2.2.1 直线的点斜式方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第一册[人教A版]作业与测评 2．2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 知识点一　直线的点斜式方程 1．已知直线的方程是y＋4＝2x－6，则(　　) A．直线经过点(－3，4)，斜率为2 B．直线经过点(4，－3)，斜率为2 C．直线经过点(3，－4)，斜率为2 D．直线经过点(－4，3)，斜率为－2 答案　C 解析　直线方程y＋4＝2x－6可化为y－(－4)＝2(x－3)，故直线经过点(3，－4)，斜率为2. 2．已知直线经过点A(3，1)，斜率为－1，则直线的方程是(　　) A．y＝－x＋4 B．y＝x－2 C．y＝－x－4 D．y＝x＋2 答案　A 解析　由题意可知，所求直线的方程为y－1＝－(x－3)，即y＝－x＋4.故选A. [规律方法]　求直线的点斜式方程的思路 注意：只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程． 知识点二　直线的斜截式方程 3．经过点A(－1，4)且在y轴上的截距为3的直线方程是(　　) A．y＝－x－3 B．y＝x＋3 C．y＝－x＋3 D．y＝x－3 答案　C 解析　在y轴上的截距为3的直线方程可以设为y＝kx＋3.将点A(－1，4)代入方程，得4＝－k＋3，解得k＝－1，即所求直线的方程为y＝－x＋3. 4．已知k∈R，b＝k2－2k＋3，则下列直线的方程不可能是y＝kx＋b的是(　　) 答案　B 解析　∵b＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2，∴直线的方程y＝kx＋b在y轴上的截距不小于2，且当k＝1时，y轴上的截距为2，故D正确；当k＝－1时，b＝6, 故B不正确；当b＝3时，k＝0或k＝2，由图象知A，C正确． [名师点拨]　直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断． 知识点三　两条直线的位置关系 5．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－x－.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为(　　) A．－10 B．－2 C．0 D．8 答案　A 解析　∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.又l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，解得n＝－2.∴m＋n＝－10.故选A. 6．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(　　) 答案　D 解析　对于A，由l1得a>0，b<0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于B，由l1得a<0，b>0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于C，由l1得a>0，b<0，而由l2得a<0，b>0，矛盾；对于D，由l1得a>0，b>0，由l2得a>0，b>0.故选D. 知识点四　直线方程的应用 7．求斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6的直线l的方程． 解　设直线l的方程为y＝x＋b，易知直线l与x，y轴的交点分别为A，B(0，b)， ∴··|b|＝6，解得b＝±3. ∴直线l的方程为y＝x±3. 8．已知直线l：y＝ax－a＋，求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限． 证明　直线l的方程y＝ax－a＋可化为y－＝a，∴直线l过定点. ∵点在第一象限， ∴不论a为何值，直线l总经过第一象限． 一、选择题 1．方程y＝k(x－2)表示(　　) A．过点(2，0)的所有直线 B．过点(2，0)且不垂直于y轴的所有直线 C．过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线 D．过点(2，0)且除去x轴的所有直线 答案　C 解析　y＝k(x－2)为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点(2，0)．故选C. 2．过点(2，3)且一个方向向量为(1，－1)的直线方程为(　　) A．y＝－x＋5 B．y＝－x＋1 C．y＝x＋1 D．y＝x－5 答案　A 解析　由题意知，直线的一个方向向量为(1，－1)，所以斜率为k＝－1，因为直线过点(2，3)，所以直线方程为y－3＝－(x－2)，即y＝－x＋5.故选A. 3．在同一直角坐标系中表示直线y＝ax与y＝x＋a，可能正确的是(　　) 答案　C 解析　解法一：①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角且过原点，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角且过原点，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距a<0.故选C. 解法二(排除法)：直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，排除B，D；A中，直线y＝ax的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y＝x＋a在y轴上的截距a<0，所以不满足．故选C. 4．(2024·龙岩一中高二月考)将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为(　　) A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1 C．y＝3x－3 D．y＝x＋1 答案　A 解析　将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为y＝－(x－1)，即y＝－x＋. 5．[多选]下列叙述中正确的是(　　) A．点斜式方程y－y1＝k(x－x1)适用于过点(x1，y1)且不垂直于x轴的任何直线 B．＝k表示过点P(x1，y1)且斜率为k的直线方程 C．斜截式y＝kx＋b适用于不垂直于x轴的任何直线 D．直线y＝kx＋b与y轴交于点B(0，b)，其中截距b＝|OB| 答案　AC 解析　对于A，点斜式方程y－y1＝k(x－x1)适用于过点(x1，y1)且不垂直于x轴的任何直线，满足点斜式方程的条件，故A正确；对于B，显然P(x1，y1)不满足方程，故B不正确；对于C，斜截式y＝kx＋b适用于不垂直于x轴的任何直线，故C正确；对于D，直线y＝kx＋b与y轴交于点B(0，b)，其中截距b＝|OB|不正确，因为截距是b，其值可正、可负、可为零，故D不正确．故选AC. 二、填空题 6．已知直线l在y轴上的截距为1，且垂直于直线y＝x，则直线l的方程是________． 答案　y＝－2x＋1 解析　设垂直于直线y＝x的直线l的方程为y＝－2x＋m.因为直线l在y轴上的截距为1，所以m＝1，所以直线l的方程是y＝－2x＋1. 7．已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________． 答案　x＝－或y＝x＋1 解析　在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan30°＝，故其方程为y＝(x＋)，即y＝x＋1.综上，直线l′的方程为x＝－或y＝x＋1. 8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则b的取值范围是________． 答案　[－2，2] 解析　b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2，2]． 三、解答题 9．求满足下列条件的m的值： (1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行； (2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直． 解　(1)∵l1∥l2，∴两条直线的斜率相等， ∴m2－2＝－1且2m≠1，∴m＝±1. (2)∵l1⊥l2，∴2m－1＝，∴m＝. 10．(1)求过点M(m，0)和点N(2，1)的直线的方程； (2)等腰三角形ABC的顶点A(－1，2)，AC的斜率为，点B(－3，2)，求直线AC，BC及∠A的平分线所在直线的方程． 解　(1)当m＝2时，过点M(m，0)和点N(2，1)的直线斜率不存在，其方程为x＝2； 当m≠2时，直线的斜率为k＝＝－， 又直线过点N(2，1)， ∴直线的点斜式方程为y－1＝－(x－2)． 综上，当m＝2时，所求直线的方程为x＝2； 当m≠2时，所求直线的方程为y－1＝－(x－2)． (2)直线AC的方程为y＝x＋2＋. ∵直线AB∥x轴，直线AC的倾斜角为60°， ∴直线BC的倾斜角α为30°或120°. 当α＝30°时，直线BC的方程为y＝x＋2＋， ∠A的平分线的倾斜角为120°， 其所在直线的方程为y＝－x＋2－； 当α＝120°时，直线BC的方程为y＝－x＋2－3， ∠A的平分线的倾斜角为30°， 其所在直线的方程为y＝x＋2＋. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$