3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 3．2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 知识点一　由双曲线的标准方程研究几何性质 1．双曲线－x2＝1的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　C 解析　双曲线－x2＝1，焦点在y轴上，且a2＝2，b2＝1，故a＝，b＝1，则其渐近线方程为y＝±x. 2．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个公共点，则a的取值范围是________． 答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析　∵双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，∴若直线x＝a与双曲线有两个公共点，则a>2或a<－2. 3．等轴双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为________． 答案　 解析　由题意可知，双曲线C：－＝1为等轴双曲线，故双曲线C的实半轴长与虚半轴长相等，即a＝b，所以渐近线方程为y＝±x，又2c＝4，所以c＝2，所以双曲线C的焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0)，所以一个焦点到一条渐近线的距离为d＝＝. 4．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程． 解　把方程化为标准形式为x2－＝1， 由此可知，实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2. 顶点坐标是(－1，0)，(1，0)． c＝＝＝， 即焦点坐标是(－，0)，(，0)． 离心率e＝＝， 渐近线方程为x±＝0，即y＝±2x. 知识点二　求双曲线的离心率 5．[多选]下列方程表示的曲线中，离心率为的是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案　BD 解析　∵e＝，c2＝a2＋b2，∴e2＝＝＝1＋＝＝，故＝，观察各曲线方程得B，D符合．故选BD. 6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，其离心率e的取值范围为(　　) A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(1，] D．(1，] 答案　D 解析　依题意，点(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，∴≤a，得e≤.又e>1，∴1<e≤.故选D. 7．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________． 答案　 解析　如图，不妨设点P在双曲线右支上，F1为左焦点，F2为右焦点，由题意，得 ⇒又|F1F2|＝2c， ∴|PF2|最小．由余弦定理，得＝cos30°， ∴2ac＝3a2＋c2，等式两边同除以a2，得 e2－2e＋3＝0，∴e＝. 8．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，经过F1且垂直于x轴的直线交双曲线于P，Q两点，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 解　设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1， ∴y＝±. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知 |PF1|＝|F1F2|， ∴＝2c，∴c2－2ac－a2＝0. ∴－2×－1＝0，即e2－2e－1＝0. ∴e＝1＋或e＝1－(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋. [规律方法]　求双曲线离心率的三种方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝求解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． 知识点三　由双曲线的几何性质求标准方程 9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(4，0)，过F和P(0，2b)两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案　B 解析　右焦点为F(4，0)，则a2＋b2＝(4)2＝48，过F和P(0，2b)两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则＝－，解得a＝2，b＝＝6，所以双曲线的方程为－＝1. 10．中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点P(1，3)，离心率为的双曲线的标准方程为________． 答案　－＝1 解析　由离心率为，得e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b.故设所求双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．又点P(1，3)在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. [名师点拨]　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2＋ny2＝1(mn<0)．当双曲线的渐近线方程为y＝±x时，可以将方程设为－＝λ(λ≠0)． 一、选择题 1．双曲线C：－＝1的虚轴长为(　　) A． B．2 C．3 D．6 答案　D 解析　∵b2＝9，∴b＝3.∴双曲线C的虚轴长为2b＝6.故选D. 2．如果椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　) A. B． C． D．2 答案　A 解析　由已知椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴e2＝＝＝.∴双曲线的离心率e＝. 3.如图，已知双曲线x2－y2＝a2(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于P，Q两点．若|QF1|＝|QP|，且＝λ，则λ的值为(　　) A．3 B．2 C． D． 答案　A 解析　由题意知c＝a，|F1F2|＝2a，|QF1|－|QF2|＝|QP|－|QF2|＝|PF2|＝2a，则|PF1|＝|PF2|＋2a＝4a.在△PF1F2中，cos∠F1F2P＝＝－.在△QF1F2中，cos∠F1F2Q＝－cos∠F1F2P＝，设|QF2|＝m，则|QF1|＝m＋2a，由|QF1|2＝|F1F2|2＋|QF2|2－2|F1F2|·|QF2|cos∠F1F2Q得(2a＋m)2＝(2a)2＋m2－2×2a×m×，解得m＝a，又＝λ，所以λ＝＝＝3. 4．[多选]在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线－＝1，则(　　) A．实轴长为2 B．渐近线方程为y＝±x C．离心率为2 D．一条渐近线与直线x＝1的交点到另一条渐近线的距离为3 答案　BC 解析　由双曲线的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2＋b2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4，所以实轴长为2a＝4，A不正确；渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率＝2，所以B，C正确；设渐近线y＝x与直线x＝1的交点为A，两个方程联立可得A(1，)，另一条渐近线的方程为x＋y＝0，所以A到它的距离为d＝＝，所以D不正确．故选BC. 5．已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线C的右支上一点，若tan∠PF1F2＝，且△PF1F2的面积为3，则双曲线C的焦距为(　　) A．2 B．10 C．4 D．2 答案　A 解析　设双曲线C：－＝1(a>0)的虚半轴长为b，半焦距为c，由题意得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，又|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝4c2，两式相减可得|PF1|·|PF2|(1－cos∠F1PF2)＝2(c2－a2)＝2b2，则|PF1|·|PF2|＝，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝＝，又△PF1F2的面积为3，b2＝3，所以S△PF1F2＝＝3，得tan＝1，∠F1PF2∈(0，π)，所以∠F1PF2＝，因为tan∠PF1F2＝，所以＝，即|PF1|＝3|PF2|，又因为|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，所以(2c)2＝(3a)2＋a2，得c2＝a2，又因为c2＝a2＋3，且c>0，所以c＝，所以双曲线C的焦距为2. 二、填空题 6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________，b＝________． 答案　1　2 解析　由题意知，一条渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得a＝1，b＝2. 7．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线的方程是________． 答案　x2－y2＝8 解析　由双曲线的实轴在x轴上，知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点坐标为(－4，0)，故双曲线的一个焦点为(－4，0)，即c＝4.设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2，则c2＝2a2＝16，解得a2＝8，所以所求等轴双曲线的方程为x2－y2＝8. 8．设F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________． 答案　 解析　设F(c，0)，P(m，n)，PF的中点为M(0，b)，即有m＝－c，n＝2b，将点(－c，2b)代入双曲线方程可得，－＝1，可得e2＝＝5，解得e＝. 9．已知双曲线－＝1的一个焦点为(2，0)，点N(x，y)是双曲线上的任意一点，则点M(4，0)与点N的距离|MN|的最小值为________． 答案　3 解析　由题意可知，m＋3m＝4，∴m＝1.∴双曲线方程为x2－＝1.由x2－＝1，得y2＝3x2－3，∴|MN|＝＝＝＝.∵x≤－1或x≥1，∴当x＝1时，|MN|取得最小值3. 三、解答题 10．(2023·辽宁名校高二联考)根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)一个顶点是(0，6)，且离心率是； (2)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)． 解　(1)∵顶点为(0，6)，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∴a＝6. 又e＝，∴c＝a×e＝6×＝9，b2＝c2－a2＝45. 故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)解法一：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x， 令x＝－3，则y＝±4，因为2<4，故点(－3，2)在射线y＝－x(x≤0)及x轴负半轴之间的区域， ∴双曲线的焦点在x轴上． 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得 ∴双曲线的标准方程为－＝1. 解法二：设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)， ∴－＝λ. ∴λ＝， ∴双曲线的标准方程为－＝1. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$