2.2.3 直线的一般式方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 2．2.3　直线的一般式方程 知识点一　直线的一般式方程 1．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　由Ax＋By＋C＝0，可得y＝－x－(B≠0)，因为AB<0，BC<0，故－>0，－>0，故直线Ax＋By＋C＝0不经过第四象限．故选D. 2．下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 答案　B 解析　将一般式化为斜截式，斜率为－的有B，C两项，其中B项化为y＝－x－，C项化为y＝－x＋14.又y＝－x＋14过点(3，10)，即直线经过第一象限，所以只有B满足要求． 3．根据下列条件求直线的一般式方程： (1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3)； (2)斜率为，且在y轴上的截距为4； (3)经过A(2，－3)，B(－1，－5)两点； (4)在x，y轴上的截距分别为2，－4. 解　(1)因为直线的斜率k＝2，且经过点A(1，3)，由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0. (2)由直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程为y＝x＋4，整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0. (3)由直线的两点式方程可得＝，整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0. (4)由直线的截距式方程可得＋＝1，整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0. 知识点二　平行、垂直问题 4．[多选]已知直线l1：xsinα＋y＝0与l2：3x＋y＋c＝0，则下列结论正确的是(　　) A．直线l1与直线l2可能重合 B．直线l1与直线l2可能垂直 C．直线l1与直线l2可能平行 D．存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合 答案　BD 解析　∵直线l1：xsinα＋y＝0的斜率为k1＝－sinα，直线l2：3x＋y＋c＝0的斜率k2＝－3，－1≤sinα≤1，∴k1，k2不可能相等，∴直线l1与直线l2不可能重合，也不可能平行，故A，C错误；当sinα＝－时，k1k2＝－1，l1⊥l2，∴直线l1与直线l2可能垂直，故B正确；∵直线l1与直线l2不可能重合，也不可能平行，∴直线l1与直线l2一定有交点P，∴存在直线l1上一点P，直线l1绕点P旋转后可与直线l2重合，故D正确．故选BD. 5．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直． 解　解法一：l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－. (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－. 又l′过点(－1，3)， ∴由点斜式知直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0. (2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1，3)， ∴由点斜式可得直线l′的方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 解法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)． 将(－1，3)代入上式得m＝－9. ∴直线l′的方程为3x＋4y－9＝0. (2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得n＝13. ∴直线l′的方程为4x－3y＋13＝0. [规律方法]　过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程． (2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2. 6．已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值： (1)l1⊥l2； (2)l1∥l2. 解　(1)∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0， ∴m＝－. (2)∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)， ∴m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1∥l2； 当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去． 综上，m＝－3. [名师点拨]　利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 知识点三　直线一般式方程的应用 7．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l在x轴上的截距是－3； (2)直线l的斜率是1. 解　(1)由题意，得 由①式，得m≠3且m≠－1. 由②式，得3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－. ∴m＝－. (2)由题意，得 由③式，得m≠－1且m≠. 由④式，得3m2－m－4＝0， 解得m＝－1或m＝. ∴m＝. 一、选择题 1．(2023·济南高二学情检测)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　) A．150° B．30° C．60° D．120° 答案　A 解析　直线的斜率k＝－＝－，故其倾斜角为150°. 2．两条直线l1：mx－y＋n＝0和l2：nx－y＋m＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是(　　) 答案　B 解析　化一般式为斜截式，得l1：y＝mx＋n，l2：y＝nx＋m，可见两条直线的斜率、在y轴上的截距恰好互换，故选B. 3．已知直线mx＋ny＝－1平行于直线4x＋3y＋5＝0且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为(　　) A．4和3 B．－4和3 C．－4和－3 D．4和－3 答案　C 解析　由题意得n≠0，于是直线可化为y＝－x－.由－＝－，－＝，得m＝－4，n＝－3. 4．已知直线l1：x＋ay＋5＝0，l2：ax＋y＋7＝0，若l1∥l2，则实数a的值为(　　) A．1或－1 B．－1 C．1 D．0或－1 答案　A 解析　直线l1：x＋ay＋5＝0，l2：ax＋y＋7＝0，若l1∥l2，则1×1＝a2，解得a＝±1，经检验，当a＝±1时，两直线均不重合，故实数a的值为1或－1.故选A. 5．[多选]已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是(　　) A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0 C．直线l的斜率一定存在 D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 答案　AC 解析　对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与直线x＋y＝0垂直，所以A正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，则(a2＋a＋1)·(－1)＝1×(－1)，解得a＝0或a＝－1，经检验均符合题意，所以B不正确；对于C，由直线l的方程知其斜率一定存在，所以C正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在x，y轴上的截距分别是－1，1，所以D不正确．故选AC. 二、填空题 6．直线l与直线m：3x－y－2＝0关于x轴对称，则这两条直线与y轴围成的三角形的面积为________． 答案　 解析　由题意可得直线l：3x＋y－2＝0，又直线l，m与x轴的交点为，则直线l，m与y轴围成的三角形的面积为×4×＝. 7．已知直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a＝________，若l1∥l2，则实数a＝________． 答案　0　－1 解析　因为l1⊥l2，所以a×1＋1×a＝0，解得a＝0.因为l1∥l2，所以a×a－1×1＝0，解得a＝±1.当a＝1时，l1：x＋y＋1＝0与l2：x＋y＋1＝0重合，舍去；当a＝－1时，l1：－x＋y＋1＝0，l2：x－y＋1＝0，l1与l2不重合，满足条件．综上，a＝－1. 8．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________． 答案　3x＋4y±24＝0 解析　设直线l：3x＋4y＋m＝0(m≠－7)，令y＝0，得x＝－；令x＝0，得y＝－.∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴××＝24，∴m＝±24.∴直线l的方程为3x＋4y±24＝0. 三、解答题 9．已知直线l：kx－y＋2＋k＝0(k∈R)． (1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 解　(1)直线l：kx－y＋2＋k＝0， 即y＝kx＋2＋k， ∵直线不经过第四象限， ∴解得k≥0， 故k的取值范围是[0，＋∞)． (2)如图所示， 直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则k>0， 在直线l：kx－y＋2＋k＝0中， 令y＝0，解得x＝－， 令x＝0，解得y＝2＋k， ∴S＝|OA|·|OB|＝··(2＋k)＝＝＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即k＝2时等号成立． ∴S的最小值为4，此时直线l的方程为2x－y＋4＝0. 10．求满足下列条件的直线的方程． (1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍； (2)(2023·重庆高二期中)在y轴上的截距与在x轴上的截距之差为3，且垂直于过M(2，3)和N(0，4)两点的直线； (3)过点M(0，4)，且与两坐标轴围成的三角形的周长为12. 解　(1)因为直线3x＋8y－1＝0的斜率为－， 所以所求直线的斜率k＝2×＝－. 又直线经过点(－1，－3)， 因此所求直线的方程为y＋3＝－(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. (2)由题意得kMN＝＝－， 所求直线的斜率k＝－＝2. 设所求直线的斜截式方程为y＝2x＋b， 当x＝0时，y＝b；当y＝0时，x＝－. 由b＋＝3，得b＝2， 故所求直线的方程为y＝2x＋2，即2x－y＋2＝0. (3)设直线与x轴的交点为(a，0)， 因为点M(0，4)在y轴上， 所以由题意有4＋＋|a|＝12， 解得a＝±3， 所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1， 即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$