3.2.2 第2课时 直线与曲线的位置关系-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 第2课时　直线与双曲线的位置关系 知识点一　直线与双曲线的公共点问题 1．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线l的条数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　由双曲线的方程知，点P(1，0)为双曲线的一个顶点，过点P(1，0)有一条直线与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线均只有一个公共点．故选B. 2．过双曲线－＝1(a>0)的右焦点F作一条直线，若当直线的斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个公共点，当直线的斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同的公共点，则a的取值范围为(　　) A．(1，) B． C．(，2) D．(2，) 答案　B 解析　由题意可得且双曲线的渐近线的斜率为±，则1<<2，解得1<a<. 3．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解　联立消去y， 得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． (1)由得－<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解， 即直线l与双曲线有两个不同的公共点． (2)由得k＝±， 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x＝5， 故方程(*)只有一个实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点． 故当k＝±或±1时， 直线l与双曲线有且只有一个公共点． (3)由得k<－或k>， 此时方程(*)无实数解， 即直线l与双曲线没有公共点． [名师点拨]　(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论． (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 知识点二　弦长问题 4．过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为(　　) A．2 B．4 C．8 D．4 答案　B 解析　双曲线x2－y2＝4的焦点为(±2，0)，把x＝2代入双曲线方程，得y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.故选B. 5．过双曲线－＝1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有________条． 答案　1 解析　依题意，得右焦点F(5，0)，所以过F且垂直于x轴的直线是x＝5，代入－＝1，得y＝±，所以此时弦长为×2＝.当该直线不垂直于x轴时，分两种情况：①如果直线与双曲线的右支有两个交点，则弦长一定比长；②直线与双曲线交于左、右两支时，因为两顶点间距离为4，即左、右两支上的点的最短距离是4，此时弦长不可能为.故这样的直线只有一条． 6．(2023·山西大同第三中学高二期中)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，且|PF1|－|PF2|＝4. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点D(4，0)的直线l交双曲线C于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点O，求弦长|AB|. 解　(1)由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝4，解得a＝2. 因为双曲线C的离心率为，所以＝＝，解得c＝2. 因为c2＝a2＋b2，所以b2＝c2－a2＝8. 故双曲线C的标准方程为－＝1. (2)当直线l的斜率为0时，此时A，B两点为双曲线的顶点，故以AB为直径的圆不过原点，不符合题意，舍去； 所以直线l的斜率不为0， 设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立整理得(2m2－1)y2＋16my＋24＝0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝. 因为以AB为直径的圆过原点O，所以⊥， 所以·＝x1x2＋y1y2＝0， 又x1x2＝(my1＋4)(my2＋4)＝m2y1y2＋4m(y1＋y2)＋16， 所以(m2＋1)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝0， 即(m2＋1)·＋4m·＋16＝0， 化简整理得8－8m2＝0，即m2＝1， 则|y1－y2|＝＝＝4， 故|AB|＝|y1－y2|＝×4＝8. 7．(2023·河北衡水中学高二期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，虚轴长为4. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点(0，1)，倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积． 解　(1)依题意，可得解得 所以双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)直线l的方程为y＝x＋1， 联立消去y，得3x2－2x－5＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝－， 则|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝×＝， 原点到直线l的距离为d＝， 所以S△OAB＝|AB|·d＝××＝. [规律方法]　求弦长的两种方法 (1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出点的坐标，再利用两点间距离公式求弦长． (2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与双曲线C：－＝1相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ ＝. 知识点三　中点弦问题 8．(2024·江西宜春二中高二校考阶段练习)已知双曲线C的方程为x2－＝1，若直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB的中点为M(3，2)，则直线l的方程为________． 答案　6x－y－16＝0 解析　若直线l⊥x轴，则A，B关于x轴对称，此时线段AB的中点在x轴上，不符合题意；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的斜率为k，则则(x－x)－＝0，所以(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，化简得·＝4.因为线段AB的中点为M(3，2)，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，所以k＝4，解得k＝6，经检验符合题意．所以直线l的方程为6x－y－16＝0. 9．(2023·辽宁抚顺六校高二期末)已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________． 答案　±1 解析　由消去y，得x2－2mx－m2－2＝0.Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m.∴线段AB的中点坐标为(m，2m)．又点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，∴5m2＝5，∴m＝±1. 10．已知点F1，F2为双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l过点(0，1)且与双曲线C交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，求直线l的方程． 解　(1)在直角三角形MF1F2中，因为∠MF1F2＝30°， 所以tan∠MF1F2＝，cos∠MF1F2＝， 解得|MF2|＝，|MF1|＝. 由双曲线的定义可知|MF1|－|MF2|＝2a＝2，所以－＝2⇒c＝，b2＝c2－a2＝2， 所以双曲线C的方程是x2－＝1. (2)由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋1， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为AB中点的横坐标为1， 所以x1＋x2＝2. 联立整理得(2－k2)x2－2kx－3＝0， 因为有两个交点，所以2－k2≠0且 Δ＝(－2k)2＋12(2－k2)＝24－8k2>0， 解得－<k<且k≠±， x1＋x2＝＝2，化简得k2＋k－2＝0， 解得k＝1或k＝－2(舍去)， 所以直线l的方程为y＝x＋1. 一、选择题 1．直线y＝与双曲线－y2＝1公共点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　因为直线y＝与双曲线的一条渐近线y＝x平行，所以直线与双曲线只有一个公共点．故选B. 2．已知点P(3，－4)是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)渐近线上的一点，E，F分别是左、右焦点，若·＝0，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案　C 解析　设E(－c，0)，F(c，0)，则·＝(3＋c，－4)·(3－c，－4)＝9－c2＋16＝0，得c2＝25，排除A，B；又由D中双曲线的渐近线方程为y＝±x，点P不在其上，排除D.故选C. 3．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　　) A． B．(，＋∞) C． D．∪(，＋∞) 答案　D 解析　由消去y并整理得(1－a2)·x2＋2a2x－2a2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a2≠0，即a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0，即a2<2，所以a2∈(0，1)∪(1，2)．由e＝，得e∈∪(，＋∞)． 4．[多选](2023·湖南名校高二联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点M(3，)，并且它的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的渐近线为y＝±x C．双曲线C的方程为－y2＝1 D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点 答案　AC 解析　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx±ay＝0，圆心(2，0)到渐近线的距离为d＝＝1，则点(2，0)到直线bx＋ay＝0的距离为d＝＝＝1，于是a＝b，c＝2b，双曲线C的离心率e＝＝，故A正确；由a＝b，得双曲线C的渐近线为y＝±x，故B不正确；由a2＝3b2，双曲线C的方程化为－＝1，又点(3，)在双曲线上，所以－＝1，所以b2＝1，a2＝3.所以双曲线C的方程为－y2＝1，故C正确；联立消去x得y2－2y＋2＝0.因为Δ＝0，所以直线x－y－1＝0与C只有一个公共点，故D不正确． 5．[多选]已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝，点P为双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内心，过原点O作PI的平行线交PF1于K，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，则下列结论正确的是(　　) A．λ＝ B．λ＝ C．I的横坐标为a D．|PK|＝a 答案　ACD 解析　∵|F1F2|＝，∴2c＝＝，整理得e2－e－1＝0(e为双曲线的离心率)，∵e>1，∴e＝.设△PF1F2内切圆的半径为r，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝|PF1|·r，S△IPF2＝|PF2|·r，S△IF1F2＝·2c·r＝cr，∵S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，∴|PF1|·r＝|PF2|·r＋λcr，故λ＝＝＝＝，故A正确，B错误；设内切圆与PF1，PF2，F1F2的切点分别为M，N，T，可得|PM|＝|PN|，|F1M|＝|F1T|，|F2N|＝|F2T|.由|PF1|－|PF2|＝|F1M|－|F2N|＝|F1T|－|F2T|＝2a，|F1F2|＝|F1T|＋|F2T|＝2c，可得|F2T|＝c－a，可得T的坐标为(a，0)，即I的横坐标为a，故C正确；设PI的延长线与F1F2交于H，可得＝，由|PF1|－|PF2|＝2a，可得＝　①，由三角形相似可得＝　②，由①②可得|PK|＝a，故D正确．故选ACD. 二、填空题 6．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长为__________． 答案　2 解析　由消去y，得x2＋3x＋2＝0，得x＝－1或x＝－2，当x＝－1时，y＝0，当x＝－2时，y＝－，∴|AB|＝＝2. 7．直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则双曲线C的离心率为________． 答案　 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线OM的斜率为k0，直线l的斜率为k1，则－＝1　①，－＝1　②，两式相减得＝，所以＝，所以＝＝k0k1＝1，所以a2＝b2，即a＝b，所以e＝＝＝. 8．(2023·河北唐山高二期末)双曲线C：－＝1(a＞0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝b与C的右支交于点P，若|PF1|＝2|PF2|，且该双曲线的焦点到其渐近线的距离是，则双曲线C的方程为________． 答案　－＝1 解析　∵直线y＝b与双曲线C：－＝1(a＞0，b>0)的右支交于点P，∴把y＝b代入C的方程可得x＝±2a，∴P(2a，b)，∵F1(－c，0)，F2(c，0)，由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∴＝4a　①，＝2a　②，由①2－②2得，8ac＝12a2，∵a>0，∴2c＝3a，∴＝.设双曲线C的一条渐近线方程为bx－ay＝0，∵该双曲线的焦点到其渐近线的距离是，则F2(c，0)到直线bx－ay＝0的距离是，∴＝，得b＝，再由a2＋b2＝c2，＝，解得a＝2，∴双曲线C的方程为－＝1. 三、解答题 9．斜率为2的直线l与双曲线2x2－y2＝6交于A，B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程． 解　设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得2x2－(2x＋m)2＝6， 得2x2＋4mx＋m2＋6＝0. 则x1＋x2＝－2m，x1x2＝. 又|AB|＝× ＝×＝×＝2， 得m＝±2，满足Δ＞0. 故所求直线l的方程为y＝2x±2. 10．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t(O为坐标原点)．求t的值及点D的坐标． 解　(1)由题意，知a＝2，所以一条渐近线方程为y＝x，即bx－2y＝0， 所以＝，又c2＝a2＋b2＝12＋b2， 所以b2(12＋b2)＝3(b2＋12)，所以b2＝3， 所以双曲线的方程为－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0>0)， 则由＋＝t，得(x1，y1)＋(x2，y2)＝t(x0，y0)， 所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 将直线方程代入双曲线方程，消去y得x2－16x＋84＝0，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝x1－2＋x2－2＝(x1＋x2)－4＝12，所以所以 由＋＝t，得(16，12)＝(4t，3t)， 所以t＝4，点D的坐标为(4，3)． 11．(2023·山东聊城高二期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，且点A到C的渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)异于A，B的两点M，N在C上，若直线NB在y轴上的截距是直线MA在y轴上截距的2倍，证明直线MN过定点，并求出定点坐标． 解　(1)由已知得a＝2， 所以双曲线C的渐近线方程为bx±2y＝0， 因为点A到渐近线的距离为， 所以＝，解得b＝， 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)由题意知直线MN的斜率不为0， 设lMN：x＝my＋t，与－＝1联立， 消去x得(m2－2)y2＋2mty＋t2－4＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则m2－2≠0，且Δ＝(2mt)2－4(m2－2)(t2－4)>0， 即t2＋2m2>4，且m2≠2. y1＋y2＝－，y1y2＝. 又lMA：y＝(x＋2)，令x＝0，得y＝； lNB：y＝(x－2)，令x＝0，得y＝， 因为直线NB在y轴上的截距是直线MA在y轴上截距的2倍，所以＝， 即2y1(x2－2)＋y2(x1＋2)＝0， 所以2y1(my2＋t－2)＋y2(my1＋t＋2)＝0， 即3my1y2＋2(t－2)y1＋(t＋2)y2＝0， 将y1y2＝，y2＝－－y1代入， 整理得(t2－4t－12)＋(t－6)y1＝0， 因为当m，y1变化时，上式恒成立， 所以解得t＝6. 所以lMN：x＝my＋6，即直线MN过定点T(6，0)． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$