2.2.2 直线的两点式方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 2．2.2　直线的两点式方程 知识点一　直线的两点式方程 1．经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x轴上的截距为(　　) A．2 B．－3 C．－27 D．27 答案　D 解析　由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0.令y＝0，得x＝27. [规律方法]　利用两点式求直线方程 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m的值是(　　) A．5 B．2 C．－2 D．－6 答案　C 解析　由两点式方程，得直线MN的方程为＝，化简，得x＋y－1＝0.又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m－1＝0，解得m＝－2. 知识点二　直线的截距式方程 3．过坐标平面内两点P1(2，0)，P2(0，3)的直线方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝0 C.＋＝1 D.－＝1 答案　C 解析　由直线方程的截距式，得所求直线的方程为＋＝1.故选C. 4．已知直线l过点A(－2，1)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，那么直线l的方程是(　　) A．x＋2y＝0或x－y＋3＝0 B．x－y－1＝0或x－y＋3＝0 C．x－y－1＝0或x＋y－3＝0 D．x＋2y＝0或x＋y－3＝0 答案　A 解析　①当直线在两坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为y＝kx，把点(－2，1)代入求出k＝－，即直线l的方程为x＋2y＝0；②当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为＋＝1，把点(－2，1)代入得＋＝1，解得a＝－3，即直线l的方程为x－y＋3＝0.综上，直线l的方程为x＋2y＝0或x－y＋3＝0.故选A. [名师点拨]　如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍”等条件时，采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况． 知识点三　直线方程的应用 5．菱形的两条对角线AC，BD的长分别为8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在直线的方程． 解　由题意不妨设A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)， 由截距式方程可知边AB所在直线的方程为＋＝1，即3x＋4y＋12＝0. 同理可得边BC所在直线的方程为3x－4y－12＝0， 边CD所在直线的方程为3x＋4y－12＝0， 边AD所在直线的方程为3x－4y＋12＝0. 6．已知点D在直线BC上．若直线BC在两坐标轴上的截距之和是9，求直线BC的方程． 解　由已知得直线BC的斜率存在且不为0. 设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b， 则直线BC的截距式方程为＋＝1. 由题意得a＋b＝9，① 又点D在直线BC上，∴＋＝1， ∴6b＋3a＝2ab，② 由①②联立得2a2－21a＋54＝0， 即(2a－9)(a－6)＝0，解得a＝或a＝6. ∴或 故直线BC的方程为＋＝1或＋＝1， 即2x＋2y－9＝0或x＋2y－6＝0. 7．(2024·抚顺一中高二月考)已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)． (1)求边AC和AB所在直线的方程； (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程； (3)求AC边上的中垂线的方程． 解　(1)由截距式，得边AC所在直线的方程为＋＝1，即x－2y＋8＝0. 由两点式，得边AB所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0. (2)由题意，得AC的中点D的坐标为(－4，2)，由两点式，得BD所在直线的方程为＝，即2x－y＋10＝0. (3)由kAC＝，得AC边上的中垂线的斜率为－2. 又AC的中点坐标为(－4，2)，由点斜式，得AC边上的中垂线的方程为y－2＝－2(x＋4)，即2x＋y＋6＝0. 一、选择题 1．若直线＋＝1经过第一、二、三象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 答案　C 解析　因为直线经过第一、二、三象限，所以结合图形可知a＜0，b＞0. 2．(2023·山东青岛一中高二期末)一条光线从A处射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝x－ D．y＝－x－ 答案　B 解析　由光的反射定律可得，点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用截距式可求得反射光线所在直线的方程为＋＝1，即y＝－2x＋1. 3．过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程是(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0 C．x＋y－5＝0 D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0 答案　B 解析　若直线l过原点，则方程为y＝x，即3x－2y＝0；若直线l不过原点，则设直线方程为－＝1，将(2，3)代入方程，得a＝－1，故直线l的方程为x－y＋1＝0.所以直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.故选B. 4．直线l：＋＝1中，a∈{1，3，5，7}，b∈{2，4，6，8}．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．16 答案　B 解析　因为a>0，b>0，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝ab，于是ab≥10⇒ab≥20，当a＝1时，没有这样的b满足条件；当a＝3时，b＝8；当a＝5时，b∈{4，6，8}；当a＝7时，b∈{4，6，8}，所以这样的直线的条数为7.故选B. 5．[多选]有关直线方程，下列说法正确的是(　　) A．直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程 B．直线方程＝也可写成＝ C．所有可以用截距式表示的直线都可以用两点式表示 D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 答案　ABC 解析　A正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程；B正确，方程＝与＝的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线；C显然正确；D错误，不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为x＝a(a≠0)的形式．故选ABC. 二、填空题 6．(2024·湖南长沙一中高二阶段测试)已知直线l经过点A(－4，－2)，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为________． 答案　x＋2y＋8＝0 解析　设直线l与两坐标轴的交点的坐标为(a，0)，(0，b)，由题意知＝－4，＝－2，∴a＝－8，b＝－4.∴直线l的方程为＋＝1，即x＋2y＋8＝0. 7．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB的中点M，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________． 答案　2x－3y＝0或x＋y－5＝0 解析　点A(1，－2)，B(5，6)的中点M的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y＝x，即2x－3y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为＋＝1，把中点M的坐标(3，2)代入直线的方程，得a＝5，故所求直线的方程是＋＝1，即x＋y－5＝0.综上，所求的直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 8．过点P(3，2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________，此时直线l在两坐标轴上的截距之和为________． 答案　12　10 解析　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，把点P(3，2)代入，得＋＝1，∴1≥2，得ab≥24，当且仅当a＝6，b＝4时取等号，∴S△AOB＝ab≥12，即△AOB面积的最小值为12.此时a＋b＝6＋4＝10. 三、解答题 9．求过点P(2，3)且分别满足下列条件的直线方程． (1)在两个坐标轴上的截距相等； (2)与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12. 解　(1)①若直线经过原点，设方程为y＝kx，因为直线过点P(2，3)，故有3＝2k，解得k＝，所以直线方程为y＝x； ②若直线不经过原点，设直线在两坐标轴上的截距为a，方程为＋＝1，因为直线过点P(2，3)，所以＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为＋＝1，即x＋y－5＝0. 综上，所求的直线方程为y＝x或x＋y－5＝0. (2)设直线在x，y轴上的截距分别为a，b(a>0，b>0)， 可设直线方程为＋＝1，由题意得解得所以直线方程为＋＝1，即3x＋2y－12＝0. 10．已知直线l：＋＝1. (1)若直线l的斜率等于2，求实数m的值； (2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于点A，B，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程． 解　(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)， 则k＝＝2，则m＝－4. (2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4， 则S△ABC＝＝， 易知当m＝2时，S△ABC有最大值2， 此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$