程为y＝k(x－2)，k≠0，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为·＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0　①，将上面各个量代入①，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.故选D. 5．[多选](2023·重庆八中高二期末)设A，B是抛物线y＝x2上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是(　　) A．若OA⊥OB，则|OA|·|OB|≥2 B．若OA⊥OB，则直线AB过定点(1，0) C．若OA⊥OB，则O到直线AB的距离不大于1 D．若直线AB过抛物线的焦点F，且|AF|＝，则|BF|＝1 答案　ACD 解析　对于A，设A(x1，x)，B(x2，x)，∵OA⊥OB，∴·＝0，∴x1x2＋(x1x2)2＝0，∴x1x2(1＋x1x2)＝0，∴x2＝－，∴|OA|·|OB|＝＝≥2，当且仅当x1＝±1时等号成立，故A正确；对于B，若OA⊥OB，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，联立方程消去y得x2－kx－m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k，x1x2＝－m，y1y2＝xx＝(x1x2)2＝m2，∵OA⊥OB，∴·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，∴－m＋m2＝0，∴m＝0或1，易知直线AB不过原点，∴m＝1，∴直线AB的方程为y＝kx＋1，恒过定点(0，1)，故B错误；对于C，原点O到直线AB的距离d＝，∵k2≥0，∴k2＋1≥1，∴d≤1，故C正确；对于D，直线AB过抛物线的焦点F，设直线AB的方程为y＝kx＋，联立方程消去y得x2－kx－＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设点A在y轴右侧，则x1＋x2＝k，x1x2＝－，∴|AF|＝y1＋＝，∴y1＝，∴x1＝，∴x2＝＝－，∴y2＝，∴|BF|＝y2＋＝1，故D正确．故选ACD. 二、填空题 6．已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2有两个公共点，则a的取值范围是________． 答案　∪(0，＋∞) 解析　由得ax2－x－1＝0.由题意得解得a>－且a≠0. 7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果y＋y＝24，那么|AB|＝________． 答案　8 解析　因为y＝4x1，y＝4x2，所以4(x1＋x2)＝y＋y＝24，即x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 8．(2024·湖北黄冈期末调研)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，则机器人行进的轨迹方程为________，若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________． 答案　y2＝4x　(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　依题意可知，机器人行进的轨迹方程为y2＝4x.过点P(－1，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，联立消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.由k2≠0且Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，得k2＞1，解得k＜－1或k＞1. 三、解答题 9.如图，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求出这个最大值． 解　由解得或 所以A(4，4)，B(1，－2)， 则|AB|＝3. 设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则有d＝＝＝|(y0－1)2－9|. 因为－2＜y0＜4，所以(y0－1)2－9＜0. 所以d＝[9－(y0－1)2]． 从而当y0＝1时，dmax＝，Smax＝××3＝. 因此，当点P的坐标为时，△PAB的面积取得最大值，为. 10.(2023·山东泰安高二期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M到焦点F的距离为5，点M到x轴的距离为. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C的准线l与x轴交于点Q，过点Q作直线交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值． 解　(1)设点M(x0，y0)，则|y0|＝， 所以()2＝2px0，解得x0＝3. 因为|MF|＝x0＋＝3＋＝5，所以p＝4. 所以抛物线C的方程为y2＝8x. (2)由题意知，F(2，0)，Q(－2，0)，直线AB的斜率必存在，且不为零． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx＋2k， 由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0. 所以k2≠0且Δ＝(4k2－8)2－16k4＝64(1－k2)>0， 即k2<1且k2≠0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝4， 所以k1＋k2＝＋＝＋ ＝k· ＝k·＝0，所以k1＋k2的值为0. 11．已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线l1：x－my－＝0与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． (1)证明：y1y2为定值； (2)当p＝2时，直线l2：x＋y－＝0(m≠0)与抛物线交于C(x3，y3)，D(x4，y4)两点，其中y1>0，y3<0.是否存在实数m，使得经过A，C两点的直线斜率为2？若存在，求线段BD的长；若不存在，说明理由． 解　(1)证明：由得 y2－2mpy－p2＝0， 因为Δ＝(－2mp)2＋4p2>0，所以y1y2＝－p2，为定值． (2)当p＝2时，抛物线y2＝4x，直线l1：x－my－1＝0，直线l2：x＋y－1＝0(m≠0)，所以抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，l1⊥l2且过定点F(1，0)， 假设存在实数m，使得经过A，C两点的直线的斜率为2， 设直线AC：y＝2x＋b(b≠0)， 由得y2－2y＋2b＝0， 因为Δ＝4－8b>0， 所以b<，且b≠0，y1＋y3＝2，y1y3＝2b， 又＝(x1－1，y1)，＝(x3－1，y3)，FA⊥FC， 所以·＝(x1－1)(x3－1)＋y1y3＝0， 即＋y1y3＝0， 所以－＋1＋y1y3＝0， 所以－＋1＋2b＝0， 所以b2＋12b＝0， 解得b＝－12或b＝0(舍去)， 所以y2－2y－24＝0，y1＝6，y3＝－4， 由(1)可知y1y2＝－p2， 可得y1y2＝－4，y3y4＝－4， 所以y2＝－，y4＝1， 所以B，D， 所以|BD|＝＝. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$