3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 3．3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 知识点一　由抛物线的标准方程研究几何性质 1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　C 解析　y2＝8x的焦点到准线的距离为p＝4. 2．若抛物线y2＝4x上一点P(x0，y0)到点(5，0)的距离最小，则点P的横坐标x0为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　∵P(x0，y0)在抛物线y2＝4x上，∴y＝4x0，则点P与点(5，0)的距离d＝＝＝.∵x0≥0，∴当x0＝3时，点P与点(5，0)的距离最小． 知识点二　由抛物线的几何性质求标准方程 3．已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为(　　) A．x2＝2y B．x2＝2y或x2＝－2y C．x2＝4y D．x2＝4y或x2＝－4y 答案　D 解析　由题设知抛物线的焦点坐标为(0，1)或(0，－1)，所以抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝－4y.故选D. 4．已知动圆M经过定点A(1，0)，且和直线x＝－1相切，则点M的轨迹方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝－2x D．y2＝－4x 答案　B 解析　因为动圆M经过定点A(1，0)，且和直线x＝－1相切，所以点M到点A(1，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离，即点M的轨迹是以点A(1，0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，所以点M的轨迹方程为y2＝4x. 5．已知△AOB是边长为1的等边三角形，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 答案　C 解析　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C. 6．已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为________． 答案　x2＝4y 解析　由e＝1，得焦点为(0，1)，∴抛物线的标准方程为x2＝4y. 知识点三　焦点弦问题 7．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　) A. B．6 C．12 D．7 答案　C 解析　抛物线C：y2＝3x的焦点为F，所以AB所在的直线方程为y＝，将y＝代入y2＝3x，消去y整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，由抛物线的定义可得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12. [规律方法]　过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可． 8．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　) A． B． C． D．2 答案　C 解析　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，F(1，0)，则|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2.设AB的方程为x＝ty＋1，联立消去x得y2－4ty－4＝0，∴y1y2＝－4，∴y2＝－，∴S△AOB＝|OF|·|y1－y2|＝.故选C. 9．[多选](2023·江西赣州第三中学高二期中)已知O为坐标原点，M(2，2)，P，Q是抛物线C：y2＝4x上两点，F为其焦点，则下列说法正确的是(　　) A．△PMF周长的最小值为3＋ B．若＝λ，则|PQ|的最小值为2 C．若直线PQ过点F，则直线OP，OQ的斜率之积恒为－4 D．若△POF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的面积为 答案　ACD 解析　因为抛物线C：y2＝4x，F(1，0)，M(2，2)，所以|MF|＝＝，准线l：x＝－1，对于A，过P作PN⊥l，垂足为N，则|PF|＋|PM|＝|PN|＋|PM|≥|MN|＝2＋1＝3，所以△PMF周长的最小值为3＋，故A正确； 对于B，若＝λ，则弦PQ过F，过P作l的垂线，垂足为P′，过Q作l的垂线，垂足为Q′，设PQ的中点为G，过G作GG′⊥l，垂足为G′，则|PQ|＝|PF|＋|QF|＝|PP′|＋|QQ′|＝2|GG′|≥2×2＝4，即|PQ|的最小值为4，故B不正确； 对于C，若直线PQ过点F，设直线PQ：x＝my＋1，联立消去x得y2－4my－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以kOP·kOQ＝·＝·＝＝－4，故C正确；对于D，因为OF为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为，因为△POF的外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为1＋＝，所以该圆的面积为π×＝，故D正确．故选ACD. 10．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求弦AB的中点M到抛物线准线的距离． 解　抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝. 一、选择题 1．抛物线y2＝－4px(p>0)的焦点为F，准线为l，则p表示(　　) A．点F到y轴的距离 B．点F到准线l的距离 C．点F的横坐标 D．点F到抛物线上一点的距离 答案　A 解析　∵焦点到准线的距离为2p，∴p表示点F到y轴的距离．故选A. 2．一个动圆圆心在y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则此动圆必过定点(　　) A．(4，0) B．(2，0) C．(0，2) D．(0，－2) 答案　B 解析　由题意得，抛物线的焦点坐标为F(2，0)，准线方程为x＝－2.因为动圆与直线x＝－2相切，圆心在抛物线上，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，即动圆必过抛物线的焦点F(2，0)．故选B. 3．在平面直角坐标系Oxy中，已知直线l：y＝3与抛物线C：x2＝py(p>0)相交于A，B两点，且OA⊥OB，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝6x B．y2＝3x C．x2＝6y D．x2＝3y 答案　D 解析　依题意，不妨设点A在y轴左侧，由得A(－，3)，B(，3)，∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，即·＝－1，∴p＝3，∴抛物线C的方程为x2＝3y.故选D. 4．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM(O为坐标原点)的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　D 解析　∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝6，∴p＝8.故选D. 5．[多选]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q，若抛物线C上存在一点E(t，2)到焦点F的距离等于3，则下列说法正确的是(　　) A．抛物线C的方程是x2＝2y B．抛物线C的准线方程是y＝－1 C．sin∠QMN的最小值是 D．|AB|的最小值是6 答案　BC 解析　抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线方程为y＝－，由点E(t，2)到焦点F的距离等于3，可得2＋＝3，解得p＝2，则抛物线C的方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1，A不正确，B正确；由题意知直线l的斜率存在，F(0，1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋1，由消去y得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，所以AB的中点Q的坐标为(2k，2k2＋1)，|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋2＋2＝4k2＋4，所以圆Q的半径为r＝2k2＋2，在等腰三角形QMN中，sin∠QMN＝＝＝1－≥1－＝，当且仅当k＝0时取等号，所以sin∠QMN的最小值为，C正确；|AB|＝y1＋y2＋2＝4k2＋4≥4，即|AB|的最小值为4，D不正确．故选BC. 二、填空题 6．AB是过抛物线x2＝4y焦点的弦，且|AB|＝10，则AB的中点的纵坐标为________． 答案　4 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝y1＋y2＋2＝10，即y1＋y2＝8，故AB的中点的纵坐标为4. 7．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝________． 答案　±2 解析　设正三角形的边长为x.36＝x2sin60°，∴x＝12.当a>0时，将(6，6)代入y2＝ax得a＝2；当a<0时，将(－6，6)代入y2＝ax得a＝－2.综上，a＝±2. 8．(2023·河北保定一中高二期末)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，|AB|＝________． 答案　6　4 解析　如图，在等边三角形ABF中，|DF|＝p，|BD|＝p，则点B的坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.由p＝6，得点B的坐标为(2，－3)，故|AB|＝4. 三、解答题 9．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示．为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m．若行车道总宽度AB为8 m. (1)计算车辆通过隧道时的限制高度； (2)现有一辆载重汽车宽3.5 m，高4.2 m，试判断该车能否安全通过隧道？ 解　(1)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 根据题意，此抛物线经过点(－5，－5)， 代入抛物线方程解得p＝， 所以抛物线的方程为x2＝－5y. 在此方程中令x＝－4，得y＝－， 因此7－－0.5＝3.3， 所以车辆通过隧道时的限制高度为3.3 m. (2)对于抛物线x2＝－5y，令x＝3.5，得y＝－， 因为7－－0.5＝4.05<4.2， 所以该车不能安全通过隧道． 10．已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证： (1)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝； (2)＋为定值. 证明　(1)当AB的斜率存在时， 设直线AB：y＝k(k≠0)， 由 消去y得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0， 所以x1＋x2＝p，x1x2＝. 又k＝tanθ＝，代入|AB|＝x1＋x2＋p， 得|AB|＝·p＋p＝； 当AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝， 此时|AB|＝2p，也满足|AB|＝. 综上，|AB|＝. (2)由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋， 所以＋＝＋. 当AB的斜率不存在时，x1＝x2＝， ＋＝＋＝＋＝； 当AB的斜率存在时， ＋＝ ＝＝＝. 综上，＋为定值. 11．已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点M到焦点F的距离为5. (1)求p的值； (2)如图，已知AB为抛物线上过焦点F的任意一条弦，弦AB的中点为D，DP垂直AB与抛物线准线交于点P，若|PD|＝|AB|，求直线AB的方程． 解　(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为 ，准线方程为x＝－， 由抛物线定义得5＝4＋，所以p＝2. (2)由(1)得抛物线方程为y2＝4x， 设直线AB：x＝my＋1，与y2＝4x联立，消去x，整理得y2－4my－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，有 则弦长|AB|＝x1＋x2＋2＝my1＋my2＋4＝4m2＋4，弦AB的中点坐标为(2m2＋1，2m)， 故弦AB的垂直平分线的方程为 y－2m＝－m(x－2m2－1)． 令x＝－1，得y＝2m3＋4m， 即P(－1，2m3＋4m)， 故点P到直线AB的距离|PD|＝＝， 所以＝4m2＋4， 所以m＝±， 直线AB的方程为x＝±y＋1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$