2.3.4 两条平行直线间的距离-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 2．3.4　两条平行直线间的距离 知识点一　两条平行直线间的距离 1．两条平行直线l1：4x－3y＋2＝0与l2：4x－3y－1＝0之间的距离d是(　　) A．3 B． C． D．1 答案　B 解析　由两平行直线间的距离公式得d＝＝. [规律方法]　两条平行直线间的距离的求法 (1)公式法：将两条平行直线的方程化为一般式，且两条平行直线的方程中x，y的系数化为相同的，代入两条平行直线间的距离公式． (2)转化法：在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离． 2．(2024·江西新余高二期末)若直线l1：ax－y＋1＝0与直线l2：(a＋2)x－ay－1＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　因为直线l1：ax－y＋1＝0与直线l2：(a＋2)x－ay－1＝0平行，所以a×(－a)－(a＋2)×(－1)＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，l1：－x－y＋1＝0与l2：x＋y－1＝0重合，不符合题意；当a＝2时，l1：2x－y＋1＝0与l2：4x－2y－1＝0平行，符合题意，此时，l1：2x－y＋1＝0可化为4x－2y＋2＝0，则l1与l2之间的距离d＝＝.故选D. 3．两平行线分别经过点A(3，0)，B(0，4)，它们之间的距离d满足的条件是(　　) A．0<d≤3 B．0<d≤5 C．0<d<4 D．3≤d≤5 答案　B 解析　当两平行线与直线AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|＝5，所以0<d≤5. 4．已知两条平行直线l1：x－2y＋1＝0，l2：ax－y＋b＝0间的距离为，则|a－b|＝(　　) A． B． C．3 D．4 答案　B 解析　因为l1∥l2，所以则l2：x－y＋b＝0，即x－2y＋2b＝0，因为直线l1与l2间的距离为，所以＝，解得b＝3或b＝－2，所以|a－b|＝.故选B. 5．已知△ABC的边AB所在直线的方程是x＋y－3＝0，边AC所在直线的方程是x－2y＋3＝0，边BC所在直线的方程是2x－y－3＝0.若△ABC夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　联立直线方程，易得点A(1，2)，B(2，1)．如图所示，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A，B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是分别过A，B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝，故这两条平行直线间的距离的最小值是. 6．当m变化时，两条平行直线3x－4y＋m－1＝0和3x－4y＋m2＝0间的距离d的最小值为________． 答案　 解析　d＝＝≥，当且仅当m＝时取等号． 7．(2023·长沙一中高二期中)若直线m被两条平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：2x－2y＋5＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角为________． 答案　135° 解析　由两平行线间的距离为＝，直线m被两条平行线截得的线段长为，可得直线m和这两条平行线的夹角为90°.由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°. 知识点二　两条平行直线间距离公式的应用 8.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到l2的位置，若l1，l2和两坐标轴围成的梯形ABCD的面积为4，求直线l2的方程． 解　∵l1∥l2，可设l2的方程为x＋y－m＝0. 由题意，得A(1，0)，D(0，1)，B(m，0)，C(0，m)． ∵l2在l1的上方，∴m>1. |AD|＝＝， |BC|＝＝m. 直线l1与直线l2间的距离为＝. S梯形ABCD＝×(＋m)×＝＝4， 解得m＝3或m＝－3(舍去)． 故直线l2的方程为x＋y－3＝0. 9．正方形ABCD一条边AB所在直线的方程为x＋3y－5＝0，另一条边CD所在直线的方程为x＋3y＋7＝0. (1)求过正方形的中心G且与边AB平行的直线方程； (2)设正方形的中心G(x0，y0)，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x0的取值范围． 解　(1)设过正方形的中心G且与边AB平行的直线方程为x＋3y＋C＝0， 由平行线间的距离公式得＝， 解得C＝1. 所以过正方形的中心G且与边AB平行的直线方程为x＋3y＋1＝0. (2)由平行线间的距离公式得正方形的边长为 d＝＝. 设正方形的边BC所在直线的方程为3x－y＋m＝0， 由于中心G(x0，y0)到BC的距离等于＝， 那么＝， 解得m＝±6－3x0＋y0，① 又因为G在直线x＋3y＋1＝0上，那么x0＋3y0＋1＝0，即y0＝－，② 把②代入①得m＝±6－，③ 联立方程解得 由于正方形只有两个点在第一象限，那么 即解得－15＜m＜，④ 把③代入④得到－15＜±6－＜， 解得＜x0＜. 故x0的取值范围为. 一、选择题 1．(2023·辽宁名校联盟高二联考)已知直线l1：2x－y＋1＝0，直线l2：4x－2y＋3＝0，则直线l1与l2的距离为(　　) A． B． C． D．2 答案　A 解析　因为直线l2可化为2x－y＋＝0，所以l1∥l2，所以直线l1与l2的距离d＝＝.故选A. 2．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为(　　) A．2 B． C．2 D． 答案　D 解析　由题意得a＋b＝－1，ab＝－2，∴|a－b|＝＝＝3，∵直线x＋y＋a＝0与x＋y＋b＝0平行，∴两条直线之间的距离d＝＝.故选D. 3．若直线l1：x＋my＋1＝0与l：2x－y＝0垂直，直线l2的方程为2x＋2my＋3＝0，则l1与l2间的距离为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由直线l1：x＋my＋1＝0与l：2x－y＝0垂直，得m＝2，所以直线l1：x＋2y＋1＝0，直线l2：2x＋4y＋3＝0，即x＋2y＋＝0，则直线l1与l2间的距离为＝.故选C. 4．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0间的距离为，则m＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由题意得直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0平行，又直线l2：2x＋6y－3＝0可化为x＋3y－＝0，∴两条直线间的距离d＝＝，得m＝－或m＝.∵m>0，∴m＝. 5．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7，m≠－5)，根据平行线间的距离公式得＝，所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得点M到原点的距离的最小值为＝3.故选A. 二、填空题 6．已知直线l与两条直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则直线l的方程为________． 答案　2x－y＋1＝0 解析　设直线l的方程为2x－y＋C＝0(C≠3，C≠－1)，因为直线l与直线l1和直线l2的距离相等，所以＝，解得C＝1，故直线l的方程为2x－y＋1＝0. 7．若直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程为________． 答案　x－2y＋2＝0 解析　设直线l的方程为x－2y＋C＝0(C≠4)，则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0. 8．在同一平面内，已知直线l1：2x＋3y＝1和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为2∶1，则直线l的方程为______________． 答案　2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0 解析　直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0.易知l1∥l2∥l，所以可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0(C≠－2且C≠－9)．由题意，可得＝2×，解得C＝－16或C＝－.故直线l的方程为4x＋6y－16＝0或4x＋6y－＝0，即2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0. 三、解答题 9．求由四条直线2x＋y＝0，2x＋y＝6，x－2y＝0，x－2y＝3围成的图形的面积． 解　由斜率判断直线间的平行垂直关系易得四条直线2x＋y＝0，2x＋y＝6，x－2y＝0，x－2y＝3围成的图形是矩形，其中两条平行直线2x＋y＝0，2x＋y＝6的距离为，两条平行直线x－2y＝0，x－2y＝3的距离为，所以这四条直线围成的图形的面积为×＝. 10．过A(－4，0)，B(0，－3)两点作两条平行线，分别求满足下列条件的两条平行线的方程： (1)两条平行线间的距离为4； (2)这两条平行线各自绕A，B旋转，使它们之间的距离取最大值． 解　(1)当两条直线的斜率都不存在时，方程分别为x＝－4，x＝0，满足题意； 当两条直线的斜率都存在时，设方程分别为y＝k(x＋4)与y＝kx－3，即kx－y＋4k＝0与kx－y－3＝0， 由题意得＝4，解得k＝，∴所求的直线方程分别为7x－24y＋28＝0，7x－24y－72＝0. 综上，所求的直线方程为7x－24y＋28＝0，7x－24y－72＝0或x＝－4，x＝0. (2)由(1)知，当两条直线的斜率都存在时，两直线间的距离d＝， ∴d2＝，∴(d2－16)k2－24k＋d2－9＝0， ∵k∈R，∴Δ≥0，即 又d>0，∴0<d≤5且d≠4， ∴dmax＝5，此时k＝. 当两条直线的斜率都不存在时，d＝4. ∴dmax＝5， 此时两条直线的方程分别为4x－3y＋16＝0，4x－3y－9＝0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$