3.3.1 抛物线及其标准方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 3．3　抛物线 3．3.1　抛物线及其标准方程 知识点一　抛物线的定义 1．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 答案　C 解析　方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点M(x，y)到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线．故选C. 2．(2023·四川成都高二期中)动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 答案　D 解析　∵动点P到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，∴动点P到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离，∴由抛物线的定义知，该动点的轨迹是以点(3，0)为焦点，直线x＝－3为准线的抛物线． 3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　解法一：∵y＝4，∴x2＝4y＝16，∴x＝±4，∴A(±4，4)，又焦点坐标为(0，1)，∴所求距离为＝5. 解法二：抛物线的准线方程为y＝－1，∴点A到准线的距离为5，∵点A到准线的距离与点A到焦点的距离相等，∴所求距离为5. 4．[易错题]给出下列命题： ①到定点F(－1，0)的距离和到定直线x＝1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线； ②到定点F(2，1)的距离和到定直线3x－2y－4＝0的距离相等的动点P的轨迹为抛物线； ③抛物线的焦点一定在y轴上． 其中假命题是__________(填序号)． 答案　②③ 解析　由抛物线的定义，知①为真命题；因为定点F(2，1)在定直线3x－2y－4＝0上，可知动点P的轨迹为一条直线，所以②为假命题；因为抛物线的焦点可以在x轴上，所以③为假命题． [易错分析]　本题容易忽视抛物线定义中的限制条件“定直线不经过定点”，而误认为②是真命题． 知识点二　抛物线的标准方程 5．焦点在坐标轴上的抛物线过点(－2，3)，则它的标准方程是(　　) A．x2＝－y或y2＝x B．y2＝－x或x2＝y C．x2＝y D．y2＝－x 答案　B 解析　∵点(－2，3)在第二象限，∴设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)或y2＝－2p1x(p1>0)，把(－2，3)代入，得(－2)2＝2p·3或9＝－2p1·(－2)，∴2p＝或－2p1＝－.故所求抛物线的标准方程为x2＝y或y2＝－x. 6．[易错题]抛物线y＝2x2的焦点坐标是________，准线方程为________． 答案　　y＝－ 解析　由抛物线方程即x2＝y，可知焦点在y轴上，且＝，所以焦点坐标是，准线方程为y＝－. [易错分析]　本题容易忽视抛物线标准方程的形式特征而致误． 7．根据下列条件求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)过点P(2，－4)； (3)抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 解　(1)双曲线的方程为－＝1，其左顶点为(－3，0)，由题意，设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，则抛物线的焦点为，－＝－3，解得p＝6，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－12x. (2)可设方程为y2＝mx或x2＝ny，将点P的坐标代入方程求得m＝8，n＝－1，所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝－y. (3)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，则抛物线的准线方程为x＝－， 由抛物线定义得5＝|AF|＝，又(－3)2＝2pm，显然p，m同号，从而得或解得p＝±1或p＝±9，所以所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 知识点三　与抛物线有关的最值问题 8．(2023·辽宁辽阳高二期末)已知点M是抛物线x2＝4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上一动点，则|MA|＋|MF|的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　连接MF，MC，过点M作准线的垂线MP，垂足为P，如图所示，由抛物线的定义知|MP|＝|MF|.当M，A，P三点共线时，|MA|＋|MF|的值最小，且最小值为|CP|－1.因为抛物线的准线方程为y＝－1，而C(1，4)，所以|CP|＝4＋1＝5.所以(|MA|＋|MF|)min＝5－1＝4.故选B. [名师点拨]　抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和或差的最值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． 9．已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，F(1，0)，A(4，3)，则|PA|－|PF|的最大值为________，最小值为________． 答案　3　－3 解析　可判断A，F都在抛物线的内侧，∴||PA|－|PF||≤|FA|，即－|FA|≤|PA|－|PF|≤|FA|，而|FA|＝3，∴|PA|－|PF|的最大值是3，最小值是－3. 知识点四　抛物线的实际应用 10.河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面8 m，拱圈内水面宽24 m，一条船在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽6 m. (1)试建立适当的平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线的标准方程； (2)近日水位暴涨了1.6 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？ 解　(1)设抛物线型拱桥与水面的两交点分别为A，B，以AB的垂直平分线为y轴，拱圈最高点O为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则A(－12，－8)，B(12，－8)， 设拱桥所在抛物线的方程为 x2＝－2py(p>0)， 因为点A(－12，－8)在抛物线上，代入解得p＝9， 故拱桥所在抛物线的标准方程是x2＝－18y. (2)因为x2＝－18y，故当x＝3时，y＝－0.5， 故当水位暴涨1.6 m后，船身至少应降低6.5＋1.6－(8－0.5)＝0.6 m， 故船身至少应降低0.6 m，才能通过桥洞． 11.如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知灯口圆的直径为60 cm，灯的深度为40 cm. (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点．光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66 cm，并且保持光源与顶点的距离不变，求探照灯的深度． 解　(1)如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系， 以抛物线的顶点为原点，旋转轴为x轴(抛物线的开口方向是x轴的正方向)，1 cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)． 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为(40，30)， 代入抛物线方程，得302＝2p×40， 解得p＝，则焦点坐标为. 故光源应安置在旋转轴上与顶点相距 cm＝5.625 cm处． (2)由(1)可得，抛物线的方程为y2＝x. 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点的纵坐标变为＝33， 故将y＝33代入抛物线方程，解得x＝＝48.4， 此时探照灯的深度为48.4 cm. 一、选择题 1．抛物线y2＝8x的准线方程是(　　) A．x＝－2 B．x＝－4 C．y＝－2 D．y＝－4 答案　A 解析　∵y2＝8x＝2·4x，∴p＝4，准线方程为x＝－＝－2. 2．已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 答案　C 解析　抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，点P的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2. 3．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 答案　A 解析　设动圆的半径为r，圆心为O′(x，y)，则O′到点(2，0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到点(2，0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义，得动圆圆心的轨迹方程为y2＝8x.故选A. 4．(2023·三湘名校高二联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　) A．|P1F|＋|P2F|＝|P3F| B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2 C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F| D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F| 答案　C 解析　由点P1，P2，P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，两边同时加上p，得2＝x1＋＋x3＋，即2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|.故选C. 5．[多选]已知点F(1，0)为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为(　　) A．y2＝4x B．x2＝4y C.＋＝1 D.－＝1 答案　AD 解析　y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，A正确；x2＝4y的焦点坐标为(0，1)，B不正确；当θ＝时，＋＝1表示圆，当θ≠时，＋＝1表示的曲线的焦点为(±，0)或(0，±)，又0＜θ＜，所以cos2θ－sin2θ＝cos2θ≠1，sin2θ－cos2θ＝－cos2θ≠1，均不满足，C不正确；－＝1的焦点坐标为(±1，0)，D正确．故选AD. 二、填空题 6．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2，0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与对称轴平行)． 答案　x＝－2 解析　由直线y＝－2平行于抛物线的对称轴知A(2，0)为抛物线的焦点，故抛物线的准线方程为x＝－2. 7．已知点A(0，2)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B点作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝________． 答案　 解析　由抛物线的定义可得|BM|＝|BF|，F，又AM⊥MF，故点B为线段FA的中点，即B，所以1＝2p×⇒p＝. 8．(2024·山东日照高二期中)河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则当水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距________ m时，小船开始不能通航． 答案　2 解析　如图，以拱桥的拱顶为原点，过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航． 三、解答题 9．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且与y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程． 解　抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F的坐标为， 则直线l的方程为y＝2， 它与y轴的交点为A， ∴△OAF的面积为··＝4， 解得a＝±8. ∴抛物线的方程为y2＝±8x. 10．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点． (1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1，1)，求|PA|＋d的最小值； (2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值． 解　(1)依题意，抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知|PF|＝d， 于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值． 如图，连接AF，交抛物线于点P， 则最小值为＝. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2， 因为2＞2，所以点B在抛物线内部． 过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)， 由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$